《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第九章 重积分 习题课

第九章重积分习题课主要内容典型例题经济数学微积分

主要内容 典型例题 第九章 重 积 分 习 题 课

一、主要内容定义二重积分几何意义性质计算法经济数学微积分

定 义 几何意义 性 质 计算法 二重积分 一、主要内容

1.二重积分的定义定义设f(x,y)是有界闭区域 D 上的有界函数，将闭区域D任意分成个小闭区域△1，△2，，△α，，其中△,表示第个小闭区域，也表示它的面积在每个△;上任取一点(S;,n)，f(Si,n:)△d;,(i = 1,2,::,n),作乘积Z f(5i,n:)Ao;,并作和i-1经济数学微积分

定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数，将 闭区域 D 任意分成n 个小闭区域 1 ， 2 , ，  n，其中 i表示第i 个小闭区域，也表示它的面积， 在每个 i上任取一点( , )  i i ， 作乘积 ( , ) i i f    i ， (i = 1,2,,n)， 并作和 i i n i i  f    = ( , ) 1 ， 1.二重积分的定义

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,J)在闭区域D上的二重积分记为[J f(x,y)do,Dn[[ f(x, y)do= lim即Ef(5i,n:)Ao;2-0i-1D2.二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值.经济数学微积分

如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y) 在闭区域 D 上的二重积分， 记 为 ( , )d D f x y   ， 即 ( , )d D f x y   i i n i i f     =   = → lim ( , ) 1 0 ２. 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．

3．二重积分的性质性质1当k为常数时，[ kf(x, y)do =kf f(x, y)do.DDJ f(x,y)± g(x,y)]do性质2D= J f(x, y)do± ]II g(x, y)do.DD微积分经济数学

性质１ 当 k 为常数时， ( , )d ( , )d . D D kf x y k f x y   =   性质２ [ ( , ) ( , )]d D f x y g x y    ( , )d ( , )d . D D =  f x y g x y     ３. 二重积分的性质

对区域具有可加性(D=D, +D,）性质3J f(x,y)do = J f(x, y)do + JJ f(x, y)do.DDiD2若为D的面积=J[1·d=do.性质4DD性质5若在D上，f(x,y)≤g(x,y)JJ f(x, )do≤J g(x, y)do.DD特殊地[f f(x, y)do≤ Jj1f(x, y)]do.DD华经济数学微积分

性质３ 对区域具有可加性 1 2 ( , )d ( , )d ( , )d . D D D f x y f x y f x y    = +    ( ) D = D1 + D2 性质４ 若  为D的面积 1 d d . D D    =  =   性质５ 若在D上， f (x, y)  g(x, y) ( , )d ( , )d . D D f x y g x y      特殊地 ( , )d ( , ) d . D D f x y f x y     

性质6设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，α为D的面积，则 (l f(x,y)do≤ Mgmg<D（二重积分估值不等式）性质7 设函数f(x,y)在闭区域D上连续，α为D的面积，则在 D 上至少存在一点(,n)使得J f(x, y)do = f(5,n)..D（二重积分中值定理）微积分经济数学

设M、m 分别是 f (x, y)在闭区域 D 上的最 大值和最小值， 为 D 的面积，则 ( , )d D m f x y M       （二重积分估值不等式） 性质６ 设函数 f (x, y)在闭区域D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( ,)使得 ( , )d ( , ) D f x y f     =   . 性质７ （二重积分中值定理）

4.二重积分的计算（1）直角坐标系下[x-型」 D:a≤x≤b,P(x) ≤ y≤P,(x)P2(x)JJ f(x,y)do =dxf(x, y)dy.i (x)DX-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点。经济数学微积分

４.二重积分的计算 D : a  x  b, ( ) ( ). ［X－型］ 1 x  y   2 x 2 1 ( ) ( ) ( , )d d ( , )d . b x a x D f x y x f x y y    =    X-型区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. （１）直角坐标系下

[Y-型]D: c≤y≤d, P(y)≤x≤P,(y)P2(y)J f(x,y)do=J"dyf(x,y)dx.(V0DY型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点。经济数学微积分

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴 的直线与区域边界相交不多于两个交点. 2 1 ( ) ( ) ( , )d d ( , )d . d y c y D f x y y f x y x    =    D : c  y  d, ( ) ( ). 1 2 ［Y－型］  y  x   y

（2）极坐标系下D: α≤0≤β,P(0)≤r ≤P,(0)J f(rcos9,rsing)rdrdeD,βP2(0)def(rcosθ,rsinO)rdr.9(0)a微积分经济数学

2 1 ( ) ( ) d ( cos , sin ) d . f r r r r       =      1 ( cos , sin ) d d D f r r r r     : , D1      ( ) ( ). 1   r  2  （２）极坐标系下