第一节数列的极限引例「i数列的有关概念1三、数列极限的定义四、收敛数列的性质五、小结思考题经济数学微积分
二、数列的有关概念 四、收敛数列的性质 五、小结 思考题 三、数列极限的定义 第一节 数列的极限 一、引例
一、引例1．割圆术：“割之弥细，所0.5失弥少，割之又割，以至于不可0.5-0.5割，则与圆周合0.5体而无所失矣刘徽播放经济数学微积分
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1. 割圆术： ——刘徽 播放 一、引例
正六边形的面积 A正十二边形的面积 A,R正6×2n-1形的面积 A,S↓A,A2, A.:An.经济数学微积分
R 正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2 正 6 2 n−1 形的面积 An A1 , A2 , A3 , , An , S
2. 香截丈问题：“一尺之捶，日截其半，万世不竭第一天截下的杖长为X，第二天截下的杖长总和为X,22一第n天截下的杖长总和为X,22X. =1-12"n经济数学微积分
2. 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” ; 2 1 第一天截下的杖长为 X1 = ; 2 1 2 1 2 2 第二天截下的杖长总和为 X = + ; 2 1 2 1 2 1 Xn 2 n 第n天截下的杖长总和为 = + ++ Xn n 2 1 = 1 − 1
二、数列(sequence)的有关概念1.定义:以正整数集N+为定义域的函数f(n)按f(1)，f(2)，，f(n)，.·排列的一列数称为数列,通常用xi,X2,"",xn,表示，其中 x,=f(n),x,称为通项例如[2"}2.4.8,.·.2"..12'4'8经济数学微积分
二、数列(sequence)的有关概念 1. 定 义:以正整数集 + N 为定义域的函数 f (n)按 f (1) , f (2) ,, f (n) ,排列的一列数称为数列， 通常用x1 , x2 ,, xn ,表示，其中 x f (n) n = ， xn称为通项 例如 2,4,8, ,2 , ; n , ; 2 1 , , 8 1 , 4 1 , 2 1 n {2 } n } 2 1 { n
1,-1,1, ..,(-1)"1,....((-1)"-1})-n +(-1)"-1n+(-1)2人2'3""nn3, /3+ /3...,~3+ 3+ ..+ ~3,..注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取Xi,X2，",Xn，XnX2X4XXi2.数列是整标函数x=f(n)微积分经济数学
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 , , , , . x1 x2 xn 1 x 2 x 3 x 4 x n x 2.数列是整标函数 x f (n). n = 1, 1,1, ,( 1) , ; − − n+1 {( 1) } −1 − n , ; ( 1) , , 3 4 , 2 1 2, 1 n n n− + − } ( 1) { 1 n n n− + − 3, 3 + 3, , 3 + 3 + + 3 ,
2. 有界性定义：对数列x，若存在正数M，使得一切正整数n，恒有x，≤M成立，则称数列x,有界，否则，称为无界n例如，数列x,=有界；数列x,=2"无界n+1数轴上对应于有界数列的点x，都落在闭区间[-M,M]上.经济数学微积分
2. 有界性 定 义: 对数列 n x , 若存在正数M , 使得一切正 整 数n, 恒 有 xn M 成 立, 则称数列 n x 有 界, 否则, 称为无界. 例如, + 1 = n n 数列 xn n 数列 xn = 2 数轴上对应于有界数列的点 n x 都落在闭区间 [−M, M]上. 有界； 无界
若存在实数A，对一切n都满足x,≥A，称{x,为下有界，A是{x,的下界;同样，若存在B，对一切n都满足x，≤B，称{x,i为上有界，A是(x,的上界.经济数学微积分
若存在实数 A，对一切n 都满足 xn A， 称{ }为下有界 , xn A是{xn }的下界； 同样, 若存在 B，对一切 n 都满足 xn B， 称{ }为上有界 , xn A是{xn }的上界．
3.单调性数列(x,}若满足x,≤x,≤…≤xn，称数列{x,}为单调增数列；若满足x,≥x≥≥xn则称数列(x,为单调减数列,单调增数列和单调减数列统称为单调数列.经济数学微积分
3. 单调性 { } , n 1 2 n 数列 x 若满足 x x x { } 称数列 xn 为单调增数列； , 1 2 n 若满足 x x x 则称数列{xn }为 单调减数列． 单调增数列和单调减数列统称为单调数 列．
4.子数列(subsequence)定义：将数列x在保持原有顺序情况下，任取其中无穷多项构成的新数列称为x，的子数列，简称子列。例如，Xi,X2,,X;,1注意：在子数列α中，一般项xn是第k项，而x，不在原数列(x,中却是第x项，显然，nk≥k.经济数学微积分
4. 子数列 (subsequence) 列，简称子列． 取其中无穷多项构成的新数列称为 的子数 定义：将数列 在保持原有顺序情况下， 任 n n x x x1 , x2 , , xi , xn , xn1 , xn2 , , xnk , x x x n k. x x k n n k k n n k k k 而 在原数列 中却是第 项，显然， 注意： 在子数列 中，一般项 是第 项， 例如