《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第八章 多元函数微分法及其应用 8-2 偏导数及其在经济分析中的应用

第二节偏导数及其在经济分析中的应用偏导数的定义及其计算方法二偏导数的几何意义及函数偏导数存在与函数连续的关系三、高阶偏导数四、伙偏导数在经济分析中的应用偏边际与偏弹性五、小结思考题经济数学微积分

一、偏导数的定义及其计算方法 二、偏导数的几何意义及函数偏 导数存在与函数连续的关系 三、高阶偏导数 第二节 偏导数及其 在经济分析中的应用 五、小结 思考题 四、偏导数在经济分析中的应用 偏边际与偏弹性

一、偏导数的定义及其计算法定义设函数z=,f(x,J)在点(xo,Jo)的某一邻域内有定义，当y固定在y而x在x.处有增量△x时，相应地函数有增量f(xo + Axr,yo)- f(xo,yo),f(x, + Ax, yo) - f(xo,yo)如果lim存在，则称ArAr-→0此极限为函数z=f(x,y)在点(xo,y)处对x的偏导数（partialderivative），记为经济数学微积分

定义 设函数 z = f (x, y)在点 ( , ) 0 0 x y 的某一邻 域内有定义，当 y固定在 0 y 而 x 在 0 x 处有增量 x 时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y ， 如果 x f x x y f x y x  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称 此极限为函数z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对 x 的 偏导数(partial derivative)，记为 一、偏导数的定义及其计算法

Ozaf， Zxx=xo或f(xo,yo).axaxx=xoX=Xo1y=yoy=yoy=yo同理可定义函数z= f(x,y)在点(xo,yo)处对j的偏导数，为f(xo, yo + Ay) - f(xo,yo)limAyAy-→0Oz.af记为z, x=x,或f,(xo,yo)ayayX=Xox=xoy=yoy=yoy=yo微积分经济数学

同理可定义函数 z = f (x, y)在点 ( , ) 0 0 x y 处对 y 的偏导数， 为 y f x y y f x y y  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 0 0 y y y x x z =  =  ， 0 0 y y y x x f =  =  ， 0 0 y y x x y z = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . 0 0 y y x x x z =  =  ， 0 0 y y x x x f =  =  ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x

如果函数z= f(x,J)在区域D 内任一点(x,J)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、的函数，它就称为函数z=f(x,)对自变量x的偏导数，Oz.,%, z,或f(x,y).记作axax同理可以定义函数z=_f(x,y)对自变量y的偏导Oz.,, z,或f,(x,y).数，记作yOy经济数学微积分

如果函数z = f ( x, y)在区域D 内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z = f ( x, y)对 自变量x的偏导数， 记作 x z   ， x f   ， x z 或 f (x, y) x . 同理可以定义函数z = f ( x, y)对自变量y 的偏导 数，记作 y z   ， y f   ， y z 或 f (x, y) y

偏导数的概念可以推广到二元以上函数如 u= f(x,y,z)在(x,y,z) 处(x,,z2)= lim I(x+Ax, y,z)-(x,y,z)AxAr-→0f(x, y+Ay,z)- f(x, y,z)f,(x,y,z) = limAyAy-→0f(x,y,z +△z)- f(x,y,z)f,(x,y,z) = limAzz→0福经济数学微积分

偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u = f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x  +  − =  → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y  +  − =  → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z  +  − =  →

注意：实际求z=f(x,J)的偏导数时，因为始终只有一个自变量在变动，另一个自变量可看作常量，所以仍旧用一元函数的微分方法求解求解afL把y暂时看作常量而对求导数axafL把x暂时看作常量而对求导数ay经济数学微积分

注意： 实际求 的偏导数时，因为始终只 有一个自变量在变动，另一个自变量可看作 常量，所以仍旧用一元函数的微分方法求解. z = f (x, y) 求解 x f   把y暂时看作常量而对x求导数 y f   把x暂时看作常量而对y求导数

例1求z=x2+3xy+y在点(1,2) 处的偏导数。azOz解2x+3y;3x+2y.axayOz=2×1+3×2=8,X=1:axy=2azx=1 =3×1+2×2=7.ayV=2微积分经济数学

例 1 求 2 2 z = x + 3xy + y 在点(1,2) 处的偏导数． 解 =   x z 2x + 3y ; =   y z 3x + 2y . =    = = 2 1 y x x z 21+ 32 = 8 , =   = = 2 1 y x y z 31+ 22 = 7

例 2设z=x(x>0,x±1)1 x zaz求证2z.In x ayyaxazaz证Inx.axay1x Oz1 αzxVyaxInx dyInxy原结论成立。=x+x* =2z.化经济数学微积分

例 2 设 y z = x (x  0, x  1)， 求证 z y z x x z y x 2 ln 1 =   +   . 证 =   x z , y−1 yx =   y z x ln x, y y z x x z y x   +   ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1 = + − y y = x + x = 2z. 原结论成立．

Ozx7例3 设z=arcsinay1azx解?ax1+y+vV(Vy? =lyD)(x* + y")3IylIylx? + y?经济数学微积分

例 3 设 2 2 arcsin x y x z + = ，求 x z   ， y z   . 解 =   x z          +  + − x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 | | (x y ) y y x y +  + = . | | 2 2 x y y + = ( | |) 2 y = y

OzxayYx+y(-xy)(x*+y")Iyl1x(y + 0)sgny+yaz不存在.ayx+0y=0微积分经济数学

=   y z          +  + − y x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y + −  + = x y y x 1 sgn 2 2 + = − ( y  0) 0 0 =    y y x z 不存在．