浙江大学控制系自动控制原理近年考研题分章集锦(三) (第四章根轨迹部分) 2005年 5.(10分) 控制系统的开环传递函数为G(s)=ca≥0 (2S-a) 绘制以a为参变量的根轨迹,并利用根轨迹分析a取何值时系统稳定 解:闭环特征方程△(s)=2s2-as+s+a=0 改写为:1+-a(S-1)=0 (2s+1) ①按正反馈根轨迹法,绘制a参变量根轨迹 a=1时临界状态,∴稳定范围0Re 6.(10分) 单位负反馈系统的根轨迹如图6所示,要求 ①写出该系统的闭环传递函数。 ②增加一个开环零点-4后,绘制根轨迹草图,并简要分析开环零点(-4) 引入对系统性能的影响。 Re
浙江大学控制系自动控制原理近年考研题分章集锦（三） （第四章:根轨迹部分） 2005 年 5.(10 分) 控制系统的开环传递函数为 G s( )＝ (2 ) S a S S a + − a≥0 绘制以 a 为参变量的根轨迹,并利用根轨迹分析 a 取何值时系统稳定. 解: 闭环特征方程 Δ（S）= 2S 2 –aS +S +a =0 改写为: 1+ ( 1) (2 1) a S S S − − + = 0 ① 按正反馈根轨迹法,绘制 a 参变量根轨迹 a =1 时临界状态, ∴ 稳定范围 0< a <1. 6．（10 分） 单位负反馈系统的根轨迹如图 6 所示，要求 ① 写出该系统的闭环传递函数。 ② 增加一个开环零点 －4 后，绘制根轨迹草图，并简要分析开环零点（－4） 引入对系统性能的影响
图6 解:①开环传递函数G(S)= S(S+6) K 闭环传递函数G(S)= G(s S(S+6) K 1+G0(S) S3+6S2+K 系统中增加开环零点,使根轨迹向S平面的左半面移动,渐近线角度从 60→90,系统的相对稳定性和动态品质将会得到改善。 004年 五.(20分/150分)系统如图5所示,绘制以a为可变参数的根轨迹,并指出系统稳定条 件下的α值取值范围,以及系统阶跃响应无超调时α的取值范围 R(SY 025(S+a) (S) s(s+1) 图5 解:△(s)=S3+S2+0.25S+0.25a=0 0.25a 等效开环传递函数:[G(S)H(Se= S(S+0.5)2
图 6 解：① 开环传递函数 0 2 ( ) ( 6) K G S S S = + 闭环传递函数 0 0 ( ) ( ) 1 ( ) G S G S G S = + ＝ 2 2 ( 6) 1 ( 6) K S S K S S + + + ＝ 3 2 6 K S S K + + ② 系统中增加开环零点，使根轨迹向 S 平面的左半面移动，渐近线角度从 60 90 ⎯⎯→ ，系统的相对稳定性和动态品质将会得到改善。 2004 年 五．（20 分/150 分）系统如图 5 所示，绘制以 为可变参数的根轨迹，并指出系统稳定条 件下的 值取值范围，以及系统阶跃响应无超调时 的取值范围 图 5 解： ( ) 0.25 0.25 0 3 2 s = S + S + S + = 等效开环传递函数： 2 ( 0.5) 0.25 [ ( ) ( )] + = S S G S H S e
奖 0.5 a ,S12=±10.5 系统稳定条件下0<a<1 临界阻尼(无超调量),此时S1=d1 025a=S(S+05)554 12.(20分/150分)系统结构如下图所示。画出其根轨迹,并求出当闭环共轭复数极点呈 现阻尼比ξ=0.707时,系统的单位阶跃响应。(列出详细步骤) (s) 2003年第12题结构图 (0.5s+1) (0.25s+1)(0.5s+1) s(s+2)( 其中:k (1)起于0,-2,-4,终于 2)渐近线, 2,n=90°,270 (3)分离点,d
27 2 0 54 1 0.25 ( 0.5) 6 1 0 1 1 0.5 1 2 1 1 1,2 = = = + = = − = = a S S a S S S d a a S j 即 临界阻尼（无超调量），此时 系统稳定条件下， 时， 2003 年 12．（20 分/150 分）系统结构如下图所示。画出其根轨迹，并求出当闭环共轭复数极点呈 现阻尼比 ζ＝0.707 时，系统的单位阶跃响应。（列出详细步骤） 解： (3) 2 (2) 2, 90 ,270 (1) 0 2, 4, 2, 4 ( 2)( 4) ( 2) (0.5 1) (0.25 1)(0.5 1) ( ) ( ) = − = − = − − = + + + + = + + = d k k s s s k s s s s s k G s H s a a g g 分离点， 渐近线， 起于 ， 终于－ 其中： 2003 年第 12 题结构图
=0.707 Im 2 (s)=p(s)·U(s)=-- ss+2s2+4s+8 y()=1-2e-2-√2e-sn(21-45°) 年 3.(10分/100分)系统的开环传递函数为G(s)H(s) ,绘制根 s(S+3)(s 轨迹图,并列出详细步骤。(提示:分离点用试差法求近似值) 解: 综上所述作出根轨迹草图如图所示。 3 2002年第3颗根轨迹草图 2001年 3.(10分/100分)已知控制系统闭环传递函数为G(s) (s-+5+25(s+50)+a 绘制以a为参量的根轨迹 解:系统等效开环传递函数:(GHe a(+1) (s+50)(s2+5s+25) 综上所述作出根轨迹草图如图所示
( ) 1 2 2 sin( 2 45 ) 2 4 8 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = − − − + + + + = = − − − y t e e t s s s s s y s s U s t t 2002 年 3．（10 分/100 分） 系统的开环传递函数为 ( 3)( 2 2) ( ) ( ) 2 + + + = s s s s K G s H s ，绘制根 轨迹图，并列出详细步骤。（提示：分离点用试差法求近似值）。 解： 综上所述作出根轨迹草图如图所示。 2001 年 3．（10 分/100 分）已知控制系统闭环传递函数为 s s s a as G s + + + + = ( 5 25)( 50) ( ) 2 ，试 绘制以 a 为参量的根轨迹。 解：系统等效开环传递函数： ( 50)( 5 25) ( 1) ( ) 2 + + + + = s s s a s GH e 综上所述作出根轨迹草图如图所示。 j -j -3 0 2002 年第 3 题根轨迹草图
Root locus 50-40-30-20100 2000年 3.(10分/100分)系统如图所示,试绘制以a为参量的根轨迹,并写出详细步骤。 解:特征方程:1+G(s)Hs)=0 即为:1 s(s+a)+9=0 故 即等效开环传递函数:(GHe 2000年第3颗根轨迹草图 (10分/70分)已知串级系统结构图如图2所示,试确定以a为参数的根轨迹。 X(s) Y(s) s(s+a)(s+5) 1999年第二题示意图 提示:s3+5s2+10=(s+535s-0.18+n1.36(s-0.18-n1.36) 解:内环传递函数与系统的开环传递函数相同(因为主环中G=1) G(s)=G内(s)= 等效开环传递函数 (GH)e 5) s3+5s2+10(s+5.35s-0.18+1.36s-0.8-n1.36) 0.18+j1 I999年第二题根轨迹草图
2000 年 3．（10 分/100 分）系统如图所示，试绘制以 a 为参量的根轨迹，并写出详细步骤。 解：特征方程：1＋G(s)H(s) = 0 即为： 0 ( ) 9 1 = + + s s a s(s + a) + 9 = 0 故： 0 9 1 2 = + + s as 即等效开环传递函数： 9 ( ) 2 + = s as GH e 1999 年 二．（10 分/70 分）已知串级系统结构图如图 2 所示，试确定以 a 为参数的根轨迹。 提示： 5 10 ( 5.35)( 0.18 1.36)( 0.18 1.36) 3 2 s + s + = s + s − + j s − − j 解：内环传递函数与系统的开环传递函数相同（因为主环中 G＝1）： ( )( 5) 5 5 ( ) ( ) + + + = = s s a s G s G内 s 等效开环传递函数： ( 5.35)( 0.18 1.36)( 0.18 1.36) ( 5) 5 10 ( 5) ( ) 3 2 s s j s j as s s s as s GH e + − + − − + = + + + = j3 -j3 a=4 -3 0 2000 年第 3 题根轨迹草图 ( )( 5) 5 s s + a s + Y(s) 1999 年第二题示意图 X(s) 1 0.18＋j1.36 0.18－j1.36 0 -5 1999 年第二题根轨迹草图 -5.35 Im Re
1998年 2.(8分/100分)系统结构如图所示,画出根轨迹图(写出详细步骤),求出系统稳定的 K值范围 解:内环传递函数 s+1 Y(s) 2(s+2) s(s 系统的开环传递函数: K 2(s+1) G(SH(S) s+2 s(s2+3s+2)+2K 等效开环传递函数 2K 1998年第2题示意图 (GH)e= (s+1)(s2+2s+2) Root Locus 0 1998年第2题根轨迹草图 MATLAB画出的根轨迹
1998 年 2．（8 分/100 分） 系统结构如图所示，画出根轨迹图（写出详细步骤），求出系统稳定的 K 值范围。 解：内环传递函数： s s s K s G s ( 3 2) 2 2 2 ( ) 2 + + + = （ ＋ ） 内 系统的开环传递函数： s s s K s G s H s ( 3 2) 2 2 1 ( ) ( ) 2 + + + = （ ＋） 等效开环传递函数： ( 1)( 2 2) 2 ( ) 2 + + + = s s s K GH e ( 1) 2 s s + Y(s) 1998 年第 2 题示意图 2 1 + + s s X(s) s + 2 K Im -1 0 1998 年第 2 题根轨迹草图 Re MATLAB 画出的根轨迹