《实变函数论》课程教学大纲一、课程信息课程名称：实变函数论Real Variable Functions课程代码：06S1112B课程类别：专业核心课程/必修课适用专业：数学与应用数学课程学时：48学时课程学分：3学分修读学期：第5学期先修课程：数学分析、复变函数论二、课程目标实变函数论是数学与应用数学专业重要的核心课程之一，是数学分析的后续课程。该课程理论性较强，非常抽象，其内容是学生进一步学习其他分析数学分支和科学研究必不可少的基础知识。通过本课程的学习，使学生进一步加深对数学分析中的概念、定理等内容的理解，使学生较好地掌握测度和积分这两个基本的分析工具，特别是极限与积分顺序的交换，并在一定程度上掌握集合论的分析方法。通过本课程的学习，培养和提高学生严格的数学思维和论证能力，提高学生的数学能力，为后继课程学习提供必要的基础。实变函数论主要包括集合论，点集理论，测度理论，可测函数、勒贝格积分理论五部分。本课程在第五学期开设。（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.正确理解和掌握实变函数论中的基本概念、基本理论和基本方法，获得进一步学习其他课程的知识基础，为以后进行数学教学与研究打下坚实的基础。【支撑毕业要求指标点3.1、3.3】1
1 《实变函数论》课程教学大纲 一、课程信息 课程名称：实变函数论 Real Variable Functions 课程代码：06S1112B 课程类别：专业核心课程/必修课 适用专业：数学与应用数学 课程学时：48 学时 课程学分：3学分 修读学期：第5学期 先修课程：数学分析、复变函数论 二、课程目标 实变函数论是数学与应用数学专业重要的核心课程之一，是数学分析的后续 课程。该课程理论性较强，非常抽象，其内容是学生进一步学习其他分析数学分 支和科学研究必不可少的基础知识。通过本课程的学习，使学生进一步加深对数 学分析中的概念、定理等内容的理解，使学生较好地掌握测度和积分这两个基本 的分析工具，特别是极限与积分顺序的交换，并在一定程度上掌握集合论的分析 方法。通过本课程的学习，培养和提高学生严格的数学思维和论证能力，提高学 生的数学能力，为后继课程学习提供必要的基础。 实变函数论主要包括集合论，点集理论，测度理论，可测函数、勒贝格积分 理论五部分。 本课程在第五学期开设。 （一）具体目标 通过本课程的学习，使学生达到以下目标： 1. 正确理解和掌握实变函数论中的基本概念、基本理论和基本方法，获得 进一步学习其他课程的知识基础，为以后进行数学教学与研究打下坚实的基础。 【支撑毕业要求指标点 3.1、3.3】
2.树立集合思想，熟练运用集合运算来表达实际问题中出现的集合；培养与提高学生的逻辑推理能力与抽象概括能力，以及发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力：提高数学表达和数学交流能力；具有自主学习、终身学习、团队协作的能力。【支撑毕业要求指标点3.1、3.2、3.3、7.1、8.1】3.掌握实变函数论的思想方法，特别是建立勒贝格测度与勒贝格积分的步骤与思路，进而感受构造新的数学对象的创造性思维过程；理解通过一一映射引入集合基数，进而比较两个无穷集合元素多少的数学思想，完善认识世界的方法论；构建学习共同体。【支撑毕业要求指标点3.3、7.1、8.3】（二）课程目标与毕业要求的对应关系表1课程目标与毕业要求的对应关系课程目标支撑的毕业要求支撑的毕业要求指标点【3.1知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的课程目标1认识。3.学科素养【3.3专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学学科专业能力【3.1知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。【3.2学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。3.学科素养【3.3专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观课程目标 27.学会反思想象等数学学科专业能力。8.沟通合作【7.1学会学习】具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和适应发展的能力。【8.1团结协作】具有团队协作精神，掌握沟通合作技能，积极主动参与小组学习、专题研讨、团队互动、网络分享等协作学习活动，乐于分享经验和想法。【3.3专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学学科专业能力。3.学科素养【7.1学会学习】具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断课程目标37.学会反思学习和适应发展的能力。8.沟通合作【8.3学习共同体】理解学习共同体的建设在中学数学学习中的重要性，能够帮助中学生理解并构建一个积极向上的学习共同体。2
2 2. 树立集合思想，熟练运用集合运算来表达实际问题中出现的集合；培养 与提高学生的逻辑推理能力与抽象概括能力，以及发现问题、提出问题、分析 问题与解决问题的能力；提高数学表达和数学交流能力；具有自主学习、终身 学习、团队协作的能力。【支撑毕业要求指标点 3.1、3.2、3.3、7.1、8.1】 3. 掌握实变函数论的思想方法，特别是建立勒贝格测度与勒贝格积分的步 骤与思路，进而感受构造新的数学对象的创造性思维过程；理解通过一一映射 引入集合基数，进而比较两个无穷集合元素多少的数学思想，完善认识世界的 方法论；构建学习共同体。【支撑毕业要求指标点 3.3、7.1、8.3】 （二）课程目标与毕业要求的对应关系 表1 课程目标与毕业要求的对应关系 课程目标 支撑的毕业要求 支撑的毕业要求指标点 课程目标 1 3.学科素养 【3.1 知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、 思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的 认识。 【3.3 专业技能】 具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观 想象等数学学科专业能力。 课程目标 2 3.学科素养 7.学会反思 8.沟通合作 【3.1 知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、 思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的 认识。 【3.2 学科融合】 了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认 同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。 【3.3 专业技能】 具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观 想象等数学学科专业能力。 【7.1 学会学习】 具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断 学习和适应发展的能力。 【8.1 团结协作】 具有团队协作精神，掌握沟通合作技能，积极主动 参与小组学习、专题研讨、团队互动、网络分享等协作学习活动，乐 于分享经验和想法。 课程目标 3 3.学科素养 7.学会反思 8.沟通合作 【3.3 专业技能】 具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观 想象等数学学科专业能力。 【7.1 学会学习】 具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断 学习和适应发展的能力。 【8.3 学习共同体】理解学习共同体的建设在中学数学学习中的重要 性，能够帮助中学生理解并构建一个积极向上的学习共同体
三、课程内容（一）课程内容与课程目标的关系表2课程内容与课程目标的关系教学方法学时安排课程内容支撑的课程目标8第一章集合论基础课堂讲授、启发式教学课程目标1、28第二章R"中的点集理论课堂讲授、启发式教学课程目标1、210第三章测度理论课堂讲投、启发式教学课程目标1、2、310第四章可测函数课堂讲授、研讨式教学课程目标1、2、312第五章勒贝格积分课堂讲授、启发式教学课程目标1、2、3、合计48学时（二）具体内容第一章集合论基础（8学时)【教学目标与要求】1、教学目标：通过复习集合的相关概念及运算，引入上限集和下限集及单调集列。理解对等与基数的定义，从而掌握可数集的相关结论，通过学习本章内容，使得学生能灵活应用集合的概念解决无限集合的相关结论，熟练掌握从有限集到无限集的推广，树立集合思想，熟练运用集合运算来表达实际问题中出现的集合。2、教学要求：1）理解集合论的基本概念：集合、映射、对等、有限集与无限集、基数、可数集、具有连续基数的集等。2）掌握集合的运算与性质，熟悉上、下限集并交表达式。【教学重点与难点】1、教学重点：集合基本概念和集合的基数，可数集，不可数集。3
3 三、课程内容 （一）课程内容与课程目标的关系 表 2 课程内容与课程目标的关系 课程内容 教学方法 支撑的课程目标 学时安排 第一章 集合论基础 课堂讲授、启发式教学 课程目标 1、2 8 第二章 n R 中的点集理论 课堂讲授、启发式教学 课程目标 1、2 8 第三章 测度理论 课堂讲授、启发式教学 课程目标 1、2、3 10 第四章 可测函数 课堂讲授、研讨式教学 课程目标 1,、2、3 10 第五章 勒贝格积分 课堂讲授、启发式教学 课程目标 1、2、3、 12 合计 48 学时 （二）具体内容 第一章 集合论基础（8 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 通过复习集合的相关概念及运算，引入上限集和下限集及单调集列。理 解对等与基数的定义，从而掌握可数集的相关结论，通过学习本章内容，使 得学生能灵活应用集合的概念解决无限集合的相关结论，熟练掌握从有限集 到无限集的推广，树立集合思想，熟练运用集合运算来表达实际问题中出现 的集合。 2、教学要求： 1) 理解集合论的基本概念：集合、映射、对等、有限集与无限集、基数、 可数集、具有连续基数的集等。 2) 掌握集合的运算与性质，熟悉上、下限集并交表达式。 【教学重点与难点】 1、教学重点：集合基本概念和集合的基数，可数集，不可数集
2、教学难点：可数基数与连续基数，将一些分析问题转化为用上限集和下限集示，判断集合对等的基本技能。【教学内容】1.1集合及其运算集合概念、表示与运算（交、并、差、余、上极限、下极限与极限）。1.2集合的基数映射、单射、满射、基数的概念、特殊集合的基数及有关结论。1.3可数集合可数集的概念、例子、及运算性质。1.4基数为c的集合基数为C的集合概念与例子，运算性质（有限并、积、可数并）。【思政元素融入点】通过介绍集合论的发展史，让学生体会集合论在数学学科中的重要地位，学习科学家在追求真理的过程中一次次尝试、一次次突破、坚持不懈、敢于与困难作斗争的科学精神。第二章R"中的点集理论（8学时）【教学目标与要求】1、教学目标：通过学习点集的各类概念，点集上的连续函数的性质，点集间的距离，以及闭集套定理与覆盖定理，使得学生能应用定义证明相关结论，并区分各类概念的异同。2、教学要求：1）掌握直线上的点集：区间、开集、闭集及构造。2）理解聚点、孤立点、闭集、闭包、完备集、稠密集和疏朗集的概念。3）掌握点集上的连续函数的性质以及点集间的距离，闭集套定理与覆盖定理。【教学重点与难点】1、教学重点：R”中点集基本概念，直线上开集和闭集构造定理，点集上4
4 2、教学难点：可数基数与连续基数，将一些分析问题转化为用上限集和下 限集示，判断集合对等的基本技能。 【教学内容】 1.1 集合及其运算 集合概念、表示与运算（交、并、差、余、上极限、下极限与极限）。 1.2 集合的基数 映射、单射、满射、基数的概念、特殊集合的基数及有关结论。 1.3 可数集合 可数集的概念、例子、及运算性质。 1.4 基数为 c 的集合 基数为 c 的集合概念与例子，运算性质（有限并、积、可数并）。 【思政元素融入点】 通过介绍集合论的发展史，让学生体会集合论在数学学科中的重要地位， 学习科学家在追求真理的过程中一次次尝试、一次次突破、坚持不懈、敢于与 困难作斗争的科学精神。 第二章 n R 中的点集理论（8 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 通过学习点集的各类概念，点集上的连续函数的性质,点集间的距离，以及 闭集套定理与覆盖定理,使得学生能应用定义证明相关结论，并区分各类概念的 异同。 2、教学要求： 1) 掌握直线上的点集：区间、开集、闭集及构造。 2) 理解聚点、孤立点、闭集、闭包、完备集、稠密集和疏朗集的概念。 3）掌握点集上的连续函数的性质以及点集间的距离，闭集套定理与覆盖定 理。 【教学重点与难点】 1、教学重点： n R 中点集基本概念，直线上开集和闭集构造定理，点集上
的连续函数的性质，以及点集间的距离。2、教学难点：各种概念的异同点，开集、闭集互化问题，判断一个集合是否是开、闭集的方法、技巧。【教学内容】2.1基本概念距离公式定义、性质；邻域与区间的定义；点列的收敛性与极限。2.2开集与闭集定义、等价刻画，它们之间的对偶关系；运算性质。2.3闭集套原理与覆盖定理闭集套原理、子列定理、有限覆盖定理、可数覆盖定理。2.4开集的构造任意开集的一般构造定理、平面上开集的构造定理、直线上开集的构造定理，闭集的构造及有界完备集的构造定理。2.5点集上的连续函数连续性的定义，等价描述；连续函数的运算性质；有界闭集上连续函数的性质。2.6点集间的距离两种距离的定义、可达性及应用；距离函数的连续性及应用。【思政元素融入点】通过展示将数学分析中二维点集理论知识推广到n维空间的过程，提升学生的学科素养，发展自主学习能力，树立善于思考、敢于创新的科学精神。第三章测度理论（10学时）【教学目标与要求】1、教学目标：测度论是本门课程的重点也是难点，起着承上启下的作用，通过本章的学习，使得学生熟练掌握可测集的概念及性质，为后续勒贝格积分的定义奠定理论基础。2、教学要求：1）理解外测度、可测集的概念，熟练掌握卡氏条件及等价形式，以便灵活5
5 的连续函数的性质，以及点集间的距离。 2、教学难点：各种概念的异同点，开集、闭集互化问题，判断一个集合是 否是开、闭集的方法、技巧。 【教学内容】 2.1 基本概念 距离公式定义、性质；邻域与区间的定义；点列的收敛性与极限。 2.2 开集与闭集 定义、等价刻画，它们之间的对偶关系；运算性质。 2.3 闭集套原理与覆盖定理 闭集套原理、子列定理、有限覆盖定理、可数覆盖定理。 2.4 开集的构造 任意开集的一般构造定理、平面上开集的构造定理、直线上开集的构造定 理，闭集的构造及有界完备集的构造定理。 2.5 点集上的连续函数 连续性的定义，等价描述；连续函数的运算性质；有界闭集上连续函数的 性质。 2.6 点集间的距离 两种距离的定义、可达性及应用；距离函数的连续性及应用。 【思政元素融入点】 通过展示将数学分析中二维点集理论知识推广到n 维空间的过程，提升学 生的学科素养，发展自主学习能力，树立善于思考、敢于创新的科学精神。 第三章 测度理论（10 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 测度论是本门课程的重点也是难点，起着承上启下的作用，通过本章的学 习，使得学生熟练掌握可测集的概念及性质，为后续勒贝格积分的定义奠定理 论基础。 2、教学要求： 1) 理解外测度、可测集的概念，熟练掌握卡氏条件及等价形式，以便灵活
运用。2）掌握外测度的基本性质和可测的运算性质；熟练掌握利用可测集的定义以及它的等价条件去判断一个集合是否可测的方法。3）善于运用可测集的性质和构造去证明问题。4）了解不可测集的典型例子。【教学重点与难点】1、教学重点：外测度、可测集、卡氏条件极其等价形式，测度的上、下连续性。2、教学难点：用定义判断集合可测的方法，用可测集的性质和构造证明题的技巧。【教学内容】3.1外测度的定义与性质区间的体积、外测度的定义、非负性、单调性、有限次可加性、可数次可加性及分离可加性。3.2可测集的定义与性质可测集及其测度的定义、非负性、单调性、有限可加性、可数可加性及可测集的运算性质。3.3可测集类区间可测性的证明，开集、闭集及Borel集的可测性，不可测集的存在性。3.4可测集的构造用开集及闭集对可测集的内外逼近、可测集的结构定理。【思政元素融入点】通过问题驱动，让学生尝试量化一般的点集，从中体会内填外包以及逼近思想，发展学生的自主探究能力，提高学好与用好数学的兴趣，树立学好数学的信心；通过严谨的数学推理，提升学生的学科素养，形成良好的数学学习习惯，培养严谨求实的科学精神。第四章可测函数（10学时）【教学目标与要求】1、教学目标：6
6 运用。 2) 掌握外测度的基本性质和可测的运算性质；熟练掌握利用可测集的定义 以及它的等价条件去判断一个集合是否可测的方法。 3) 善于运用可测集的性质和构造去证明问题。 4) 了解不可测集的典型例子。 【教学重点与难点】 1、教学重点：外测度、可测集、卡氏条件极其等价形式，测度的上、下连 续性。 2、教学难点：用定义判断集合可测的方法，用可测集的性质和构造证明题 的技巧。 【教学内容】 3.1 外测度的定义与性质 区间的体积、外测度的定义、非负性、单调性、有限次可加性、可数次可 加性及分离可加性。 3.2 可测集的定义与性质 可测集及其测度的定义、非负性、单调性、有限可加性、可数可加性及可 测集的运算性质。 3.3 可测集类 区间可测性的证明，开集、闭集及 Borel 集的可测性，不可测集的存在性。 3.4 可测集的构造 用开集及闭集对可测集的内外逼近、可测集的结构定理。 【思政元素融入点】 通过问题驱动，让学生尝试量化一般的点集，从中体会内填外包以及逼近 思想，发展学生的自主探究能力，提高学好与用好数学的兴趣，树立学好数学 的信心；通过严谨的数学推理，提升学生的学科素养，形成良好的数学学习习 惯，培养严谨求实的科学精神。 第四章 可测函数（10 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标：
数学分析所研究的函数基本上都是连续函数，本章将数学分析中的连续函数推广到可测函数，在应用和理论上有着足够的广泛性。学生通过学习可测函数及性质，可深刻理解实变函数中的基本定理，为勒贝格积分的引入奠定基础。2、教学要求：1）理解可测函数的概念，掌握可测函数的代数性质与极限性质。2）理解几乎处处收敛与一致收敛的概念，叶果洛夫定理和黎斯定理。3）理解可测函数的结构，鲁金定理，熟练掌握可测函数与简单函数和连续函数之间的关系。【教学重点与难点】1、教学重点：可测函数概念及性质，各种收敛性的概念及关系，鲁金定理。2、教学难点：可测函数几种不同收敛概念及它们相互关系，可测函数的判断。【教学内容】4.1简单函数点集的可测划分、简单函数的定义、例子与运算性质。4.2可测函数的定义及性质利用简单函数的极限定义可测函数，四则可测函数的运算性质、等价刻画。4.3几乎处处收敛性几乎处处收敛的概念、性质；叶果洛夫定理。4.4依测度收敛性依测度收敛性的定义与性质、它与几乎处处收敛的关系。4.5鲁金定理鲁金定理；可测函数与连续函数的关系。【思政元素融入点】通过建立比连续函数更广泛的一类函数一一可测函数，让学生认识到知识之间的相互联系，以及数学知识的不断更新过程，使学生树立敢于创新的科学精神。第五章勒贝格积分（12学时）【教学目标与要求】7
7 数学分析所研究的函数基本上都是连续函数， 本章将数学分析中的连续函 数推广到可测函数， 在应用和理论上有着足够的广泛性。学生通过学习可测函 数及性质，可深刻理解实变函数中的基本定理，为勒贝格积分的引入奠定基础。 2、教学要求： 1) 理解可测函数的概念，掌握可测函数的代数性质与极限性质。 2) 理解几乎处处收敛与一致收敛的概念，叶果洛夫定理和黎斯定理。 3) 理解可测函数的结构，鲁金定理，熟练掌握可测函数与简单函数和连续 函数之间的关系。 【教学重点与难点】 1、教学重点：可测函数概念及性质，各种收敛性的概念及关系，鲁金定理。 2、教学难点：可测函数几种不同收敛概念及它们相互关系，可测函数的判 断。 【教学内容】 4.1 简单函数 点集的可测划分、简单函数的定义、例子与运算性质。 4.2 可测函数的定义及性质 利用简单函数的极限定义可测函数，四则可测函数的运算性质、等价刻画。 4.3 几乎处处收敛性 几乎处处收敛的概念、性质；叶果洛夫定理。 4.4 依测度收敛性 依测度收敛性的定义与性质、它与几乎处处收敛的关系。 4.5 鲁金定理 鲁金定理；可测函数与连续函数的关系。 【思政元素融入点】 通过建立比连续函数更广泛的一类函数——可测函数，让学生认识到知识 之间的相互联系，以及数学知识的不断更新过程，使学生树立敢于创新的科学 精神。 第五章 勒贝格积分（12 学时） 【教学目标与要求】
1、教学目标：本章内容是实变函数论课程的核心课程，通过集合、可测集、可测函数等定义引入勒贝格积分，学生在学习新的积分定义时，要注意与数学分析中的黎曼积分区别与联系。教师在讲授过程中，通过列举通俗易懂的例子，使得学生能深刻理解黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系。2、教学要求：1）掌握非负函数的勒贝格积分；一般可测函数的积分与性质，会灵活应用积分运算性质的计算勒贝格积分。2）牢固掌握并能熟练应用逐项积分定理、列维定理，法都引理和勒贝格控制收敛定理。3）掌握黎曼积分和勒贝格积分之间的关系。【教学重点与难点】1、教学重点：勒贝格积分定义及性质，Lebesgue控制收敛定理、莱维定理、法都引理、积分与极限交换顺序的定理，R-积分与L-积分的关系。2、教学难点：积分极限定理的证明及应用。【教学内容】5.1非负可测函数的积分下方图形的概念与性质：非负可测函数的积分的定义与性质。5.2一般可测函数的积分一般可测函数积分的定义与运算性质、可积条件、绝对可积性与积分的绝对连续。5.3例子闭区间上连续函数的可积性，应用：积分运算性质的灵活应用。5.4Lebesgue控制收敛定理Lebesgue控制收敛定理、莱维定理、法都引理、积分与极限交换顺序的定理。5.5R-积分与L-积分的关系R-可积的充要条件：R-积分与L-积分的关系定理。【思政元素融入点】8
8 1、教学目标： 本章内容是实变函数论课程的核心课程，通过集合、可测集、可测函数等 定义引入勒贝格积分，学生在学习新的积分定义时，要注意与数学分析中的黎 曼积分区别与联系。教师在讲授过程中，通过列举通俗易懂的例子， 使得学生 能深刻理解黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系。 2、教学要求： 1) 掌握非负函数的勒贝格积分；一般可测函数的积分与性质，会灵活应用 积分运算性质的计算勒贝格积分。 2) 牢固掌握并能熟练应用逐项积分定理、列维定理，法都引理和勒贝格控 制收敛定理。 3) 掌握黎曼积分和勒贝格积分之间的关系。 【教学重点与难点】 1、教学重点：勒贝格积分定义及性质，Lebesgue 控制收敛定理、莱维定理、 法都引理、积分与极限交换顺序的定理，R-积分与 L-积分的关系。 2、教学难点：积分极限定理的证明及应用。 【教学内容】 5.1 非负可测函数的积分 下方图形的概念与性质；非负可测函数的积分的定义与性质。 5.2 一般可测函数的积分 一般可测函数积分的定义与运算性质、可积条件、绝对可积性与积分的绝 对连续。 5.3 例子 闭区间上连续函数的可积性，应用；积分运算性质的灵活应用。 5.4 Lebesgue 控制收敛定理 Lebesgue 控制收敛定理、莱维定理、法都引理、积分与极限交换顺序的定 理。 5.5 R-积分与 L-积分的关系 R-可积的充要条件；R-积分与 L-积分的关系定理。 【思政元素融入点】
通过展示勒贝格积分的建立过程，让学生清楚的掌握建立勒贝格积分的步骤与思路，感受构造新的数学对象的创造性思维过程，培养学生的学科素养以及严谨的科学态度，激发学生探索未知的勇气。从黎曼积分理论到勒贝格积分理论的不断完善过程，让学生认识到实变函数论课程的科学价值、文化价值。四、教学策略与方法1.讲述基本理论、基本知识，传授核心数学思想，夯实学生的数学基础。2.采用传统授课和QQ在线辅助教学相结合方式进行教学。3通过习题讲解、课堂反转，强化学生研究方法的建立和分析解决实际间题能力。4.坚持立德树人，在课堂教学中融入思政元素。五、实践教学安排分章节分小组进行讨论，并完成习题讲解，加强知识理解和教学基本功；部分知识点采用翻转课堂授课。六、课程考核课程考核方式为平时表现和期末考试，其中平时表现包括课堂表现、作业、笔记等，期末考试为闭卷考试。总成绩（100%）=平时成绩（40%）+期末考试成绩（60%）。七、课程评价（一）课程目标评价标准评价标准课程目标70-79分90-100分80-89分60-69分0-59分优良中及格不及格较好的理解能够理解和基本理解和很好的理解不能完全理和掌握实变和掌握实变掌握实变函掌握实变函解和掌握实函数论中的函数论中的数论中的基数论中的基变函数论中课程目标1基本概念、基基本概念、基本概念、基本本概念、基本的基本概念、本理论和基本理论和基理论和基本理论和基本基本理论和本方法。本方法。方法。方法。基本方法。1.具备很好1.具备较好1.具备逻辑11.不完全具1.基本具备备较好的逻的逻辑推理的逻辑推理推理能力、抽较好的逻辑能力、抽象概能力、抽象概象概括能力，推理能力、抽辑推理能力、括能力，以及括能力，以及以及发现问象概括能力，抽象概括能发现问题、提发现问题、提题、提出问以及发现问力，以及发现课程目标2出问题、分析出问题、分析题、分析问题题、提出问问题、提出问问题与解决问题与解决题、分析问题题、分析问题与解决问题问题的能力；问题的能力；的能力；与解决问题与解决问题的能力：的能力：2.具备很好2.具备较好2.具备数学9
9 通过展示勒贝格积分的建立过程，让学生清楚的掌握建立勒贝格积分的步 骤与思路，感受构造新的数学对象的创造性思维过程，培养学生的学科素养以 及严谨的科学态度，激发学生探索未知的勇气。从黎曼积分理论到勒贝格积分 理论的不断完善过程，让学生认识到实变函数论课程的科学价值、文化价值。 四、教学策略与方法 1. 讲述基本理论、基本知识，传授核心数学思想，夯实学生的数学基础。 2. 采用传统授课和 QQ 在线辅助教学相结合方式进行教学。 3. 通过习题讲解、课堂反转，强化学生研究方法的建立和分析解决实际问 题能力。 4. 坚持立德树人，在课堂教学中融入思政元素。 五、实践教学安排 分章节分小组进行讨论，并完成习题讲解，加强知识理解和教学基本功； 部分知识点采用翻转课堂授课。 六、课程考核 课程考核方式为平时表现和期末考试，其中平时表现包括课堂表现、作业、 笔记等，期末考试为闭卷考试。 总成绩（100%）=平时成绩（40%）+期末考试成绩（60%）。 七、课程评价 （一）课程目标评价标准 课程目标 评价标准 90-100 分 80-89 分 70-79 分 60-69 分 0-59 分 优 良 中 及格 不及格 课程目标 1 很 好 的 理 解 和 掌 握 实 变 函 数 论 中 的 基本概念、基 本 理 论 和 基 本方法。 较 好 的 理 解 和 掌 握 实 变 函 数 论 中 的 基本概念、基 本 理 论 和 基 本方法。 能 够 理 解 和 掌 握 实 变 函 数 论 中 的 基 本概念、基本 理 论 和 基 本 方法。 基 本 理 解 和 掌 握 实 变 函 数 论 中 的 基 本概念、基本 理 论 和 基 本 方法。 不 能 完 全 理 解 和 掌 握 实 变 函 数 论 中 的基本概念、 基 本 理 论 和 基本方法。 课程目标 2 1. 具 备 很 好 的 逻 辑 推 理 能力、抽象概 括能力，以及 发现问题、提 出问题、分析 问 题 与 解 决 问题的能力； 2. 具 备 很 好 1. 具 备 较 好 的 逻 辑 推 理 能力、抽象概 括能力，以及 发现问题、提 出问题、分析 问 题 与 解 决 问题的能力； 2. 具 备 较 好 1. 具 备 逻 辑 推理能力、抽 象概括能力， 以 及 发 现 问 题 、 提 出 问 题、分析问题 与 解 决 问 题 的能力； 2. 具 备 数 学 1. 基 本 具 备 较 好 的 逻 辑 推理能力、抽 象概括能力， 以 及 发 现 问 题 、 提 出 问 题、分析问题 与 解 决 问 题 的能力； 1. 不 完 全 具 备 较 好 的 逻 辑推理能力、 抽 象 概 括 能 力，以及发现 问题、提出问 题、分析问题 与 解 决 问 题 的能力；
的数学表达的数学表达表达和数学2.基本具备2.不完全具和数学交流交流能力：较好的数学备较好的数和数学交流能力；能力；3.具有自主表达和数学学表达和数3.具有很好3.具有较好学习、终身学交流能力；学交流能力：的自主学习、的自主学习、习、团队协作3.基本具有3.不完全具终身学习、团的能力。终身学习、团较好的自主有较好的自队协作的能队协作的能学习、终身学主学习、终身力。力。习、团队协作学习、团队协的能力。作的能力。1.很好的掌1.较好的掌1.掌握实变1.基本掌握1.不完全掌握实变函数握实变函数函数论的思实变函数论握实变函数论的思想方论的思想方想方法，特别的思想方法，论的思想方是建立勒贝特别是建立法，特别是建法，特别是建法，特别是建立勒贝格测立勒贝格测格测度与勒勒贝格测度立勒贝格测度与勒贝格度与勒贝格贝格积分的与勒贝格积度与勒贝格积分的步骤积分的步骤步骤与思路；分的步骤与积分的步骤课程目标3与思路：与思路：2.掌握比较思路；与思路；2. 很好的掌2. 较好的掌2.基本掌握两个无穷集2.不完全掌握比较两个握比较两个合元素多少比较两个无握比较两个无穷集合元无穷集合元穷集合元素的数学思想。无穷集合元素多少的数多少的数学素多少的数素多少的数学思想。学思想。思想。学思想。（二）课程目标评价方法课程评价主要是本门课程的课程目标达成度评价。课程目标达成度评价主要采用定量评价与定性评价相结合的方法，具体包括：调查问卷、平时成绩和期末考试成绩。相应课程目标评价方式见表3。表3课程目标评价方式课程目标调查间卷平时成绩期末考试成绩VVV课程目标1VVV课程目标2VVV课程目标31.定性评价定性评价采用调查问卷的方式来实现。调查问卷根据本门课程目标制作，主要反映被调查者（教师本人和学生）对课程目标达成的满意度，根据被调查者的满意程度赋分。10
10 的 数 学 表 达 和 数 学 交 流 能力； 3. 具 有 很 好 的自主学习、 终身学习、团 队 协 作 的 能 力。 的 数 学 表 达 和 数 学 交 流 能力； 3. 具 有 较 好 的自主学习、 终身学习、团 队 协 作 的 能 力。 表 达 和 数 学 交流能力； 3. 具 有 自 主 学习、终身学 习、团队协作 的能力。 2. 基 本 具 备 较 好 的 数 学 表 达 和 数 学 交流能力； 3. 基 本 具 有 较 好 的 自 主 学习、终身学 习、团队协作 的能力。 2. 不 完 全 具 备 较 好 的 数 学 表 达 和 数 学交流能力； 3. 不 完 全 具 有 较 好 的 自 主学习、终身 学习、团队协 作的能力。 课程目标 3 1. 很 好 的 掌 握 实 变 函 数 论 的 思 想 方 法，特别是建 立 勒 贝 格 测 度 与 勒 贝 格 积 分 的 步 骤 与思路； 2. 很 好 的 掌 握 比 较 两 个 无 穷 集 合 元 素 多 少 的 数 学思想。 1. 较 好 的 掌 握 实 变 函 数 论 的 思 想 方 法，特别是建 立 勒 贝 格 测 度 与 勒 贝 格 积 分 的 步 骤 与思路； 2. 较 好 的 掌 握 比 较 两 个 无 穷 集 合 元 素 多 少 的 数 学思想。 1. 掌 握 实 变 函 数 论 的 思 想方法，特别 是 建 立 勒 贝 格 测 度 与 勒 贝 格 积 分 的 步骤与思路； 2. 掌 握 比 较 两 个 无 穷 集 合 元 素 多 少 的数学思想。 1. 基 本 掌 握 实 变 函 数 论 的思想方法， 特 别 是 建 立 勒 贝 格 测 度 与 勒 贝 格 积 分 的 步 骤 与 思路； 2. 基 本 掌 握 比 较 两 个 无 穷 集 合 元 素 多 少 的 数 学 思想。 1. 不 完 全 掌 握 实 变 函 数 论 的 思 想 方 法，特别是建 立 勒 贝 格 测 度 与 勒 贝 格 积 分 的 步 骤 与思路； 2. 不 完 全 掌 握 比 较 两 个 无 穷 集 合 元 素 多 少 的 数 学思想。 （二）课程目标评价方法 课程评价主要是本门课程的课程目标达成度评价。课程目标达成度评价主 要采用定量评价与定性评价相结合的方法，具体包括：调查问卷、平时成绩和 期末考试成绩。相应课程目标评价方式见表 3。 表 3 课程目标评价方式 课程目标 调查问卷 平时成绩 期末考试成绩 课程目标 1 √ √ √ 课程目标 2 √ √ √ 课程目标 3 √ √ √ 1. 定性评价 定性评价采用调查问卷的方式来实现。调查问卷根据本门课程目标制作， 主要反映被调查者（教师本人和学生）对课程目标达成的满意度，根据被调查 者的满意程度赋分