4.3垂直关系 4.3.1直线与平面垂直 43.2平面与平面垂直 44综合举例
4.3.1 直线与平面垂直 4.4 综合举例 4.3.2 平面与平面垂直 4.3 垂直关系
4.3.1直线与平面垂直 几何条件 如果直线L垂直于P平面内 的一对相交直线,则直线L垂 直于P平面 空间分析 如果直线L垂直于平面P 则直线L必垂直于P面内的 切直线 直线L称为平面P的垂线或 法线 投影分析 根据直角投影定理,直线L 的正面投影与P成直角;直 线L的水平投影与P成直角
4.3.1 直线与平面垂直 • 空间分析 – 如果直线L垂直于平面P， 则直线L必垂直于P面内的一 切直线 – 直线L称为平面P的垂线或 法线 • 投影分析 – 根据直角投影定理，直线L 的正面投影与PV成直角；直 线L的水平投影与PH成直角 PH PV P V • 几何条件 – 如果直线L垂直于P平面内 的一对相交直线，则直线L垂 直于P平面
例1K∈平面ABC,过K作平面ABC的垂线
k 例1 K∈平面ABC，过K作平面ABC的垂线 a ′ b′ c ′ k ′ c b a
例2过点A作直线与BC正交
PV k k ′ A K B C 1 ′ 2 ′ 1 2 例2 过点A作直线与BC正交 a a ′ b c b ′ c ′
432平面与平面垂直 几何条件 A 如果一直线垂直于 平面,则包含此直线的所 有平面都垂直于该平面 B P
4.3.2 平面与平面垂直 • 几何条件 如果一直线垂直于一 平面，则包含此直线的所 有平面都垂直于该平面 A B P
例3过M作平面⊥平面ABC
例3 过M作平面⊥平面ABC c c ′ a a ′ m b ′ b m′
4.4综合举例 宗合题 如果一道题中涉及点、线、面的多个概念,解题中又要 用到多种基本作图方法,则此类题就叫综合题 解题方法 逆推法:先假设已经得出符合题设条件的答案,然后依据 有关几何定理,找到答案与初设条件间的联系, 由此得到解题的方法和步骤 轨迹法:依据已知条件和题目要求,分别作出满足各个要 求的轨迹,则各个轨迹间的交点或交线即为所求
4.4 综合举例 如果一道题中涉及点、线、面的多个概念，解题中又要 用到多种基本作图方法，则此类题就叫综合题 • 综合题 • 解题方法 先假设已经得出符合题设条件的答案，然后依据 有关几何定理，找到答案与初设条件间的联系， 由此得到解题的方法和步骤 依据已知条件和题目要求，分别作出满足各个要 求的轨迹，则各个轨迹间的交点或交线即为所求 逆推法： 轨迹法：
例4BC为等腰△ABC的底边,高AD=50, 求△ABC的水平投影 分析 求作AD 虫点 作AD的垂面PEDF),则BC属于平面P b f利用面内取点法求得C,进而得到B 作图 求d,d为bc的中点等腰三角形性质; 作直角△ad'e,求得AD的Y坐标差d'e 根据AD的Y坐标差及投影关系求得d; 过D作平面PEDF⊥AD; 作e'f,c'∈ef 由投影关系得到b,b∈cd
例4 BC为等腰△ABC的底边，高AD=50， 求△ ABC的水平投影 c b 50 d′ d 中点 分析： 求作AD； 作AD的垂面P(EDF)，则BC属于平面P 利用面内取点法求得C，进而得到B f ′ f e ′ e 作图： 求d ’ ，d ’为b ’ c ’的中点(等腰三角形性质); 作直角△a’ d’ e ’ ,求得AD的Y坐标差d ’ e ’ ; 根据AD的Y坐标差及投影关系求得d； 过D作平面P(EDF)⊥AD; 作 e ‘ f ‘ ,c ‘∈e ‘ f ‘ 由投影关系得到b，b ∈cd a′ b′ c′ a x
例5过点D引直线与△ABC平行,且与V面成45 分析: 与V面成45°角且过D点的直线的 集合是底角为45°的锥,其轴线正垂 过D点与△ABC平行的直线的集合 是△ABC的平行面 上述过D点的圆锥与平面的交即为所求 d P K B
例5 过点D引直线与△ABC平行，且与V面成45° PH k′ k 1 2 1′ 2′ 分析： 与V面成45 °角且过D点的直线的 集合是底角为45 °的锥，其轴线正垂 过D点与△ABC平行的直线的集合 是△ABC的平行面 上述过D点的圆锥与平面的交即为所求 b′ a′ c′ b a c d′ d A C K K Ⅰ Ⅱ B