《数学分析2》课程教学大纲一、课程信息课程名称：数学分析2MathematicalAnalysis2课程代码：06S1102B课程类别：专业基础及核心课适用专业：数学与应用数学专业（师范类）课程学时：90学时课程学分：5学分修读学期：第2学期先修课程：数学分析1二、课程目标（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.理解和掌握实数完备性的几个基本定理，不定积分、定积分、广义积分、级数的概念，熟悉函数可积的必要条件和充要条件，了解收敛级数的性质以及各类收敛判别法，了解傅里叶级数产生的背景及其应用前景，具备一定的数学素养和数学技能。【支撑毕业要求3、4、6】2.掌握各类积分的计算方法，熟悉各类级数敛散性判别方法，能够将函数展成幂级数和傅里叶级数，具备一定的计算能力和分析判断能力。【支撑毕业要求3、4、713.了解微积分学基本思想的内涵，理解微分与积分的对立统一关系；了解级数理论产生的背景，能够熟练地判定级数的敛散性，具有一定的逻辑推理能力。【支撑毕业要求3、4、6、7】4.具有主动运用数学分析的思想与方法去分析问题、解决问题，具有一定的创新意识和应用能力。【支撑毕业要求3、7、8】
《数学分析 2》课程教学大纲 一、课程信息 课程名称：数学分析 2 Mathematical Analysis 2 课程代码：06S1102B 课程类别：专业基础及核心课 适用专业：数学与应用数学专业（师范类） 课程学时：90学时 课程学分：5学分 修读学期：第2学期 先修课程：数学分析 1 二、课程目标 （一）具体目标 通过本课程的学习，使学生达到以下目标： 1. 理解和掌握实数完备性的几个基本定理，不定积分、定积分、广义积分 、级数的概念，熟悉函数可积的必要条件和充要条件，了解收敛级数的性质以及 各类收敛判别法，了解傅里叶级数产生的背景及其应用前景，具备一定的数学素 养和数学技能。【支撑毕业要求3、4、6】 2. 掌握各类积分的计算方法，熟悉各类级数敛散性判别方法，能够将函数 展成幂级数和傅里叶级数，具备一定的计算能力和分析判断能力。【支撑毕业要 求3、4、7】 3. 了解微积分学基本思想的内涵，理解微分与积分的对立统一关系；了解 级数理论产生的背景，能够熟练地判定级数的敛散性，具有一定的逻辑推理能力 。【支撑毕业要求3、4、6、7】 4. 具有主动运用数学分析的思想与方法去分析问题、解决问题，具有一定 的创新意识和应用能力。【支撑毕业要求3、7、8】
（二）课程目标与毕业要求的对应关系表1课程目标与毕业要求的对应关系课程目标支撑的毕业要求支撑的毕业要求指标点3-1具有丰富的数学专业知识和专业核心素养，具有较强的空间抽象，、逻辑思维、合情推理和计算能力，对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。3-2数学学科教学知识丰富，了解数学学科与其他学科以及社会实3.学科素养践的联系，认同数学的应用价值。4.教学能力课程目标13-3理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目标导向的数学6.综合育人学习指导方法与策略。4-3了解数学教学研究的基本思想和基本方法，了解数学科学的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。6-2理解数学学科育人价值，具有“三全"育人意识，能有机结合数学教学进行育人活动。3-1具有丰富的数学专业知识和专业核心素养，具有较强的空间抽象、逻辑思维、合情推理和计算能力，对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。3.学科素养3-3理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目标导向的数学课程目标24.教学能力学习指导方法与策略。7.学会反恩4-2能依据数学学科特点和学生的认知特征，恰当地运用数学学科知识、信息技术，进行教学设计、实施、评价和改进课堂教学。7-2了解国内外基础教育数学教学改革发展动态，能够适应时代和教育发展需求，进行学习和职业生涯规划。3-1具有丰富的数学专业知识和专业核心素养，具有较强的空间抽象，逻辑思维、合情推理和计算能力，对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。3.学科素养4-3了解数学教学研究的基本思想和基本方法，了解数学科学的新4.教学能力课程目标3发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。6.综合育人6-2理解数学学科育人价值，具有“三全”育人意识，能有机结合数7.学会反思学教学进行育人活动。7-1具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和适应发展的能力。3-1具有丰富的数学专业知识和专业核心素养，具有较强的空间抽3.学科素养象、逻辑思维、合情推理和计算能力，对数学学科知识结构体系的课程目标47.学会反思建构有正确、清晰、合理的认识。8.沟通合作3-2数学学科教学知识丰富，了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认同数学的应用价值
（二）课程目标与毕业要求的对应关系 表1 课程目标与毕业要求的对应关系 课程目标 支撑的毕业要求 支撑的毕业要求指标点 课程目标 1 3.学科素养 4.教学能力 6.综合育人 3-1 具有丰富的数学专业知识和专业核心素养，具有较强的空间抽 象、逻辑思维、合情推理和计算能力，对数学学科知识结构体系的 建构有正确、清晰、合理的认识。 3-2 数学学科教学知识丰富，了解数学学科与其他学科以及社会实 践的联系，认同数学的应用价值。 3-3 理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目标导向的数学 学习指导方法与策略。 4-3 了解数学教学研究的基本思想和基本方法，了解数学科学的新 发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。 6-2 理解数学学科育人价值，具有“三全”育人意识，能有机结合数学 教学进行育人活动。 课程目标 2 3.学科素养 4.教学能力 7.学会反思 3-1 具有丰富的数学专业知识和专业核心素养，具有较强的空间抽 象、逻辑思维、合情推理和计算能力，对数学学科知识结构体系的 建构有正确、清晰、合理的认识。 3-3 理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目标导向的数学 学习指导方法与策略。 4-2 能依据数学学科特点和学生的认知特征，恰当地运用数学学科 知识、信息技术，进行教学设计、实施、评价和改进课堂教学。 7-2 了解国内外基础教育数学教学改革发展动态，能够适应时代和 教育发展需求，进行学习和职业生涯规划。 课程目标 3 3.学科素养 4.教学能力 6.综合育人 7.学会反思 3-1 具有丰富的数学专业知识和专业核心素养，具有较强的空间抽 象、逻辑思维、合情推理和计算能力，对数学学科知识结构体系的 建构有正确、清晰、合理的认识。 4-3 了解数学教学研究的基本思想和基本方法，了解数学科学的新 发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。 6-2 理解数学学科育人价值，具有“三全”育人意识，能有机结合数 学教学进行育人活动。 7-1 具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和适应 发展的能力。 课程目标 4 3.学科素养 7.学会反思 8.沟通合作 3-1 具有丰富的数学专业知识和专业核心素养，具有较强的空间抽 象、逻辑思维、合情推理和计算能力，对数学学科知识结构体系的 建构有正确、清晰、合理的认识。 3-2 数学学科教学知识丰富，了解数学学科与其他学科以及社会实 践的联系，认同数学的应用价值
7-1具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和适应发展的能力。8-1具有团队协作精神，掌握沟通合作技能，积极主动参与小组学习、专题研讨、团队互动、网络分享等协作学习活动，乐于分享经验和想法。8-3具有全球意识和开放心态，积极参与国际教育交流活动，并能够借鉴、消化、吸收国际先进教育理念与经验。三、课程内容（一）课程内容与课程目标的关系表2课程内容与课程目标的关系课程内容教学方法支撑的课程目标学时安排第七章实数的完备性课堂讲授6课程目标1、410第八章不定积分课堂讲授，课堂练习课程目标1、2第九章定积分课堂讲授，专题研讨14课程目标1、2、3、412第十章定积分的应用课堂讲投，课堂讨论课程目标1、2、48第十一章反常积分课堂讲授课程目标1、2、3、410第十二章数项级数课堂讲授，专题研讨课程目标1、2、3、412第十三章函数列与函数项级数课堂讲授，专题研讨课程目标1、2、38第十四章暴级数课堂讲授，课堂讨论课程目标1、2、3、410第十五章傅里叶级数课堂讲授，课堂讨论课程目标1、2、3合计90学时（二）具体内容第七章实数的完备性（6学时）【教学目标与要求】1、教学目标：完备性是实数集有别于有理数集的重要特征，是实数集的优点，因此将极限理论建立在实数集上，极限理论就有了稳固的基础。通过本章的学习，1）使学生了解实数的完备性，理解描述完备性的几个等价定理的内容。2）让学生了解
7-1 具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和适应 发展的能力。 8-1 具有团队协作精神，掌握沟通合作技能，积极主动参与小组学 习、专题研讨、团队互动、网络分享等协作学习活动，乐于分享经 验和想法。 8-3 具有全球意识和开放心态，积极参与国际教育交流活动，并能 够借鉴、消化、吸收国际先进教育理念与经验。 三、课程内容 （一）课程内容与课程目标的关系 表2 课程内容与课程目标的关系 课程内容 教学方法 支撑的课程目标 学时安排 第七章 实数的完备性 课堂讲授 课程目标 1、4 6 第八章 不定积分 课堂讲授，课堂练习 课程目标 1、2 10 第九章 定积分 课堂讲授，专题研讨 课程目标 1、2、3、4 14 第十章 定积分的应用 课堂讲授，课堂讨论 课程目标 1、2、4 12 第十一章 反常积分 课堂讲授 课程目标 1、2、3、4 8 第十二章 数项级数 课堂讲授，专题研讨 课程目标 1、2、3、4 10 第十三章 函数列与函数项级数 课堂讲授，专题研讨 课程目标 1、2、3 12 第十四章 幂级数 课堂讲授，课堂讨论 课程目标 1、2、3、4 8 第十五章 傅里叶级数 课堂讲授，课堂讨论 课程目标 1、2、3 10 合计 90 学时 （二）具体内容 第七章 实数的完备性（6学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 完备性是实数集有别于有理数集的重要特征，是实数集的优点，因此将极限 理论建立在实数集上，极限理论就有了稳固的基础。通过本章的学习，1）使学 生了解实数的完备性，理解描述完备性的几个等价定理的内容。2）让学生了解
完备性的几个等价定理的应用，理解数学的严谨性，受到逻辑推理等方面的训练，培养逻辑思维能力。2、教学要求：1）掌握实数连续性的几个基本定理。2）能应用实数的完备性定理证明一些简单的理论问题。【教学重点与难点】1、教学重点：实数完备性基本定理的证明。2、教学难点：实数完备性基本定理的应用。【教学内容】关于实数集完备性的基本定理【思政元素融入点】结合数学史教育学生要有科学探索，勇于钻研的精神。实数完备性定理的阐述，使学生更好地体会数学的发现、发展过程以及由此产生的各种数学思想方法，理解数学的严谨性，培养逻辑思维能力。第八章不定积分（10学时）【教学目标与要求】1、教学目标：积分学是微积分的另一组成部分。不定积分是积分学的基本问题之一，它是求导运算的逆运算，其计算方法也是积分计算的基本方法。学习不定积分，一是为计算定积分服务，二是为一些后继课做准备。通过本章的学习，1）让学生理解原函数与导函数的关系，知道事物都是矛盾出现的。2)让学生系统掌握积分的基本思想，较熟练地获得本课程所要求的基本计算方法和能力。3）在大量做题的基础上打好积分运算的基础，为后续内容做好知识储备。2、教学要求：1）理解原函数与不定积分的概念、性质、与运算法则，熟记基本积分表。2）熟练掌握不定积分的基本公式、分部积分法和换元积分法、有理函数积分的计算。3）区分无理函数的积分和可化为有理函数积分的类型。【教学重点与难点】
完备性的几个等价定理的应用，理解数学的严谨性，受到逻辑推理等方面的训练 ，培养逻辑思维能力。 2、教学要求： 1) 掌握实数连续性的几个基本定理。 2) 能应用实数的完备性定理证明一些简单的理论问题。 【教学重点与难点】 1、教学重点：实数完备性基本定理的证明。 2、教学难点：实数完备性基本定理的应用。 【教学内容】 关于实数集完备性的基本定理 【思政元素融入点】 结合数学史教育学生要有科学探索，勇于钻研的精神。实数完备性定理的阐 述，使学生更好地体会数学的发现、发展过程以及由此产生的各种数学思想方法 ，理解数学的严谨性，培养逻辑思维能力。 第八章 不定积分（10学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 积分学是微积分的另一组成部分。不定积分是积分学的基本问题之一，它是 求导运算的逆运算，其计算方法也是积分计算的基本方法。学习不定积分，一是 为计算定积分服务，二是为一些后继课做准备。通过本章的学习，1）让学生理 解原函数与导函数的关系，知道事物都是矛盾出现的。2)让学生系统掌握积分的 基本思想，较熟练地获得本课程所要求的基本计算方法和能力。3）在大量做题 的基础上打好积分运算的基础，为后续内容做好知识储备。 2、教学要求： 1) 理解原函数与不定积分的概念、性质、与运算法则，熟记基本积分表。 2) 熟练掌握不定积分的基本公式、分部积分法和换元积分法、有理函数积 分的计算。 3) 区分无理函数的积分和可化为有理函数积分的类型。 【教学重点与难点】
1、教学重点：换元积分法和分部积分法。2、教学难点：积分法的应用技巧。【教学内容】8.1不定积分概念与基本积分公式8.2换元积分法与分部积分法8.3有理函数和可化为有理函数的不定积分【思政元素融入点】挖掘积分公式中蕴含的“少一多一无穷的道理及认识与实践、知识与训练的关系，延伸到不忘初心，砥砺前行的奋斗精神。如：不定积分基本公式，全部源于积分的定义与基本性质，而这些公式会被运用在各种积分问题的解决中。积分的定义与基本性质是少量的、是核心，而基于积分的定义和基本性质而推导出来的“不定积分基本公式”是很多的，而且这个“很多”是用来解决“更多甚至无穷”的问题的。结合对定义与基本性质（核心）)的理解能帮助我们正确运用公式，在解决问题的过程中有能不断强化记忆公式。第九章定积分（14学时）【教学目标与要求】1、教学目标：定积分是积分学的又一个重要概念，自然科学与生产实践中的许多问题都可以归结为定积分问题，所以定积分是具有重要的理论意义和实用价值的，熟练掌握定积分的思想及计算也是学习多元函数积分学的基础。通过本章的学习，1)让学生系统掌握积分基本思想和基本理论以及计算技巧。2)使学生深刻理解“以直代曲以不变代变”以匀代不匀”的数学思想。3）通过对积分思想产生的背景的认识，在认真总结前成果的基础上，培养学生解决实际问题的能力。2、教学要求：1）熟练掌握定积分的定义、性质、可积准则、微积分基本定理。2）能熟练地应用牛顿一莱布尼茨公式、换元积分公式与分部积分公式计算定积分。3）了解上和与下和的概念及其性质。4）掌握定积分的每个性质的证明方法
1、教学重点：换元积分法和分部积分法。 2、教学难点：积分法的应用技巧。 【教学内容】 8.1 不定积分概念与基本积分公式 8.2 换元积分法与分部积分法 8.3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 【思政元素融入点】 挖掘积分公式中蕴含的“少—多—无穷”的道理及认识与实践、知识与训练的 关系，延伸到不忘初心，砥砺前行的奋斗精神。如：不定积分基本公式，全部源 于积分的定义与基本性质，而这些公式会被运用在各种积分问题的解决中。积分 的定义与基本性质是少量的、是核心，而基于积分的定义和基本性质而推导出来 的“不定积分基本公式”是很多的，而且这个“很多”是用来解决“更多甚至无穷”的 问题的。结合对定义与基本性质(核心))的理解能帮助我们正确运用公式，在解决 问题的过程中有能不断强化记忆公式。 第九章 定积分（14学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 定积分是积分学的又一个重要概念，自然科学与生产实践中的许多问题都可 以归结为定积分问题，所以定积分是具有重要的理论意义和实用价值的，熟练掌 握定积分的思想及计算也是学习多元函数积分学的基础。通过本章的学习，1) 让学生系统掌握积分基本思想和基本理论以及计算技巧。2)使学生深刻理解“以 直代曲”“以不变代变”“以匀代不匀”的数学思想。3）通过对积分思想产生的背景 的认识，在认真总结前成果的基础上，培养学生解决实际问题的能力。 2、教学要求： 1) 熟练掌握定积分的定义、性质、可积准则、微积分基本定理。 2) 能熟练地应用牛顿—莱布尼茨公式、换元积分公式与分部积分公式计算 定积分。 3) 了解上和与下和的概念及其性质。 4) 掌握定积分的每个性质的证明方法
5）会应用可积准则证明三类函数的可积性，并掌握证明函数可积性的方法，逐步具有证明有关可积性问题的能力。【教学重点与难点】1、教学重点：定积分的定义、性质、微积分学基本定理及定积分的计算。2、教学难点：函数可积性的证明。【教学内容】9.1定积分概念9.2牛顿一莱布尼茨公式9.3可积条件9.4定积分性质9.5微积分学基本定理、定积分计算（续）【思政元素融入点】注意启迪学生“数学建模的思想，培养抽象思维能力，提高其运用能力。结合数学史融入毅力品质教育；融入“不以善小而不为，不以恶小而为之”“每个人的生活都是一件件不事组成的，养小德才能成大器等做人做事的道理，提升学生的思想品德素质水平；融入哲学教育，利用辩证法思想帮助学生深入理解定积分的概念。第十章定积分的应用（12学时）【教学目标与要求】1、教学目标：应用定积分解决实际问题，首先要根据问题的实际意义作出积分和，然后再取极限，从而就将实际问题抽象为定积分。但是，将作积分和与取极限两步截然分开的作法比较麻烦。在实际应用中是将作积分和与取极限两步合并为一步，即“微元法”，简便易行。通过本章的学习，1)让学生理解微元法的基本思想和基本方法。2)通过例题讲解，使学生真正学会用微元法解决定积分的相关问题，培养学生解决实际问题的能力。2、教学要求：1）理解微元法的基本思想和基本方法
5) 会应用可积准则证明三类函数的可积性，并掌握证明函数可积性的方法 ，逐步具有证明有关可积性问题的能力。 【教学重点与难点】 1、教学重点：定积分的定义、性质、微积分学基本定理及定积分的计算。 2、教学难点：函数可积性的证明。 【教学内容】 9.1 定积分概念 9.2 牛顿—莱布尼茨公式 9.3 可积条件 9.4 定积分性质 9.5 微积分学基本定理、定积分计算（续） 【思政元素融入点】 注意启迪学生“数学建模”的思想，培养抽象思维能力，提高其运用能力。 结合数学史融入毅力品质教育；融入“不以善小而不为，不以恶小而为之”“每个 人的生活都是一件件不事组成的，养小德才能成大器”等做人做事的道理，提升 学生的思想品德素质水平；融入哲学教育，利用辩证法思想帮助学生深入理解定 积分的概念。 第十章 定积分的应用（12学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 应用定积分解决实际问题，首先要根据问题的实际意义作出积分和，然后再 取极限，从而就将实际问题抽象为定积分。但是，将作积分和与取极限两步截然 分开的作法比较麻烦。在实际应用中是将作积分和与取极限两步合并为一步，即 “微元法”，简便易行。通过本章的学习，1)让学生理解微元法的基本思想和基本 方法。2)通过例题讲解，使学生真正学会用微元法解决定积分的相关问题，培养 学生解决实际问题的能力。 2、教学要求： 1) 理解微元法的基本思想和基本方法
2）逐步掌握微元法，掌握定积分的几何应用，了解定积分在物理及经济领域中的一些应用。3）培养学生用数学的眼光去观察、分析和表示各种事物的数量关系、空间关系和数学信息，以形成量化意识和良好的数感，进而达到用数理逻辑的观点来科学地看待世界。【教学重点与难点】1、教学重点：微元法及其应用。2、教学难点：微元法及其应用。【教学内容】10.1平面图形面积10.2由平行截面面积求体积（旋转体体积）10.3平面曲线的弧长与曲率10.4微元法、旋转曲面的面积10.5定积分在物理中的某些应用（液体静压力、引力、功、平均功率等）【思政元素融入点】融入应用数学的意识教育，培养学生善于思考，积极探索和敢于创新的个性品质。第十一章反常积分（8学时）【教学目标与要求】1、教学目标：为解决许多实际问题，需要将定积分进行推广。积分区间从有限推广到无限，被积函数从有界推广到无界即得到反常积分。通过本章的学习，1)让学生了解反常积分的产生，理解反常积分收敛发散定义，系统获得反常积分敛散性的判别方法。2)使学生注意无穷积分和瑕积分的关系，了解转化思想的应用。2、教学要求：1）掌握反常积分敛散性定义，瑕点的概念。2）掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子
2) 逐步掌握微元法，掌握定积分的几何应用，了解定积分在物理及经济领 域中的一些应用。 3）培养学生用数学的眼光去观察、分析和表示各种事物的数量关系、空间 关系和数学信息，以形成量化意识和良好的数感，进而达到用数理逻辑的观点来 科学地看待世界。 【教学重点与难点】 1、教学重点：微元法及其应用。 2、教学难点：微元法及其应用。 【教学内容】 10.1 平面图形面积 10.2 由平行截面面积求体积（旋转体体积） 10.3 平面曲线的弧长与曲率 10.4 微元法、旋转曲面的面积 10.5 定积分在物理中的某些应用（液体静压力、引力、功、平均功率等） 【思政元素融入点】 融入应用数学的意识教育，培养学生善于思考，积极探索和敢于创新的个性 品质。 第十一章 反常积分（8学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 为解决许多实际问题，需要将定积分进行推广。积分区间从有限推广到无限 ，被积函数从有界推广到无界即得到反常积分。通过本章的学习，1)让学生了解 反常积分的产生，理解反常积分收敛发散定义，系统获得反常积分敛散性的判别 方法。2)使学生注意无穷积分和瑕积分的关系，了解转化思想的应用。 2、教学要求： 1) 掌握反常积分敛散性定义，瑕点的概念。 2) 掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子
3）理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法以及一般函数反常积分的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别基本的反常积分。【教学重点与难点】1、教学重点：反常积分敛散性的判别。2、教学难点：用狄利克雷（Dirichlet）判别法与阿贝尔（Abel）判别法判别反常积分的敛散性。【教学内容】11.1反常积分概念11.2无穷积分的性质与收敛判别11.3瑕积分的性质与收敛判别【思政元素融入点】通过物理和生活中的例子，引导学生理解所学知识对解决问题的重要性，从而激发学生学习的主动性与积极性。通过对比定积分与反常积分之间的异同，培养学生类比、猜测以及创新的科学研究能力与素质。第十二章数项级数（10学时）【教学目标与要求】1、教学目标：无穷级数是数学分析中具有重要理论意义和实用价值的内容之一，它与数列极限有极紧密的联系，也是一种很有用的数学工具。通过本章的学习，1)让学生系统掌握级数敛散性的基本思想和基本理论以及判别方法。2)通过对级数敛散性的学习，提高学生对“由有限到无限，由特殊到一般”规律的认识，培养学生解决实际问题的能力。2、教学要求：1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2）掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。3）熟练掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法、根值判别法；会用比值判别法、根值判别法对正项级数进行敛散性的判别
3) 理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛 原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法以及一般函数反常积分的 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别基本的反常积分。 【教学重点与难点】 1、教学重点：反常积分敛散性的判别。 2、教学难点：用狄利克雷（Dirichlet）判别法与阿贝尔（Abel）判别法判别 反常积分的敛散性。 【教学内容】 11.1 反常积分概念 11.2 无穷积分的性质与收敛判别 11.3 瑕积分的性质与收敛判别 【思政元素融入点】 通过物理和生活中的例子，引导学生理解所学知识对解决问题的重要性，从 而激发学生学习的主动性与积极性。通过对比定积分与反常积分之间的异同，培 养学生类比、猜测以及创新的科学研究能力与素质。 第十二章 数项级数（10学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 无穷级数是数学分析中具有重要理论意义和实用价值的内容之一，它与数列 极限有极紧密的联系，也是一种很有用的数学工具。通过本章的学习，1)让学生 系统掌握级数敛散性的基本思想和基本理论以及判别方法。2)通过对级数敛散性 的学习，提高学生对“由有限到无限，由特殊到一般”规律的认识，培养学生解决 实际问题的能力。 2、教学要求： 1) 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本 性质及收敛的必要条件。 2) 掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。 3) 熟练掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法、根值判别法；会 用比值判别法、根值判别法对正项级数进行敛散性的判别
4）掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5）理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。6）掌握收敛级数和绝对收敛级数的性质及其证明方法，逐步具有应用级数的敛散性定义和收敛级数的性质证明级数中一些理论问题的能力。【教学重点与难点】1、教学重点：用定义求和以及级数收敛判别法。2、教学难点：狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。【教学内容】12.1级数的收敛性12.2正顶级数12.3一般项级数【思政元素融入点】融入哲学思想教育，促进学生形成科学的世界。融入理想信念教育，鼓励同学，发扬攻坚克难的精神。讲科学家的生平故事和他们对课程的贡献，用他们探索科学的过程、追求真理的历程，引导、教育学生在学习过程中体会科学家的钻研精神，从而树立远大目标，为社会发展做出自己的贡献。第十三章函数列与函数项级数（12学时）【教学目标与要求】1、教学目标：本章内容是上一章无穷级数内容的深化，也是具有重要理论意义和实用价值的内容之一，中心思想是怎样用函数列或函数项级数来表示一个函数，从而使我们能够借助级数来研究函数。所以级数这个工具在抽象理论与应用学科中处的地位是十分重要的。通过本章的学习，1)让学生在系统掌握级数敛散性的基本思想和基本理论以及判别方法的基础上，理解怎样用函数列或函数项级数来表示一个函数。2)使学生掌握如何利用函数列或函数项级数来研究被表示函数的性质。3）进一步提高学生对由有限到无限，由特殊到一般"规律的认识，培养学生解决实际问题的能力。2、教学要求：
4) 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5) 理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的 关系。 6) 掌握收敛级数和绝对收敛级数的性质及其证明方法，逐步具有应用级数 的敛散性定义和收敛级数的性质证明级数中一些理论问题的能力。 【教学重点与难点】 1、教学重点：用定义求和以及级数收敛判别法。 2、教学难点：狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。 【教学内容】 12.1 级数的收敛性 12.2 正顶级数 12.3 一般项级数 【思政元素融入点】 融入哲学思想教育，促进学生形成科学的世界。融入理想信念教育，鼓励同 学，发扬攻坚克难的精神。讲科学家的生平故事和他们对课程的贡献，用他们探 索科学的过程、追求真理的历程，引导、教育学生在学习过程中体会科学家的钻 研精神，从而树立远大目标，为社会发展做出自己的贡献。 第十三章 函数列与函数项级数（12学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 本章内容是上一章无穷级数内容的深化，也是具有重要理论意义和实用价值 的内容之一，中心思想是怎样用函数列或函数项级数来表示一个函数，从而使我 们能够借助级数来研究函数。所以级数这个工具在抽象理论与应用学科中处的地 位是十分重要的。通过本章的学习，1)让学生在系统掌握级数敛散性的基本思想 和基本理论以及判别方法的基础上，理解怎样用函数列或函数项级数来表示一个 函数。2)使学生掌握如何利用函数列或函数项级数来研究被表示函数的性质。3 ）进一步提高学生对“由有限到无限，由特殊到一般”规律的认识，培养学生解决 实际问题的能力。 2、教学要求：
1）熟练掌握一致收敛的定义及其否定叙述。2）能应用一致收敛的定义和收敛判别法判别函数列和函数项级数的一致收敛性。3）会讨论极限函数与和函数的分析性质，并能用它们去解决问题。【教学重点与难点】1、教学重点：一致收敛的概念，极限函数与和函数的分析性质。2、教学难点：一致收敛性及其判别。【教学内容】13.1一致收敛性13.2一致收敛函数列与函数项级数的性质【思政元素融入点】通过本章的学习，进一步提高学生对“由有限到无限，由特殊到一般”规律的认识，培养学生解决实际问题的能力。第十四章幂级数（8学时）【教学目标与要求】1、教学目标：幂级数是一类结构简单、应用广泛的特殊的函数项级数，是具有重要理论意义和实用价值的内容之一，在许多方面与多项式类似。虽然幂级数的和函数可能很复杂，但总可以用它的部分和n次多项式函数近似代替和函数，其误差可以达到某种精确程度，所以它也是一种很有用的数学工具。通过本章的学习，1)让学生系统掌握函数项级数的基本思想和基本理论以及方法的基础上，掌握幂级数的基本理论及方法。2进一步提高学生对“由有限到无限，由特殊到一般”规律的认识，了解表示非初等函数的另一种表示方法，培养学生解决实际问题的能力。3）揭示泰勒级数把有限函数转化为仅涉及算术运算的无限形式的哲学思想，弘扬“无限”与“有限”的辩证统一观。2、教学要求：1）掌握幂级数的性质，理解幂级数和函数的性质。2）理解幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域并会求之。3）会将函数展开成幂级数，会利用幂级数的性质求幂级数的和
1) 熟练掌握一致收敛的定义及其否定叙述。 2) 能应用一致收敛的定义和收敛判别法判别函数列和函数项级数的一致收 敛性。 3) 会讨论极限函数与和函数的分析性质，并能用它们去解决问题。 【教学重点与难点】 1、教学重点：一致收敛的概念，极限函数与和函数的分析性质。 2、教学难点：一致收敛性及其判别。 【教学内容】 13.1 一致收敛性 13.2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 【思政元素融入点】 通过本章的学习，进一步提高学生对“由有限到无限，由特殊到一般”规律 的认识，培养学生解决实际问题的能力。 第十四章 幂级数（8学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 幂级数是一类结构简单、应用广泛的特殊的函数项级数，是具有重要理论意 义和实用价值的内容之一，在许多方面与多项式类似。虽然幂级数的和函数可能 很复杂，但总可以用它的部分和——n次多项式函数近似代替和函数，其误差可 以达到某种精确程度，所以它也是一种很有用的数学工具。通过本章的学习，1) 让学生系统掌握函数项级数的基本思想和基本理论以及方法的基础上，掌握幂级 数的基本理论及方法。2)进一步提高学生对“由有限到无限，由特殊到一般”规律 的认识，了解表示非初等函数的另一种表示方法，培养学生解决实际问题的能力 。3）揭示泰勒级数把有限函数转化为仅涉及算术运算的无限形式的哲学思想， 弘扬“无限”与“有限”的辩证统一观。 2、教学要求： 1) 掌握幂级数的性质，理解幂级数和函数的性质。 2) 理解幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域并会求之。 3) 会将函数展开成幂级数，会利用幂级数的性质求幂级数的和