第一节多元函数的基本概念区域一、二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性五、小结思考题经济数学微积分
三、多元函数的极限 二、多元函数的概念 四、多元函数的连续性 五、小结 思考题 第一节 多元函数的基本概念 一、区域
一、区域(region)1.邻域(neighborhood)设P(xo,o)是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点P(xo,yo)距离小于的点P(x,J)的全体，称为点P,的S邻域，记为U(P,)，U(P,8) = (P/PP, <S)S·P(x,y)/ /(x-x,)+(y-yo)<8经济数学微积分
设 ( , ) 0 0 0 P x y 是xoy平面上的一个点， 是某 一正数，与点 ( , ) 0 0 0 P x y 距离小于 的点P(x, y) 的全体，称为点 P0的 邻域，记为 ( , ) U P0 ， 1.邻域(neighborhood) P0 ( , ) U P0 = P | PP0 | ( , )| ( ) ( ) . 2 0 2 = x y x − x0 + y − y 一、区域 • (region)
2.内点(innerpoint)、边界点和聚点设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点：如果存在点P的某一邻域U(P)CE,则称P为E的内点如果点P的任一个邻域内既有属P于E的点,也有不属于E的点·P（点P本身可以属于E，也可以不P属于E),则称P为E的边界点E的边界点的全体称为E的边界(boundary)经济数学微积分
2.内点(inner point)、边界点和聚点 . ( ) 则 称 为 的内点 一个点．如果存在点 的某一邻域 ， 设 是平面上的一个点集， 是平面上的 P E P U P E E P 属 于 ）则 称 为 的边界点． （ 点 本身可以属于 ，也可以不 于 的 点 也有不属于 的 点 如果点 的任一个邻域内既有属 E P E P E E E P , , E P •P • E 的边界点的全体称为 E 的边界 (boundary)．
如果对于任意给定的>0，P的去心邻域U(P,S)总有E中的点(P本身可属于E,也可不属于E),则称P为E的聚点(pointof accumulation)举例设点集E =(x,y)1≤x2 + y2<4,点P(xo,yo) R21.若1<x + <4,则点P为E的内点也是E的聚点2.若x + y=1或x + y= 4,则点P为E的边界点也是E的聚点3.E的边界E = (x,J)x + y=1或x。 + y。= 4)L经济数学微积分
( ) ( ) 3. ( , ) 1 4. , ; 2. 1 4, , ; 1. 1 4, , 1 4 , , 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 2 0 0 2 2 = + = + = + = + = + = + E E x y x y x y P E E x y x y P E E x y E x y x y P x y R 的边界 或 则 点 为 的边界点也 是 的聚点 若 或 则 点 为 的内点 也 是 的聚点 若 设点集 点 举 例 ( ) ( ) . , , 0 0 则 称 为 的聚点 总 有 中的点 本身可属于 也可不属于 ， 如果对于任意给定的 ， 的去心邻域 P E U P E P E E P (point of accumulation)
3.开集(opener)与闭集(closed set)设集合ECR2如果点集E的点都是内点，则称E是R中的开集如果E的余集E°是R中的开集E则称E是R中的闭集例如 E, =(x,)1<x2+2<4} 即为开集;E,=(x,)1≤x2+2≤4} 即为闭集;即非开集E, =((x, y)1≤x2 +y2 <4)也非闭集经济数学微积分
3.开集(opener)与闭集(closed set) E •P {( , )1 4} 2 2 例如 E1 = x y x + y 即为开集； ; 则 称 是 2 中的开集 如果点集 的点都是内点， E R E . 2 2 则 称 是 中的闭集 如 果 的余集 是 中的开集， E R E E R c {( , )1 4} 2 2 E2 = x y x + y 即为闭集； {( , )1 4} 2 2 E3 = x y x + y 即非开集 也非闭集. , 2 设集合 E R
4.有界集(boundedset)与无界集设集合ECR?，如果存在常数>0,使得对所有的P(x,J)e E都有OP=x2+2≤k,则称E是R中的有界集一个集合如果不是有界集，就称为无界集5.区域、闭区域设D是开集.如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的经济数学微积分
4.有界集(bounded set)与无界集 ( ) , . 0, , , , 2 2 2 2 都 有 则 称 是 中的有界集 如果存在常数 使得对所有的 设集合 O P x y k E R k P x y E E R = + 一个集合如果不是有界集，就称为无界集. 5.区域、闭区域 开集 是连通的． 且该折线上的点都属于 ，则称 任何两点，都可用折线连结起来， 设 是开集．如果对于 内 D D D D • •
连通的开集称为区域(region)或开区域↑J例如,(x,y)I1<x2 + 2<4)开区域连同它的边界一起称为闭区域ty例如,((x,y)I1≤x2 + 2≤ 4)X经济数学微积分
连通的开集称为区域(region)或开区域． {( , )| 1 4}. 2 2 例如， x y x + y x y o 开区域连同它的边界一起称为闭区域. {( , )| 1 4}. 2 2 例如， x y x + y x y o
注：n维空间中邻域、区域等概念邻域: U(P,8)={PlI PP,S,PR"内点、边界点、区域等概念也可定义经济数学微积分
注：n维空间中邻域、区域等概念 n U(P0 , ) = P | PP0 | ,P R 内点、边界点、区域等概念也可定义． 邻域：
多元函数的概念二、(functions of several variables)定义设D是R"的一个非空子集，D到实数集R的任一映射称为定义在D上的一个n元（实值）函数，记作：DR″→R或y = f(x)= f(x,x2,..,x,),xe D其中xi,x2,,x,称为自变量，y称为因变量D称为函数的定义域，(D)=(r(x)x D)称为函数的值域，并且称R"+中的子集(xi,x2,..,xn,y)y= f(x),xe D为函数y=f(x在D上）的图形（或图像）。微积分经济数学
二、多元函数的概念 (functions of several variables) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( （ 在) 上）的图形（或图像）。 为函数 称为函数 的值域，并且称 中的子集 称为函数 的定义域， 其 中 称为自变量， 称为因变量， 或 值）函数，记作 的任一映射称为定义在 上的一个 元（实 设 是 的一个非空子集，从 到实数集 y f x D x x x y y f x x D f R D f f D f x x D x x x y y f x f x x x x D f D R R f D n D R D R n n n n n n = = = = = → + , , , , , , , , , , , , : 1 2 1 1 2 1 2 定义
在n等于2与3时，习惯上将点(xi,x2)与(xi,X2,x)分别写成(x,J)与(x,J,z).这时若用字母表示R2或R中的点，则通常写成P(x,J)或M(x,y,z)等二元函数与三元函数也可简记为z=f(P)或u=f(M)arcsin(3-x2 - y)的定义域，例1 求f(x,y)=/x-y- J3-x2-≤1解x-y2>02≤x2 +≤4x>所求定义域为 D=((x,)|2≤x2+2≤4,x>"}微积分经济数学
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 3 2 3 2 3 , , , , , , . , , , . . n x x x x x x y x y z R R P x y M x y z z f P u f M = = 在 等于 与 时，习惯上将点 与 分别写成 与 这时若用字母表示 或 中的点，则通常写成 或 等 二元函数与三元函数也可简记为 或 例1 求 2 的定义域． 2 2 arcsin(3 ) ( , ) x y x y f x y − − − = 解 − − − 0 3 1 2 2 2 x y x y + 2 2 2 2 4 x y x y 所求定义域为 {( , )| 2 4, }. 2 2 2 D = x y x + y x y