第一章微积分的基础和研究对象习题课目的要求二、内容结构三、典型例题四、练习题
第一章 微积分的基础和 研究对象 习题课 一、目的要求 二、内容结构 三、典型例题 四、练习题
目的要求☆理解函数的概念，会求函数的定义域和函数值，了解分段函数的定义域并会作出简单的分段函数的图形：☆掌握函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性；☆理解函数的四则运算和复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程☆掌握基本初等函数的简单性质及图像，了解初等函数的概念
目的要求 ☆ 理解函数的概念，会求函数的定义域和 函数值，了解分段函数的定义域并会作出 简单的分段函数的图形； ☆ 掌握函数的单调性、奇偶性、周期性、有 界性； ☆ 理解函数的四则运算和复合运算，熟练掌 握复合函数的复合过程； ☆ 掌握基本初等函数的简单性质及图像，了 解初等函数的概念
知识网络图
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实数系一实数与实数轴上点一一对应整数(Q)有理数集合丶实数与函数分数(R)实数（无限不循环小数）(Q°)无理数邻域与去心邻域：U(x,)，U°(xo,)一定Vx例如= /cot分解为：=u,u=coty,vD=22初等函数复合函数（分解）函数的四则运算
函数 基本初等函数：常数、幂、 指数、对数、三角、反三角 复合函数（分解） 函数的四则运算 初等函数 定义 集 合 、 实 数 与 函 数 实数系 实数与实数轴上点一一对应. ( )实数 c ( )无理数 （无限不循环小数） 分数 ( )有理数 整数 0 0 U x U x ( , ) ( , ) 邻域与去心邻域： ， 。 cot , cot , . 2 2 x x 例如 y y u u v v = = = = 分解为：
重点与难点求函数的定义域，求复合函数的分解
求函数的定义域，求复合函数 的分解. 重点与难点
例题1）求以下函数的定义域：a)y = sin /x;b)y = /3-x + arctan -Xd)y=ex.c)y = In(x +1);解a)x ≥ 0,即[0,+0);b)x ± 0且x ≤ 3,即(一00,0) U(0,3];c)x > -1即(-1,+);d)x ± 0,即(-80, 0) U(0, +80)
1）求以下函数的定义域: 1 1 a) sin ; b) 3 arctan ; c) ln( 1); d) e . x y x y x x y x y = = − + = + = a) 0, [0, ); b) 0 3, ( , 0) (0, 3]; c) 1 ( 1, ); d) 0, ( , 0) (0, ). x x x x x + − − − + − + 解 即 且 即 即 即 例题
2) 若f(x)=e*,f[(x)]=1-x,且d(x)≥0,求d(x)及其定义域解 [p(x)]= e( =1-x,(x)=In(-x)，由于d(x)≥0.: Φ(x) = /ln (1-x).其定义域:ln(1-x)≥0=1-x≥1=x≤0,即(-80,0]
2 2 ( ) , [ ( )] 1 , ( ) 0 ( ) . x f x f x x x x ）若 = = − 且 ， 求 及其定义域 e 2 2 [ ( )] 1 , ( ) ln 1 ( ) 0 ( ) ln 1 . x f x x x x x x x = = − = − = − 解 （ ） （ ），由于 ， （ ） e ln 1 0 1 1 0 0]. x x x − − − 其定义域：（ ） ， 即（
元'1.3) 若(t)=元[sin ], [>'IJILT)，-求--.326J元解(-d(二)=1 =1 36元Ed--=12
1, 3 3 ( ) sin , 3 3 6 2 t t t t = − − π， ）若 π ， π π π 求（ ），（ ），（ ）. 1 1 3 6 1 2 − − π π 解 （ ）= ， （ ）= ， π （ ）=
4）由函数=e"，u=x2复合而成的函数为一解 =e*51复合而成，函数 y=sinln2x由解 y= sinu,u= Inv,v= 2x
5 sinln 2 _ . ）函数 y x = 由 复合而成 2 . x 解 y = e 解 y u u v v x = = = sin , ln , 2 . 2 _ . u ）由函数 y u x = = ， 复合而成的函数 为 4 4 e ）
1的有界性。讨论函数y=-xV10x1在(-80,0)及(0,+8)上无界V=x在(-o0,-a)及(a,+)上有界,a>0实数图为a=1的情况
x y o x y 1 = − 1 1 1 6 . y x ）讨论函数 = 的有界性 1 ( , 0) (0, ) ( , ) ( , ) 0 . y x a a a = − + − − + 在 及 上无界, 在 及 上有界, 实数 图为a=1 . 的情况