第一章微积分的基础和研究对象
第一章 微积分的基础和研究对象
第一节集合、实数微积分的基础和极限主要内容实数与邻域
第一节 主要内容 实数与邻域 微积分的基础——集合、实数 和极限
实数一对加法、乘法、减法封闭将所学过的数归纳如下：有理点在数轴上稠密分正整数Z布，不具有连续性自然数(N)零整数(Z)(Q)有理数负整数(Z)正分数对加法、乘分数(IR)实数法封闭，对负分数减法不封闭正无理数(Q)无理数(C）复数无限不循环小数负无理数具有连续性微积分研究的是连续变化的事物在数虚数量方面的关系，今后所指的数是实数
对加法、乘法、 减法封闭 有理点在数轴上稠密分 布，不具有连续性 将所学过的数归纳如下： 一、实数 虚数 无限不循环小数 正无理数 负无理数 正分数 负分数 ( ) 正整数 + 零 ( ) 负整数 − 自然数( ) ( )复数 整数( ) 分数 ( )有理数 具有连续性 对加法、乘 法封闭，对 减法不封闭 微积分研究的是连续变化的事物在数 量方面的关系，今后所指的数是实数. c ( )无理数 ( )实数
二.邻域邻域的定义：与点xo的距离小于 （TM>0)的全体实数的集合称作点x的邻域，记作U(xo，S），称x为邻域的中心，8为邻域的半径邻域的表示方法：[x | Ix-xo<8]集合表示法：不等式表示法：0<x-x<s区间表示法：(x, -8,x, +8)sd几何表示法：x,+8x-sxo
二.邻域 集合表示法： 不等式表示法： 区间表示法： 几何表示法： x x x − 0 0 0 ( , ) x x − + 邻域的表示方法： 邻域的定义： 0 0 − x x 与点x0的距离小于δ(＞0)的全体实数的 集合称作点x0的邻域,记作U(x0,δ),称x0为 邻域的中心,δ为邻域的半径. 0 0 0 x x x − +
去心邻域：U(x，8）中不包括xoU(x,S28xo-sX,+sxo邻域U(x，S)ssX+8x-sXo
0 邻域U x( , ) 的几何表示： U x0 邻域 （ ，） 0 x − 0 x + 2 0 x − 0 x + U x0 0 U x0 去心邻域： （ ，）中不包括x ， （。 ，）
比如： U(-1,2)台(-3,1)13-11U°(-1,2)(-3, -1)U(-1 , 1)-17?
比如：U（− − 1 2 3 1 ，） （ ，） U 。( − − 1 2 3 1 1 1 ，) ( ,- ) (- , ) − − 3 1 1 − − 3 1 1 •
例1用邻域符号和区间符号分别表示不等式所确定的x的范围2x+10)2解 [2x+18←x-2x+1<2[x -(112这是以为中心，以为半径的邻域UC用邻域符号表示是用区间表示是二
1 1 ( , ) 2 4 2 4 − − − + 1 1 2 1 2[ ( )] ( ) 2 2 2 2 4 x x x + − − − − 这是以 为中心，以 为半径的邻域 1 2 4 − + 1 2 4 − − ( ) 例1 用邻域符号和区间符号分别表示不等式 2 1 ( 0) 所确定的 x 的范围. 2 x + 解 2 1 ( 0) 2 x 已知不等式 + 用区间表示是 ) 4 , 2 1 ( 用邻域符号表示是 U − 4 1 2 −