第二节柱面与旋转曲面一、柱面二、旋转曲面三、小结思考题经济数学微积分
一、柱面 二、旋转曲面 三、小结 思考题 第二节 柱面与旋转曲面
一、柱面(cylinder)定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线(directrix），动直线L叫柱面的母线(generatrix).观察柱面的形成过程：播放经济数学微积分
一、柱面( cylinder ) 播 放 定义 观察柱面的形 成过程: 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面。 C L 这条定曲线C叫 柱面的准线 (directrix) ,动直 线L叫柱面的母 线(generatrix)
柱面举例ZZ平面y? = 2xyyy=xxx抛物柱面(Cylinder of the second order parabolic)经济数学微积分
柱面举例 x o z y x o z y y 2x 2 = 抛物柱面 y = x 平面 ( Cylinder of the second order parabolic )
从柱面方程看柱面的特征只含x,y而缺z的方程F(x,y)=0，在空间直角坐标系中表示母线平行于7轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.（其他类推）2ZV实例椭圆柱面母线//x轴1bCy双曲柱面母线/z轴eLb22母线//轴抛物柱面= 2pzx经济数学微积分
从柱面方程看柱面的特征： 只 含 x, y而 缺z 的方程F(x, y) = 0， 在 空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱 面，其准线为xoy面上曲线C. （其他类推） 实 例 1 2 2 2 2 + = c z b y 椭圆柱面 母线// x 轴 1 2 2 2 2 − = b y a x 双曲柱面 母线// z 轴 x 2 pz 2 = 抛物柱面 母线// y 轴
旋转曲面(surfaces of revolution）定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面，这条定直线叫旋转播放曲面的轴(axis)经济数学微积分
二、 旋转曲面(surfaces of revolution ) 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴(axis)． 播放
旋转过程中的特征：Z.M,(0, J1,z1)2如图设 M(x,y,z),Mf(y,z) = 0(1) z = Ziy（2）点M到轴的距离xd = x? +y? =lyil将=，=±2+2代入f(y1,z))= 0经济数学微积分
x o z y f ( y,z) = 0 (0, , ) 1 1 1 M y z M 设 M(x, y,z), 1 (1) z = z （2）点M 到z 轴的距离 | | 1 2 2 d = x + y = y 旋转过程中的特征： 如图 将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = d
将 z=Z, J=±/x2+2 代入 f(yi,z)=0f(±/x +y, z)= 0,得方程yoz坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周的旋转曲面方程同理：yoz坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕V轴旋转一周的旋转曲面方程为f(y, ± ~x +z)= 0.经济数学微积分
将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = ( , ) 0, 2 2 f x + y z = yoz坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0绕z轴旋 转一周的旋转曲面方程. 得方程 同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0 绕 y轴旋转一周的旋转曲面方程为 ( , ) 0. 2 2 f y x + z =
例1直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的元叫圆锥面的半顶顶点，两直线的夹角α10<α<2角：试建立顶点在坐标原点，旋转轴为7轴，半顶角为α的圆锥面方程，解yoz面上直线方程为M,(0, J1,z1)z = ycotαV圆锥面方程M(x,y,z)z =±/x?+ycotα经济数学微积分
例 1 直 线L绕另一条与L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的 顶 点，两直线的夹角 2 0 叫圆锥面的半顶 角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z轴，半顶 角 为 的圆锥面方程． x o z y 解 yoz面上直线方程为 z = y cot (0, , ) 1 1 1 M y z M(x, y,z) 圆锥面方程 cot 2 2 z = x + y o x z y
例2将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程7X(1）双曲线:1分别绕x轴和z轴2car+ z旋转双曲面绕x轴旋转2cax+19绕z轴旋转.2a（hyperboloid)经济数学微积分
例2 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程． 绕x轴旋转 绕z轴旋转 1 2 2 2 2 2 = + − c y z a x 1 2 2 2 2 2 − = + c z a x y 旋 转 双 曲 面 ( hyperboloid ) （1）双曲线 1 2 2 2 2 − = c z a x 分别绕x轴和z轴；
1（2）椭圆绕y轴和z轴;aCx=0旋转椭球面绕y轴旋转CC绕z轴旋转2aG(Ellipsoid= 2pz绕z轴;（3）抛物线x=0旋转抛物面(Paraboloidx2 + y2 = 2pz微积分经济数学
（2）椭圆 = + = 0 1 2 2 2 2 x c z a y 绕 y 轴和 z 轴； 绕y轴旋转 绕z轴旋转 1 2 2 2 2 2 = + + c x z a y 1 2 2 2 2 2 + = + c z a x y 旋 转 椭 球 面 （3）抛物线 = = 0 2 2 x y pz绕 z 轴； x y 2 pz 2 2 + = 旋转抛物面 ( Ellipsoid ) ( Paraboloid )