数学与应用数学专业：《数学分析》课程教学大纲 1

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《数学分析1》课程教学大纲一、课程信息课程名称：数学分析1Mathematical Analysis1课程代码：06S1101B课程类别：学科基础课程/必修课适用专业：数学与应用数学专业（师范类）课程学时：72学时课程学分：4学分修读学期：第1学期先修课程：高中数学二、课程目标数学分析是数学与应用数学专业的一门主要学科基础课，也是后继课程一一微分方程、复变函数、微分几何、实变函数、泛函分析、概率论与数理统计等的基础，它不仅要传授学生一些基本的微积分计算技巧与方法，更为重要的是培养学生分析和解决问题的能力，所以也是培养学生用数学的思想认识间题、分析并解决问题的重要入门课程。本课程的基本内容有极限理论、一元微积分学、多元微积分学和级数理论，分三学期学习，总学时252学时，总学分14学分（第一学期12周，每周6学时，4学分，第二学期15周，每周6学时，5学分，第三学期15周，每周6学时，5学分）。（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.进一步认识实数集，并理解确界原理；理解和掌握函数概念和各种常用表示方法，并理解函数的有界性、连续性、导数和微分等概念；理解和初步掌握数列极限和函数极限概念；熟悉连续函数的局部性质和整体性质；了解微分中值定理、Taylor展式、洛必达法则等定理的重要作用，具备极限思想、培育数学素养和积累数学技能。【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、4.3、6.2)2.掌握各类极限的计算方法；掌握函数连续性及间断点的概念及其分类，牢记闭区间上连续函数的性质和微分中值定理；掌握各类函数的导数与微分的计算方法，具备一定的计算能力。【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、6.2】3.了解极限思想产生的背景及其应用，理解极限思想在数学分析中的基础性作用；熟悉导数和微分概念的建立过程，理解他们的区别与联系；理解微分中值定理的重要意义；能够运用导数和微分等知识研究函数性态；具有一定的逻辑推理能力。【支撑毕业要求指标点3.1、4.3、6.2、7.114.理解极限思想在数学分析中的核心作用，能够主动运用数学分析的思想与方法去分析问题和解决间题，具有积极的批判精神，良好的推理能力，并培育一定的创新意识和应用能力。【支撑毕业要求指标点3.2、7.3、8.1、8.3】（二）课程目标与毕业要求的对应关系

《数学分析 1》课程教学大纲一、课程信息课程名称：数学分析 1 Mathematical Analysis 1 课程代码：06S1101B 课程类别：学科基础课程/必修课适用专业：数学与应用数学专业（师范类）课程学时：72学时课程学分：4学分修读学期：第1学期先修课程：高中数学二、课程目标数学分析是数学与应用数学专业的一门主要学科基础课，也是后继课程——微分方程、复变函数、微分几何、实变函数、泛函分析、概率论与数理统计等的基础，它不仅要传授学生一些基本的微积分计算技巧与方法，更为重要的是培养学生分析和解决问题的能力，所以也是培养学生用数学的思想认识问题、分析并解决问题的重要入门课程。本课程的基本内容有极限理论、一元微积分学、多元微积分学和级数理论，分三学期学习，总学时252学时，总学分14学分（第一学期12周，每周6学时，4学分，第二学期15周，每周6学时，5学分，第三学期15周，每周6学时，5学分）。（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标： 1. 进一步认识实数集，并理解确界原理；理解和掌握函数概念和各种常用表示方法，并理解函数的有界性、连续性、导数和微分等概念；理解和初步掌握数列极限和函数极限概念；熟悉连续函数的局部性质和整体性质；了解微分中值定理、Taylor展式、洛必达法则等定理的重要作用，具备极限思想、培育数学素养和积累数学技能。【支撑毕业要求指标点3.1 、3.3、4.3、6.2】 2. 掌握各类极限的计算方法；掌握函数连续性及间断点的概念及其分类，牢记闭区间上连续函数的性质和微分中值定理；掌握各类函数的导数与微分的计算方法，具备一定的计算能力。【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、6.2】 3. 了解极限思想产生的背景及其应用，理解极限思想在数学分析中的基础性作用；熟悉导数和微分概念的建立过程，理解他们的区别与联系；理解微分中值定理的重要意义；能够运用导数和微分等知识研究函数性态；具有一定的逻辑推理能力。【支撑毕业要求指标点 3.1、4.3、6.2、7.1】 4.理解极限思想在数学分析中的核心作用，能够主动运用数学分析的思想与方法去分析问题和解决问题，具有积极的批判精神，良好的推理能力，并培育一定的创新意识和应用能力。【支撑毕业要求指标点3.2、7.3、8.1、8.3】（二）课程目标与毕业要求的对应关系

表1课程目标与毕业要求指标点的对应关系课程目标支撑的毕业要求支撑的毕业要求指标点【3.1知识素养】具有丰富扎实的教育学、心理学、数学等学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。【3.3专业技能】理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目标3.学科素养导向的数学学习指导方法与策略。4.教学能力课程目标 16.综合育人【4.3教研能力】了解教育基本思想和方法，能够自觉掌握数学学科的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。【6.2课程育人】理解数学学科育人价值，具有三全”育人意识，能有机结合数学教学进行育人活动。【3.1知识素养】具有丰富扎实的教育学、心理学、数学等学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。【3.3专业技能】理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目标3.学科素养课程目标2导向的数学学习指导方法与策略。6.综合育人【6.2课程育人】理解数学学科育人价值，具有“三全”育人意识，能有机结合数学教学进行育人活动。【3.1知识素养】具有丰富扎实的教育学、心理学、数学等学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法，对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。【4.3教研能力】了解教育基本思想和方法，能够自觉掌握数学学3.学科素养科的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究4.教学能力能力。课程目标36.综合育人【6.2课程育人】理解数学学科育人价值，具有“三全"育人意识，7.学会反思能有机结合数学教学进行育人活动。【7.1学会学习】具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和适应发展的能力。【3.2学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。【7.3勤学善思】掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方法3.学科素养分析和解决数学教育教学中的问题。课程目标47.学会反思【8.1团结协作】具有团队协作精神，掌握沟通合作技能，积极主动8.沟通合作参与小组学习、专题研讨、团队互动、网络分享等协作学习活动，乐于分享经验和想法。【8.3学习共同体]理解学习共同体的建设在中学数学学习中的重要性，能够帮助中学生理解并构建一个积极向上的学习共同体。三、课程内容（一）课程内容与课程目标的关系表2课程内容与课程目标的关系课程内容教学方法学时安排支撑的课程目标10第一章实数集与函数讲授法，启发法，讨论法课程目标1、2、3

表1 课程目标与毕业要求指标点的对应关系课程目标支撑的毕业要求支撑的毕业要求指标点课程目标 1 3.学科素养 4.教学能力 6.综合育人【3.1 知识素养】具有丰富扎实的教育学、心理学、数学等学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。【3.3 专业技能】理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目标导向的数学学习指导方法与策略。【4.3 教研能力】了解教育基本思想和方法，能够自觉掌握数学学科的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。【6.2 课程育人】理解数学学科育人价值，具有“三全”育人意识，能有机结合数学教学进行育人活动。课程目标 2 3.学科素养 6.综合育人【3.1 知识素养】具有丰富扎实的教育学、心理学、数学等学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。【3.3 专业技能】理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目标导向的数学学习指导方法与策略。【6.2 课程育人】理解数学学科育人价值，具有“三全”育人意识，能有机结合数学教学进行育人活动。课程目标 3 3.学科素养 4.教学能力 6.综合育人 7.学会反思【3.1 知识素养】具有丰富扎实的教育学、心理学、数学等学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。【4.3 教研能力】了解教育基本思想和方法，能够自觉掌握数学学科的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。【6.2 课程育人】理解数学学科育人价值，具有“三全”育人意识，能有机结合数学教学进行育人活动。【7.1 学会学习】具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和适应发展的能力。课程目标 4 3.学科素养 7.学会反思 8.沟通合作【3.2 学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。【7.3 勤学善思】掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方法分析和解决数学教育教学中的问题。【8.1 团结协作】具有团队协作精神，掌握沟通合作技能，积极主动参与小组学习、专题研讨、团队互动、网络分享等协作学习活动，乐于分享经验和想法。【8.3 学习共同体】理解学习共同体的建设在中学数学学习中的重要性，能够帮助中学生理解并构建一个积极向上的学习共同体。三、课程内容（一）课程内容与课程目标的关系表2 课程内容与课程目标的关系课程内容教学方法支撑的课程目标学时安排第一章实数集与函数讲授法，启发法，讨论法课程目标 1、2、3 10

12 第二章数列极限讲授法，探究法，练习法课程目标1、2、3、414 第三章函数极限讲授法，启发法，练习法课程目标1、2、3、4第四章函数的连续性讲授法，探究法，启发法10课程目标1、2、3、412第五章导数与微分讲授法，问题驱动法，练习法课程目标1、2、3、4第六章微分中值定理及其应用14讲授法，探究法，练习法课程目标1、2、3、4合计72学时（二）具体内容第一章实数集与函数（10学时）【教学目标与要求】1、教学目标：定义在实数集上的函数不仅是贯穿于中学数学的一条主线，也是数学分析研究的基本对象。通过本章的学习，1）让学生进一步了解实数、实数集及其基本性质。2）让学生深刻理解函数概念，重新认识函数。3）让学生应用函数图形，直观地了解函数的一些简单性质，为以后的学习打下坚实的基础。2、教学要求：1）掌握实数的基本性质和确界原理，建立起实数集确界的概念。2）深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见述语。3）弄清区间与领域、确界、函数、复合函数和反函数的概念。4）了解函数的几种表示法。【教学重点与难点】1、教学重点：实数集，函数与确界的概念及其有关的性质。2、教学难点：确界的定义及应用。【教学内容】1.1实数1.2数集、确界原理1.3函数概念1.4具有某些特性的函数【思政元素融入点】结合数学史教育学生要有科学探索，勇于钻研的精神。微积分发展史的简介使学生更好地体会数学的发现、发展过程以及由此产生的各种数学思想方法；通过数学发明创造推动科学技术发展的动人故事、数学家精神的展现，培养学生的数学情感、端正学习态度和树立正确的数学价值观。融入实际案例，引导学生主动观察分析，增强学生的数学意识，培养学生的建模思想。第二章数列极限（12学时）【教学目标与要求】1、教学目标：函数是数学分析研究的基本对象，而极限是数学分析研究函数所采用的的方法和工具，这是数学分析区别于初等数学的显著标志。数学分析几乎所有的概念都离不开极限，因此，极限概念是数学分析的重要概念，极限理论是数学分析的基础理论。通过本章学习，1)让学生充分了解数列极限的概念，系统掌握极限的基本思想和基本理论及计算技巧。2)让学生通过对极限思想的讨论，了解研究无限的必要性，掌握认识无限的辩证法，并在认真总结前人

第二章数列极限讲授法，探究法，练习法课程目标 1、2、3、4 12 第三章函数极限讲授法，启发法，练习法课程目标 1、2、3、4 14 第四章函数的连续性讲授法，探究法，启发法课程目标 1、2、3、4 10 第五章导数与微分讲授法，问题驱动法，练习法课程目标 1、2、3、4 12 第六章微分中值定理及其应用讲授法，探究法，练习法课程目标 1、2、3、4 14 合计 72 学时（二）具体内容第一章实数集与函数(10学时) 【教学目标与要求】 1、教学目标：定义在实数集上的函数不仅是贯穿于中学数学的一条主线，也是数学分析研究的基本对象。通过本章的学习，1）让学生进一步了解实数、实数集及其基本性质。2）让学生深刻理解函数概念，重新认识函数。3）让学生应用函数图形，直观地了解函数的一些简单性质，为以后的学习打下坚实的基础。 2、教学要求： 1) 掌握实数的基本性质和确界原理，建立起实数集确界的概念。 2) 深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见述语。 3) 弄清区间与领域、确界、函数、复合函数和反函数的概念。 4) 了解函数的几种表示法。【教学重点与难点】 1、教学重点：实数集，函数与确界的概念及其有关的性质。 2、教学难点：确界的定义及应用。【教学内容】 1.1 实数 1.2 数集、确界原理 1.3 函数概念 1.4 具有某些特性的函数【思政元素融入点】结合数学史教育学生要有科学探索，勇于钻研的精神。微积分发展史的简介使学生更好地体会数学的发现、发展过程以及由此产生的各种数学思想方法；通过数学发明创造推动科学技术发展的动人故事、数学家精神的展现，培养学生的数学情感、端正学习态度和树立正确的数学价值观。融入实际案例，引导学生主动观察分析，增强学生的数学意识，培养学生的建模思想。第二章数列极限（12学时）【教学目标与要求】 1、教学目标：函数是数学分析研究的基本对象，而极限是数学分析研究函数所采用的的方法和工具，这是数学分析区别于初等数学的显著标志。数学分析几乎所有的概念都离不开极限，因此，极限概念是数学分析的重要概念，极限理论是数学分析的基础理论。通过本章学习，1)让学生充分了解数列极限的概念，系统掌握极限的基本思想和基本理论及计算技巧。2)让学生通过对极限思想的讨论，了解研究无限的必要性，掌握认识无限的辩证法，并在认真总结前人

成果的基础之上，学会用变化的观点去认识间题，从变化中去考察间题，以提高解决实际间题的能力。2、教学要求：1）透彻理解数列极限的概念2）能够用8-N语言描述极限问题。3）能运用定义、四则运算、极限存在判别法、柯西准则、判别极限的存在性，熟练地求出数列极限。【教学重点与难点】1、教学重点：数列极限的定义、性质及计算。2、教学难点：数列极限的ε-N定义及柯西准则。【教学内容】2.1数列极限概念2.2收敛数列的性质2.3数列极限存在的条件【思政元素融入点】通过介绍数学史、典故和极限概念产生的背景故事等知识，增强学生民族自豪感，激发学生爱国热情。融入不忘初心（极限目标）、砺前行、工匠精神和辞海精神等思政元素，使学生的学习与价值引领相结合，引导学生正确做人做事。第三章函数的极限（14学时）【教学目标与要求】1、教学目标：数列是一类特殊的函数，它可以看成是定义在正整数集上的函数。数列极限讨论的是“自变量n无限增加时，数列x，的变化趋向”，而函数极限就是“当自变量X在连续变化过程中，函数（X）的变化趋向”，通过本章的学习，1）使学生在理解掌握数列极限概念的基础上类比得出函数极限的几种过程的精确定义。2）使学生系统掌握极限的基本概念、基本理论、基本方法和计算技巧。3）让学生学会用类比法去处理问题，提高解决间题的能力2、教学要求：1）牢固掌握函数极限的概念及基本性质。2）理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。T11sinx=1和lim|1+-3）掌握两个重要极限lim=e并熟练运用。x→0 xx→(x)4）理解并掌握无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数极限。【教学重点与难点】1、教学重点：函数极限的概念、性质及计算。2、教学难点：函数极限的ε-8定义与6-X定义，柯西准则和海涅定理的运用。【教学内容】3.1函数极限概念3.2函数极限的性质3.3函数极限存在的条件3.4两个重要的极限3.5无穷小量与无穷大量【思政元素融入点】通过融入建模思想和创新思维教育，引导学生学会制定目标，不忘初心（极限目标），砥砺前行，无限接近；培养学生的工匠精神，做事要精益求精，方得始终，发扬一丝不苟，字句的，作风严谨等辞海精神

成果的基础之上，学会用变化的观点去认识问题，从变化中去考察问题，以提高解决实际问题的能力。 2、教学要求： 1) 透彻理解数列极限的概念。 2) 能够用  N 语言描述极限问题。 3) 能运用定义、四则运算、极限存在判别法、柯西准则、判别极限的存在性，熟练地求出数列极限。【教学重点与难点】 1、教学重点：数列极限的定义、性质及计算。 2、教学难点：数列极限的  N 定义及柯西准则。【教学内容】 2.1 数列极限概念 2.2 收敛数列的性质 2.3 数列极限存在的条件【思政元素融入点】通过介绍数学史、典故和极限概念产生的背景故事等知识，增强学生民族自豪感，激发学生爱国热情。融入不忘初心(极限目标)、砥砺前行、工匠精神和辞海精神等思政元素，使学生的学习与价值引领相结合，引导学生正确做人做事。第三章函数的极限（14学时）【教学目标与要求】 1、教学目标：数列是一类特殊的函数，它可以看成是定义在正整数集上的函数。数列极限讨论的是“ 自变量 n 无限增加时，数列{ }n x 的变化趋向”，而函数极限就是“当自变量 x 在连续变化过程中，函数 f (x) 的变化趋向”。通过本章的学习，1）使学生在理解掌握数列极限概念的基础上类比得出函数极限的几种过程的精确定义。2）使学生系统掌握极限的基本概念、基本理论、基本方法和计算技巧。3）让学生学会用类比法去处理问题，提高解决问题的能力。 2、教学要求： 1) 牢固掌握函数极限的概念及基本性质。 2) 理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。 3) 掌握两个重要极限 0 sin lim 1 x x  x  和 1 lim 1 e x x x         并熟练运用。 4) 理解并掌握无穷小(大)量及其阶的概念，会利用它们求某些函数极限。【教学重点与难点】 1、教学重点：函数极限的概念、性质及计算。 2、教学难点：函数极限的  定义与  X 定义，柯西准则和海涅定理的运用。【教学内容】 3.1 函数极限概念 3.2 函数极限的性质 3.3 函数极限存在的条件 3.4 两个重要的极限 3.5 无穷小量与无穷大量【思政元素融入点】通过融入建模思想和创新思维教育，引导学生学会制定目标，不忘初心（极限目标），砥砺前行，无限接近；培养学生的工匠精神，做事要精益求精，方得始终，发扬一丝不苟，字斟句酌，作风严谨等辞海精神

第四章函数的连续性（10学时）【教学目标与要求】1、教学目标：数学分析的发展史告诉我们，无论是从理论上还是在应用中都应从连续函数开始。于是连续函数就成为数学分析的主要研究对象。通过本章的学习，1）让学生掌握连续函数的概念、性质和一致连续性定理。2）通过对函数连续性的讨论，使学生加深对极限思想和方法的认识。3）通过对概念的分析，提高学生的分析、抽象思维的能力，为以后的学习打下坚实的基础。2、教学要求：1）深刻理解和掌握函数连续性的概念、连续函数的概念和函数点连续的基本性质。2）掌握间断点的概念及其分类。3）能正确叙述和应用闭区间上连续函数的性质。4）掌握初等函数的连续性。【教学重点与难点】1、教学重点：函数连续性的概念和闭区间上连续函数的性质。2、教学难点：一致连续性的概念。【教学内容】4.1连续性概念4.2连续函数的性质4.3初等函数的连续性【思政元素融入点】通过连续变化的例子，教育学生要遵守事物变化的连续性，注重知识点的积累，不能急于求成，需要一步一个脚印不断的努力；教育学生学习也不能急于求成、跳跃性发展，要有刻苦钻研的顽强毅力，坚持不懈，直到间题解决。第五章导数与微分（12学时）【教学目标与要求】1、教学目标：数学分析的主要内容是微积分，主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算。而微分学是微积分的重要组成部分，其中的两个重要概念一一导数和微分就是解决这些间题普遍的有效的工具。通过本章的学习，1)让学生系统掌握导数和微分的基本思想及计算技巧。2)通过对微分思想产生的背景的认识，在认真总结前人成果的基础上，培养学生用微分解决实际问题的能力。3使学生进一步认识极限的思想和方法，弄清“不变与变、近似与精确”的内在关系，学会用辨证唯物主义思想去认识问题。4）融入辩证唯物主义思想教育，提高学生人文素养和辩证思维，使学生形成科学的世界观；融入毅力品质教育，教育学生面对挫折和失败，要有刻苦钻研的顽强毅力。2、教学要求：1）掌握导数与微分的概念，了解其几何意义。2）能熟练地运用导数运算性质与求导法则（特别是复合函数求异法则)求函数的导数。3）能求函数的高阶导数。4）会求函数的微分，会用微分进行近似计算。【教学重点与难点】1、教学重点：导数与微分的概念及其计算。2、教学难点：复合函数的求导，高阶微分。【教学内容】

第四章函数的连续性（10学时）【教学目标与要求】 1、教学目标：数学分析的发展史告诉我们，无论是从理论上还是在应用中都应从连续函数开始。于是连续函数就成为数学分析的主要研究对象。通过本章的学习，1）让学生掌握连续函数的概念、性质和一致连续性定理。2）通过对函数连续性的讨论，使学生加深对极限思想和方法的认识。3）通过对概念的分析，提高学生的分析、抽象思维的能力，为以后的学习打下坚实的基础。 2、教学要求： 1) 深刻理解和掌握函数连续性的概念、连续函数的概念和函数点连续的基本性质。 2) 掌握间断点的概念及其分类。 3) 能正确叙述和应用闭区间上连续函数的性质。 4) 掌握初等函数的连续性。【教学重点与难点】 1、教学重点：函数连续性的概念和闭区间上连续函数的性质。 2、教学难点：一致连续性的概念。【教学内容】 4.1 连续性概念 4.2 连续函数的性质 4.3 初等函数的连续性【思政元素融入点】通过连续变化的例子，教育学生要遵守事物变化的连续性，注重知识点的积累，不能急于求成，需要一步一个脚印不断的努力；教育学生学习也不能急于求成、跳跃性发展，要有刻苦钻研的顽强毅力，坚持不懈，直到问题解决。第五章导数与微分（12学时）【教学目标与要求】 1、教学目标：数学分析的主要内容是微积分，主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算。而微分学是微积分的重要组成部分，其中的两个重要概念——导数和微分就是解决这些问题普遍的有效的工具。通过本章的学习，1)让学生系统掌握导数和微分的基本思想及计算技巧。2)通过对微分思想产生的背景的认识，在认真总结前人成果的基础上，培养学生用微分解决实际问题的能力。3)使学生进一步认识极限的思想和方法，弄清“不变与变、近似与精确”的内在关系，学会用辨证唯物主义思想去认识问题。4）融入辩证唯物主义思想教育，提高学生人文素养和辩证思维，使学生形成科学的世界观；融入毅力品质教育，教育学生面对挫折和失败，要有刻苦钻研的顽强毅力。 2、教学要求： 1) 掌握导数与微分的概念，了解其几何意义。 2) 能熟练地运用导数运算性质与求导法则 (特别是复合函数求异法则 )求函数的导数。 3) 能求函数的高阶导数。 4) 会求函数的微分，会用微分进行近似计算。【教学重点与难点】 1、教学重点：导数与微分的概念及其计算。 2、教学难点：复合函数的求导，高阶微分。【教学内容】

5.1导数的概念5.2求导法则5.3参变量函数的导数5.4高阶导数5.5微分【思政元素融入点】挖掘导数定义中蕴含的量变与质变关系，融入辩证唯物主义思想教育，提高学生人文素养和辩证思维，使学生形成科学的世界观。对高阶导数，融入毅力品质教育，教育学生面对挫折和失败，要有刻苦钻研的顽强毅力。通过微分的应用，教育学生要“积鞋步以至千里，积急情以至深渊”的道理。第六章微分中值定理及其应用（14学时）【教学目标与要求】1、教学目标：导数是研究函数性态的重要工具，仅从导数概念出发并不能体现这种工具的作用，它需要建立在微分学的基本定理一微分中值定理的基础之上。中值定理就是导数应用的理论基础，它把函数在某个区间的值的变化与导数联系起来，从而才有可能应用反应局部状态的导数，研究函数在区间上的“整体”状态。通过本章的学习，1)让学生系统掌握微分学的基本定理。2)使学生注意认识数学转换思想、构造辅助函数方法的应用。3）通过对微分思想产生的背景的认识，在认真总结前人成果的基础上培养学生用微分解决实际间题的能力。2、教学要求：1）掌握中值定理的内容与证明。2）熟悉中值定理的某些应用(如研究一些恒等式与不等式、泰勒（Taylor)定理、洛必达(L'Hospital）法则）。3）能够把某些函数按泰勒（Taylor)公式展开。4）能熟练地用洛必达(L'Hospital）法则求不定式的极限。5）掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较准确地描绘函数的图象。6）会求函数的极大（小）值、最大（小）值、拐点。7）会求实际问题的最值。【教学重点与难点】1、教学重点：中值定理、泰勒(Taylor)公式和利用导数研究函数的单调性、极值与凸性。2、教学难点：泰勒(Taylor)公式，用辅助函数解决问题的方法和函数的凸性。【教学内容】6.1拉格朗日定理和函数的单调性6.2柯西中值定理和不定式极限6.3泰勒公式6.4函数的极值与最大（小）值6.5函数的凸性与拐点6.6函数图象的讨论【思政元素融入点】教学过程中结合数学史有机融入在知识形成过程中前人所经历的千辛万苦和它们对人类社会发展的作用，教育学生面对挫折和失败，要有刻苦钻研的顽强毅力。结合课程内容融入不怕挫折勇往直前的意志和戒骄戒躁、谦虚进取的精神教育。通过极值、最大最小值、函数的增减性等概念延伸到遭遇挫折时不悲观绝望，获得成功时不骄傲自满，培养学生不怕挫折勇往直前的意志和戒骄戒踝谦虚进取的精神

5.1 导数的概念 5.2 求导法则 5.3 参变量函数的导数 5.4 高阶导数 5.5 微分【思政元素融入点】挖掘导数定义中蕴含的量变与质变关系，融入辩证唯物主义思想教育，提高学生人文素养和辩证思维，使学生形成科学的世界观。对高阶导数，融入毅力品质教育，教育学生面对挫折和失败，要有刻苦钻研的顽强毅力。通过微分的应用，教育学生要“积跬步以至千里，积怠惰以至深渊”的道理。第六章微分中值定理及其应用（14学时）【教学目标与要求】 1、教学目标：导数是研究函数性态的重要工具，仅从导数概念出发并不能体现这种工具的作用，它需要建立在微分学的基本定理——微分中值定理的基础之上。中值定理就是导数应用的理论基础，它把函数在某个区间的值的变化与导数联系起来，从而才有可能应用反应局部状态的导数，研究函数在区间上的“整体”状态。通过本章的学习，1)让学生系统掌握微分学的基本定理。2)使学生注意认识数学转换思想、构造辅助函数方法的应用。3）通过对微分思想产生的背景的认识，在认真总结前人成果的基础上培养学生用微分解决实际问题的能力。 2、教学要求： 1) 掌握中值定理的内容与证明。 2) 熟悉中值定理的某些应用(如研究一些恒等式与不等式、泰勒（Taylor)定理、洛必达 (L ’Hospital）法则)。 3) 能够把某些函数按泰勒（Taylor)公式展开。 4) 能熟练地用洛必达(L ’Hospital）法则求不定式的极限。 5) 掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较准确地描绘函数的图象。 6) 会求函数的极大(小)值、最大(小)值、拐点。 7) 会求实际问题的最值。【教学重点与难点】 1、教学重点：中值定理、泰勒(Taylor)公式和利用导数研究函数的单调性、极值与凸性。 2、教学难点：泰勒(Taylor)公式，用辅助函数解决问题的方法和函数的凸性。【教学内容】 6.1 拉格朗日定理和函数的单调性 6.2 柯西中值定理和不定式极限 6.3 泰勒公式 6.4 函数的极值与最大（小）值 6.5 函数的凸性与拐点 6.6 函数图象的讨论【思政元素融入点】教学过程中结合数学史有机融入在知识形成过程中前人所经历的千辛万苦和它们对人类社会发展的作用，教育学生面对挫折和失败，要有刻苦钻研的顽强毅力。结合课程内容融入不怕挫折勇往直前的意志和戒骄戒躁、谦虚进取的精神教育。通过极值、最大最小值、函数的增减性等概念延伸到遭遇挫折时不悲观绝望，获得成功时不骄傲自满，培养学生不怕挫折勇往直前的意志和戒骄戒躁谦虚进取的精神

四、教学方法本课程的教学主要采用课堂讲授法、讨论法、问题探究式、启发式、学生练习法和自主学习法等方式进行，并在教学过程中注重多媒体等现代教育技术手段的使用，融合多种线上教学资源，结合课程特点，要做到以下几点：1）适当、适时组织课除组织好课堂教堂堂讨论，所讨论的间题应是教材中的重点和2）加强对学生的自学指导，一些易激X年口于理解和注重数学思维培养的内容资源结合教材内容进行课后自主学习，2但对学生应掌握的知识，必须提出明确的要求并配备相应的练习题供学生练习。3）在教材取舍上，及时弃旧图新，以顺应时代发展和科技进步，在概念及方法的引进上应体现现代化精神。4）每章结束后让学生进行归纳总结，采用视频讲解方式发送班级群，让学生互相学习并点评，加深对该章的认识和体会，以巩固所学知识，并培养学生的教学能力，提高学生沟通协作技能。5）课堂教学中融入思政元素，实现思想政治教育与知识体系教育的有机统一，达到润物细无声”的育人效果。6）利用现代信息技术手段建立师生互动微课堂分层辅导学生的学习。五、实践教学安排分章节分小组分层次进行讨论，梳理所学知识点，采用视频讲解方式和翻转课堂形式相结合完成知识点总结和习题讲解，加强学生的知识理解和教学基本功。六、课程考核本课程考核采用平时考核、期中考试与期末考试三部分综合进行，平时考核占30%（至少有三项：作业、考勤、笔记、课堂讨论、知识小结、测试、视频作业等），期中考试成绩占20%，期末考试成绩占50%。期末考试采用笔试方式进行，命题组统一命题，流水阅卷。七、课程评价（一）课程目标评价标准表3课程目标评价标准评价标准课程目标90-100分80-89分70-79分60-69分0-59分优良中及格不及格1.很好地掌握基1.较好地掌握基1.能够掌握基1.基本掌握基1.没有完全掌本概念、基本定本概念、基本定理本概念、基本定本概念、基本定握基本概念、基理和基本方法；和基本方法；理和基本方法；理和基本方法；本定理和基本2.具备很好的抽2.具备较好的抽2.具备抽象概2.基本具备抽方法；象概况能力；象概况能力；况能力；象概况能力；2.不完全具备3.很好地了解数3.较好地了解数3. 了解数学学3.基本了解数抽象概况能力；学学科的新发展科的新发展和学学科的新发展学学科的新发3.没有了解数谦程目标1和教学领域的新和教学领域的新教学领域的新展和教学领域学学科的新发理念、新方法和理念、新方法和新理念、新方法和的新理念、新方展和教学领域成果；新成果；新成果；法和新成果；的新理念、新方4.深刻理解数学4.能够领会数学4.领会数学学4.基本领会数法和新成果；学科的育人价学科的育人价值。科的育人价值。学学科的育人4.不能完全领值。价值。会数学学科的育人价值。1.具备很好的数1.具备较好的数1.具备数学运1.基本具备数1.不完全具备学运算能力；学运算能力；算能力；学运算能力；数学运算能力；2.能够领会并体2.领会并体验2.基本领会并2.不能完全领2.深刻领会并体课程目标2验数学教学中的验数学教学中的会并体验数学数学教学中的体验数学教学育人活动。有人活动。育人活动。中的育人活动。教学中的育人活动。1.具备很好的逻1.具备较好的逻1.具备逻辑推1.基本具备逻1.不完全具备辑推理能力；辑推理能力；理能力；辑推理能力；逻辑推理能力；2.具有很好的自2.具有较好的自2.具有自主学2.基本具有自2.不完全具有主学习能力；主学习能力；习能力；主学习能力；自主学习；课程目标33.具备很好的将3.具备较好的将3.具备将数学3.基本具备将3.不完全具备数学问题转化为问题转化为教数学问题转化将数学问题转数学问题转化为教研问题并进行教研问题并进行研问题并进行为教研问题并化为教研问题一定的数学教学一定的数学教学一定的数学教进行一定的数并进行一定的

四、教学方法本课程的教学主要采用课堂讲授法、讨论法、问题探究式、启发式、学生练习法和自主学习法等方式进行，并在教学过程中注重多媒体等现代教育技术手段的使用，融合多种线上教学资源，结合课程特点，除组织好课堂教学外，要做到以下几点：1) 适当、适时组织课堂讨论，所讨论的问题应是教材中的重点和难点问题。2) 加强对学生的自学指导，一些易于理解和注重数学思维培养的内容可让学生利用线上资源结合教材内容进行课后自主学习，但对学生应掌握的知识，必须提出明确的要求，并配备相应的练习题供学生练习。3) 在教材取舍上，及时弃旧图新，以顺应时代发展和科技进步，在概念及方法的引进上应体现现代化精神。4) 每章结束后让学生进行归纳总结，采用视频讲解方式发送班级群，让学生互相学习并点评，加深对该章的认识和体会，以巩固所学知识，并培养学生的教学能力，提高学生沟通协作技能。5）课堂教学中融入思政元素，实现思想政治教育与知识体系教育的有机统一，达到“润物细无声”的育人效果。6）利用现代信息技术手段建立师生互动微课堂分层辅导学生的学习。五、实践教学安排分章节分小组分层次进行讨论，梳理所学知识点，采用视频讲解方式和翻转课堂形式相结合完成知识点总结和习题讲解，加强学生的知识理解和教学基本功。六、课程考核本课程考核采用平时考核、期中考试与期末考试三部分综合进行，平时考核占30%（至少有三项：作业、考勤、笔记、课堂讨论、知识小结、测试、视频作业等），期中考试成绩占20%，期末考试成绩占50%。期末考试采用笔试方式进行，命题组统一命题，流水阅卷。七、课程评价（一）课程目标评价标准表3 课程目标评价标准课程目标评价标准 90-100 分 80-89 分 70-79 分 60-69 分 0-59 分优良中及格不及格课程目标 1 1.很好地掌握基本概念、基本定理和基本方法； 2.具备很好的抽象概况能力； 3.很好地了解数学学科的新发展和教学领域的新理念、新方法和新成果； 4.深刻理解数学学科的育人价值。 1.较好地掌握基本概念、基本定理和基本方法； 2.具备较好的抽象概况能力； 3.较好地了解数学学科的新发展和教学领域的新理念、新方法和新成果； 4.能够领会数学学科的育人价值。 1. 能够掌握基本概念、基本定理和基本方法； 2. 具备抽象概况能力； 3. 了解数学学科的新发展和教学领域的新理念、新方法和新成果； 4. 领会数学学科的育人价值。 1. 基本掌握基本概念、基本定理和基本方法； 2. 基本具备抽象概况能力； 3. 基本了解数学学科的新发展和教学领域的新理念、新方法和新成果； 4. 基本领会数学学科的育人价值。 1. 没有完全掌握基本概念、基本定理和基本方法； 2. 不完全具备抽象概况能力； 3. 没有了解数学学科的新发展和教学领域的新理念、新方法和新成果； 4. 不能完全领会数学学科的育人价值。课程目标 2 1.具备很好的数学运算能力； 2.深刻领会并体验数学教学中的育人活动。 1.具备较好的数学运算能力； 2.能够领会并体验数学教学中的育人活动。 1. 具备数学运算能力； 2. 领会并体验数学教学中的育人活动。 1. 基本具备数学运算能力； 2. 基本领会并体验数学教学中的育人活动。 1. 不完全具备数学运算能力； 2. 不能完全领会并体验数学教学中的育人活动。课程目标 3 1.具备很好的逻辑推理能力； 2.具有很好的自主学习能力； 3.具备很好的将数学问题转化为教研问题并进行一定的数学教学 1.具备较好的逻辑推理能力； 2.具有较好的自主学习能力； 3.具备较好的将数学问题转化为教研问题并进行一定的数学教学 1. 具备逻辑推理能力； 2. 具有自主学习能力； 3. 具备将数学问题转化为教研问题并进行一定的数学教 1. 基本具备逻辑推理能力； 2. 基本具有自主学习能力； 3. 基本具备将数学问题转化为教研问题并进行一定的数 1. 不完全具备逻辑推理能力； 2. 不完全具有自主学习； 3. 不完全具备将数学问题转化为教研问题并进行一定的

研究的能力；研究的能力；学研究的能力；数学教学研究学教学研究的4.具有很好的“三4.具有较好的“三4.具有“三全"育能力；的能力；全"育人意识，全"育人意识。人意识。4.基本具有“三4.不具有“三全”全”育人意识。育人意识。1.不完全具备1.具备很好的自1.具备较好的自1，具备自我反基本具备自1.我反思能力和批我反思能力和批思能力和批判我反思能力和自我反思能力判性思维；判性思维;性思维；批判性思维；和批判性思维;2.具有很好的沟2.具有较好的沟2.县有沟通合2.基本具有沟2.不完全具有通合作能力和团通合作能力和团作能力和团队通合作能力和沟通合作能力队协作精神；队协作精神；协作精神；团队协作精神；和团队协作精3.具备较好的利神;3.具备很好的利3.具备利用数3.基本具备利课程目标4用数学分析的思用数学分析的思学分析的思想用数学分析的3.不完全具备想和方法分析间想和方法分析间和方法分析间思想和方法分利用数学分析题并解决问题的题并解决问题的题并解决问题析问题并解决的思想和方法能力以及一定的能力以及一定的的能力以及一问题的能力以分析问题并解创新应用能力。创新应用能力。定的创新应用及一定的创新决问题的能力能力。应用能力。以及一定的创新应用能力。（二）课程月标评价方法课程评价主要是本门课程的课程目标达成度评价。课程目标达成度评价主要采用定量评价与定性评价相结合的方法，具体包括：课程调查问卷、平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩。相应课程目标评价方式见表3。表4课程目标评价方式平时成绩期中考试成绩课程目标调查问卷期末考试成绩VVVV课程目标1VVVV课程目标2VVV课程目标3VVVVV课程目标41.定性评价定性评价采用调查间卷的方式来实现。调查问卷根据本门课程目标制作，主要反映被调查者（教师本人和学生）对课程目标达成的满意度，根据被调查者的满意程度赋分。表5教师、学生对课程目标达成情况评价课程目标教师评价50%学生评价50%课程目标达成评价方法T1S1课程目标1课程分目标Ai达成度课程目标2T2S2=0.5×Ti+0.5×Si.课程目标3T3S3(i=1,2,3,4) ;课程目标整体达成度T4S4课程目标4=min(Ai)2.定量评价

研究的能力； 4.具有很好的“三全”育人意识。研究的能力； 4.具有较好的“三全”育人意识。学研究的能力； 4.具有“三全”育人意识。学教学研究的能力； 4.基本具有“三全”育人意识。数学教学研究的能力； 4.不具有“三全” 育人意识。课程目标 4 1. 具备很好的自我反思能力和批判性思维； 2.具有很好的沟通合作能力和团队协作精神； 3.具备很好的利用数学分析的思想和方法分析问题并解决问题的能力以及一定的创新应用能力。 1. 具备较好的自我反思能力和批判性思维； 2.具有较好的沟通合作能力和团队协作精神； 3.具备较好的利用数学分析的思想和方法分析问题并解决问题的能力以及一定的创新应用能力。 1. 具备自我反思能力和批判性思维； 2. 具有沟通合作能力和团队协作精神； 3. 具备利用数学分析的思想和方法分析问题并解决问题的能力以及一定的创新应用能力。 1. 基本具备自我反思能力和批判性思维； 2. 基本具有沟通合作能力和团队协作精神； 3. 基本具备利用数学分析的思想和方法分析问题并解决问题的能力以及一定的创新应用能力。 1. 不完全具备自我反思能力和批判性思维； 2. 不完全具有沟通合作能力和团队协作精神； 3. 不完全具备利用数学分析的思想和方法分析问题并解决问题的能力以及一定的创新应用能力。（二）课程目标评价方法课程评价主要是本门课程的课程目标达成度评价。课程目标达成度评价主要采用定量评价与定性评价相结合的方法，具体包括：课程调查问卷、平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩。相应课程目标评价方式见表3。表4 课程目标评价方式课程目标调查问卷平时成绩期中考试成绩期末考试成绩课程目标 1 √ √ √ √ 课程目标 2 √ √ √ √ 课程目标 3 √ √ √ √ 课程目标 4 √ √ √ √ 1.定性评价定性评价采用调查问卷的方式来实现。调查问卷根据本门课程目标制作，主要反映被调查者（教师本人和学生）对课程目标达成的满意度，根据被调查者的满意程度赋分。表5 教师、学生对课程目标达成情况评价课程目标教师评价 50% 学生评价 50% 课程目标达成评价方法课程目标 1 T1 S1 课程目标 2 T2 S2 课程分目标 Ai 达成度 =0.5×Ti+0.5×Si ，（i=1,2,3,4）; 课程目标整体达成度 =min{Ai} 课程目标 3 T3 S3 课程目标 4 T4 S4 2.定量评价

定量评价包括平时成绩、期中考试和期末考试。平时成绩包括作业、考勤、课堂讨论知识小结、笔记、测试、视频作业等，任课教师根据具体情况选择合适方式并按完成情况赋分；期中、期末考试成绩根据学生得分赋分，最终按照表6所列分值为百分比权重进行转换。表6课程考核成绩对课程目标达成情况评价期中期末平时成绩课程目标考试成绩考试成绩课程目标达成评价方法30%20%50%课程分目标达成度Bi=0.3x（分目标平课程目标1202020时成绩平均分/分目标平时成绩总分）+0.2×（分目标期中考试成绩平均分/203030课程目标2分目标期中考试成绩总分）+0.5×（分目标期末考试成绩平均分/分目标期课程目标3203030末考试成绩总分)；（i=1,2,3，4)课程目标整体达成度=课程分目标达课程目标4402020成度的最小值3.综合评价课程目标达成情况综合评价按照定性和定量所占权重进行综合计算，具体如表7所示。表7课程目标达成情况评价课程目标调查问卷10%课程考核成绩90%课程目标达成评价方法课程目标1A1B1课程分目标达成度=0.1×Ai+0.9xBi课程目标2A2B2(i=1,2,3,4)课程目标整体达成度=课程分目标达B3课程目标3A3成度的最小值。A4B4课程目标4七、课程资源（一）建议选用教材华东师范大学数学系，数学分析（第五版），北京：高等教育出版社，2019（二）主要参考书目[1]刘玉琏，傅沛仁。数学分析讲义。北京：高等教育出版社,2005.[2]陈传璋等，数学分析，北京：高等教育出版社，1983.[3]陈纪修，於崇华，金路，数学分析，北京：高等教育出版社，2000[4】吉米多维奇，数学分析习题集（共六册）：北京：高等教育出版社，1982[5]郝涌，王娜，王霞等数学分析选讲（第2版)：北京：国防工业出版社，2014[6]同济大学应用数学系．数学分析同步辅导，北京：航空工业出版社,2005.[7]谢惠民等，数学分析习题课讲义，北京：高等教育出版社，2003.[8]装礼文，数学分析中的典型间题与方法，北京：高等教育出版社，1993[9]王向东，数学分析的概念与方法，上海：上海科学技术文献出版社，1989.[10] Rudin W. Principles of mathematical analysis. New York: McGraw-Hill Book CompanyInc, 1953[11]Bernard R Gelbaum.Counterexamplesin analysis, San Francisco:Holden-DayInc,1964

定量评价包括平时成绩、期中考试和期末考试。平时成绩包括作业、考勤、课堂讨论、知识小结、笔记、测试、视频作业等，任课教师根据具体情况选择合适方式并按完成情况赋分；期中、期末考试成绩根据学生得分赋分，最终按照表 6 所列分值为百分比权重进行转换。表6 课程考核成绩对课程目标达成情况评价课程目标平时成绩 30% 期中考试成绩 20% 期末考试成绩 50% 课程目标达成评价方法课程目标 1 20 20 20 课程分目标达成度 Bi=0.3×（分目标平时成绩平均分/分目标平时成绩总分） +0.2×（分目标期中考试成绩平均分/ 分目标期中考试成绩总分）+0.5×（分目标期末考试成绩平均分/分目标期末考试成绩总分）；（i=1,2,3，4）课程目标整体达成度=课程分目标达成度的最小值课程目标 2 20 30 30 课程目标 3 20 30 30 课程目标 4 40 20 20 3.综合评价课程目标达成情况综合评价按照定性和定量所占权重进行综合计算，具体如表 7 所示。表7 课程目标达成情况评价七、课程资源（一）建议选用教材华东师范大学数学系，数学分析（第五版），北京：高等教育出版社，2019 （二）主要参考书目 [1] 刘玉琏, 傅沛仁．数学分析讲义．北京: 高等教育出版社, 2005. [2] 陈传璋等，数学分析，北京：高等教育出版社，1983. [3] 陈纪修，於崇华，金路，数学分析，北京：高等教育出版社，2000. [4] 吉米多维奇. 数学分析习题集（共六册）. 北京: 高等教育出版社, 1982. [5] 郝涌, 王娜, 王霞等. 数学分析选讲(第2版): 北京: 国防工业出版社, 2014. [6] 同济大学应用数学系. 数学分析同步辅导. 北京: 航空工业出版社, 2005. [7] 谢惠民等，数学分析习题课讲义，北京：高等教育出版社，2003. [8] 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法，北京：高等教育出版社，1993. [9] 王向东，数学分析的概念与方法，上海：上海科学技术文献出版社，1989. [10] Rudin W. Principles of mathematical analysis. New York: McGraw-Hill Book Company Inc, 1953. [11] Bernard R Gelbaum. Counterexamples in analysis, San Francisco: Holden- Day Inc, 1964. 课程目标调查问卷 10% 课程考核成绩 90% 课程目标达成评价方法课程目标 1 A1 B1 课程分目标达成度=0.1×Ai+0.9×Bi （i=1,2,3,4）课程目标整体达成度=课程分目标达成度的最小值。课程目标 2 A2 B2 课程目标 3 A3 B3 课程目标 4 A4 B4

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