浙大控制系近年考研题分章集锦(七)一杂辑 2004年 十二、(10分/150分)-该题为二选一题,另一题是关于观测器的。研究由方程 x1=x2-x1(x1+x2) 描述的系统的稳定性。 x2=-x1-x2(x2+x2) 解:命x=0,可求得系统的平衡状态为原点,即x1=0,x2=0 定义正定纯量函数V(x)=x2+x2 则沿任一轨迹,V(x)对时间的导数 V(x)=2x1x1+2x2x2=-2(x2+x2)2 是负定的,这说明V(x)沿任一轨迹连续地减小,因此,V(x是一个李亚普诺夫函数。根据 李亚普诺夫稳定性定理,该系统渐近稳定。 又由于V(x)随x偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷,即当→∞时,V(x)→∞ 故系统是大范围一致渐近稳定的。 2003年 七、(10分/150分)已知双位式继电器的描述函数为N=,它与线性环节一起组成如图 Aπ 示系统。请你求出产生极限环振荡的条件。(C=10) U+ Y s(s+1)(4s+1) 2003年題七图 解:因为系统的特征方程:G(jw)N(A)+1=0 _ 系统产生极限环振荡的条件:G(j)=-=-4C 1 Aπ jw(jw+1)(4jw+1)40 40 即:-=jw(jw+1)(4jw+1)=-4jw-5w2+jw; Aπ
浙大控制系近年考研题分章集锦（七）－杂辑 2004 年 十二、（10 分/150 分）--该题为二选一题，另一题是关于观测器的。研究由方程 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 x x x x x x x x x x = − − + = − + 描述的系统的稳定性。 解：命 x = 0 ，可求得系统的平衡状态为原点，即 x1 = 0, x2 = 0 定义正定纯量函数 2 2 2 1 V (x) = x + x 则沿任一轨迹，V(x) 对时间的导数 2 2 2 2 1 1 2 2 1 V(x) = 2x x + 2x x = −2(x + x ) 是负定的，这说明 V(x) 沿任一轨迹连续地减小，因此，V(x)是一个李亚普诺夫函数。根据 李亚普诺夫稳定性定理，该系统渐近稳定。 又由于 V(x)随 x 偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷，即当 x → 时， V(x) → 故系统是大范围一致渐近稳定的。 2003 年 七、（10 分/150 分）已知双位式继电器的描述函数为 = A C N 4 ，它与线性环节一起组成如图 示系统。请你求出产生极限环振荡的条件。（C=10） 解：因为系统的特征方程： G( jw) N(A) +1 = 0 系统产生极限环振荡的条件： C A N A G jw ( ) 4 1 ( ) = − = − ( 1)(4 1)] 40 1 ( ) A jw jw jw G jw = − + + = 即： j w j w j w j w w j w A = + + = − − + − 3 2 ( 1)(4 1) 4 5 40 ； ( 1)(4 1) 1 s s + s + U + Y 2003 年題七 图 C
10.19 兀(5°0.25)兀 所以:当w=0.5,A=10.19时,系统产生极限环振荡。 (2)(10分/70分)已知系统的状态方程为x=Dx;D的特征根具有负实部,且互不相等。 要求:构造一个合适的李氏函数。 解:由于D的特征根具有负实部,且互不相等,可知D为非奇异矩阵,且原点是惟一平衡 状态。 取正定二次型函数(x)=x2Px作为李雅普诺夫函数,其中P为正定矩阵 验证:(x)=xPx+xPi=x(DP+PD)x 令:DP+PD=-Q:则:(x)=-xQx 根据李雅普诺夫的定常系统大范围渐近稳定判别定理1,只要Q正定,即V(x)负定, 则系统是大范围渐近稳定的。 可以先选取Q为单位阵,由已知的状态方程,由DP+PD=-O求出正定的P阵
10.19 32 (5*0.25) 40 = A = 所以：当 w=0.5, A=10.19 时，系统产生极限环振荡。 1999 年 (2) （10 分/70 分）已知系统的状态方程为 x = Dx ；D 的特征根具有负实部，且互不相等。 要求：构造一个合适的李氏函数。 解：由于 D 的特征根具有负实部，且互不相等，可知 D 为非奇异矩阵，且原点是惟一平衡 状态。 取正定二次型函数 V x x Px T ( ) = 作为李雅普诺夫函数，其中 P 为正定矩阵 验证： V x x Px x Px x D P PD x T T T T ( ) = + = ( + ) 令： D P PD Q T + = − ；则： V x x Qx T ( ) = − 根据李雅普诺夫的定常系统大范围渐近稳定判别定理 1，只要 Q 正定，即 V(x) 负定， 则系统是大范围渐近稳定的。 可以先选取 Q 为单位阵，由已知的状态方程，由 D P PD Q T + = − 求出正定的 P 阵
