《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第九章 重积分 9-2 二重积分的计算法（2）

(2)第二节二重积分的计算法一、利用极坐标系计算二重积分二、广义二重积分三、小结思考题经济数学微积分

三、小结 思考题 第二节 二重积分的计算法（2） 一、利用极坐标系计算二重积分 二、广义二重积分

一、利用极坐标计算二重积分(polar coordinates) +Ar)?.e,.40Ag, =r20= 0 +△0r=r+r(2r + Ar)Ar 0,r=rAo- I+(r +Ar) Ar Ae,20=0= r, ·Ar ·A,0AJJ f(x,y)dxdy = J f(rcos9,rsing)rdrde.DD光经济数学微积分

A o D  i i r = r i i r = r + r  =  i +  i  =  i i i i i i i  = r + r   − r   2 2 2 1 ( ) 2 1 i i i i = (2r + r )r   2 1 i i i i i r r r r    + +  = 2 ( ) , i i i = r  r   ( , )d d ( cos , sin ) d d . D D f x y x y f r r r r =      一、利用极坐标计算二重积分 (polar coordinates)

二重积分化为二次积分的公式（1）区域特征如图r =Φ(0)r = Φ2(0)α≤e≤β,P,(0) ≤r≤P,(0)αA[J f(rcos,rsin0)rdrdeDβ92(0)df (rcosθ,rsin)rdr.i(0)α经济数学微积分

2 1 ( ) ( ) d ( cos , sin ) d . f r r r r       =        A D o ( ) r = 1  ( ) r = 2  ( cos , sin ) d d D f r r r r     二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图      , ( ) ( ). 1   r  2 

r =p(0)区域特征如图Dr = @2(0)α≤0≤β,P(0) ≤r≤P2(0),CAJJ f(rcos9,r sin0)rdrdeDBP2(0)def(rcosθ,rsinO)rdr.P(0)a微积分经济数学

区域特征如图      , ( ) ( ). 1   r  2  2 1 ( ) ( ) d ( cos , sin ) d . f r r r r       =      ( cos , sin ) d d D f r r r r       o A D ( ) 2 r =   ( ) 1 r =  

二重积分化为二次积分的公式（2）= (0)区域特征如图α≤≤β,0 ≤r ≤ Φ(0)A[J f(rcos,rsin0)rdrdeD(0)def(rcosθ,rsinO)rdr.经济数学微积分

o A D r =() ( ) 0 d ( cos , sin ) d . f r r r r     =      二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征如图      , 0  r  ( ). ( cos , sin ) d d D f r r r r      

二重积分化为二次积分的公式（3）r = p(0)区域特征如图D0 ≤r ≤β(0)0≤0≤2元,V0 f(rcos, r sin0)rdrde(0)2元def(r cos,r sinO)rdr.0极坐标系下区域的面积α=（rdrd0.D经济数学微积分

( cos , sin ) d d D f r r r r     2 ( ) 0 0 d ( cos , sin ) d . f r r r r    =      极坐标系下区域的面积 d d . D   = r r  二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 0  r  ( ). D o A r =() 0    2

JJ f(x,y)dxdy 的极坐标二次积分例1 写出积分D形式，其中积分区域D=(x,y)I 1-x≤y≤/1-x2, 0≤x≤1)9x=rcosox° +y* =1解在极坐标系下y=rsina0.80. 6所以圆方程为r=1，0.41x+y=l0.2直线方程为r:sin + cos θ.20.40.60.8EJ f(x, y)dxdyde1 f(rcose,rsinO)rdr.1Dsin+cos?L微积分经济数学

例 1 写出积分 ( , )d d D f x y x y  的极坐标二次积分 形式，其中积分区域 {( , )| 1 1 , 2 D = x y − x  y  − x 0  x  1}. x + y = 1 1 2 2 解 在极坐标系下 x + y =    = =   sin cos y r x r 所以圆方程为 r = 1, 直线方程为 sin cos 1 + r = , ( , )d d D f x y x y  2 1 1 0 sin cos d ( cos , sin ) d . f r r r r       + =  

计算dxdy，其中 D是由中心在例2D原点，半径为α的圆周所围成的闭区域解在极坐标系下D: 0≤r≤a,0≤0≤2元.2元5enYderdrVD=元(1微积分经济数学

例 2 计 算 2 2 d d x y D e x y − −  ，其中 D 是由中心在 原点，半径为a的圆周所围成的闭区域. 解 在极坐标系下 D：0  r  a，0    2. 2 2 d d x y D e x y − −  2 2 0 0 d d a r e r r   − =   (1 ). 2 a e − =  −

例3求广义积分e-xdx.0D2解 D, ={(x,J)[x2 +y?≤R"})SD, =((x,y)/x? + y? ≤2R2)D,R2RS=((x,y)/0≤x≤R,0≤y≤R)显然有 D, CSCD(x ≥ 0, y ≥ 0)e-x?-y2 > 0,Sdxdy≤dxdydxdy<PDis电经济数学微积分

例 3 求广义积分 2 0 d x e x  −  . 解 {( , )| } 2 2 2 D1 = x y x + y  R {( , )| 2 } 2 2 2 D2 = x y x + y  R {x  0, y  0} S = {(x, y)| 0  x  R,0  y  R} 显然有 D1  S  D2 0, 2 2  − x − y  e  2 2 1 d d x y D e x y − −  2 2 d d x y S e x y − −   2 2 2 d d . x y D e x y − −  D1 SD2 S D1 D2 R 2R

1又： I=dxdy-0sRRe-x dx)dx0I, = eDi元R22de1同理I,=dxdyD2微积分经济数学

又 2 2 d d x y S I e x y − − =  2 2 0 0 d d R R x y e x e y − − =   2 2 0 ( d ) ; R x e x − =  I1 = 2 2 1 d d x y D e x y − −  2 2 0 0 d d R r e r r   − =   (1 ); 4 2 R e − −  = 同理I2 = 2 2 2 d d x y D e x y − −  (1 ); 4 2 2R e − −  =