华侨大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿，机电版）例1-3周期方波的傅立叶三角级数

例1-3求周期方波信号的傅里叶三角形级数 E/2 712 10 T/2 T Eh2 E T t<0 丌 T=2丌 奇函数!

X 第 1 页 jh jh 例1-3 求周期方波信号的傅里叶三角形级数 , 0 2 2 ( ) , 0 2 2 E T t x t E T t  − −    =      E/2 -E/2 -T -T/2 0 T/2 T t x(t) 0 0 2 T 2 T     = = 奇函数！

例1-3解签 x(O)是奇的零均值周期信号→an1=0,n=0,1,2,3, b t x(tsin(noot)dt T T J2 x()sin(no,)dt 4CE 2E-1 sin (nott T cos not TJo 2 2E E (1-cosn丌) nrh=1,3,5 0,n=2,4,6, An=bn,9n=-90°

X 第 2 页 jh jh 例1-3 ( ) 2 0 2 2 ( )sin d T b x t n t t n T T  − =  2 , 1,3,5, π 0 , 2,4,6, E n n n   = =    = x(t)是奇的零均值周期信号→ an = 0 , n=0,1,2,3, … ( ) 2 0 0 4 sin d 2 T E n t t T =   2 0 0 0 2 1 cos | T E n t T n   − = (1 cos  )  n n E = − ( ) 2 0 0 4 ( )sin d T x t n t t T =   , 90o  = = − A b n n n 

例1-3解签 0 2E 傅里叶三角级数分件式 0n=2,4,6 x(=o>la, cos nOo! +b, sIn noo 2E sin ot+-sin 30t+-sin 5ot t 2E coS(oot )+co(3n~x、1 +=COS(501~2 )+ 谐波 只有奇次分量;直流、偶次正弦分量为零 随谐浪数增加幅值减小,相位恒等于-90°

X 第 3 页 jh jh 0 0 0 2 1 1 sin sin 3 sin 5 π 3 5 E    t t t   = + + +     傅里叶三角级数分解式： 例1-3 0 0 0 1 ( ) [ cos sin ] n n n x t a a n t b n t    = = + +  ＝0     = = = π   0 2,4,6 1,3,5 2 n n n E bn ➢只有奇次分量；直流、偶次正弦分量为零 ➢随谐波数增加幅值减小，相位恒等于－90° 基 频 谐波 0 0 0 2 1 1 cos( ) cos(3 ) cos(5 ) π 2 3 2 5 2 E t t t         = − + − + − +    

例1-3解签 幅频特性曲线:2E 幅频特性图 1/5 1/71/9 no 00300500700900 300507090 相频特性图 no 90

X 第 4 页 jh jh 幅频特性曲线：  2E 50 An 30 70 90 0 n0 1 1/3 1/5 1/7 1/9 幅频特性图 相频特性图 例1-3 n0 0 5 φn 30 0 7 0 0 9 -90°

周期方波信号的复指数级数展开式解答 5 复指数形式的傅氏级数展开式系数 X(noo E E dt e Snoot dt 02 2 2 令:t=-T则dt=-r X(no) 换序

X 第 5 页 jh jh 令： 则 周期方波信号的复指数级数展开式 复指数形式的傅氏级数展开式系数： 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 1 1 2 2 T jn t jn t T E E e dt e dt T T − −   −     = − +           t = − 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 1 ( ) 2 2 T jn jn t T E E X n e d e dt T T          − = +           ( ) ( ) 0 0 0 2 0 0 2 1 T jn t X n x t e dt T T   − − =  dt d = −  换序

第 接上rt 6 E E X(noo) dt+ Jn@ot dt 0 E dt e2 2 sinnott 2T 2(e 2T·0 E 21 iE cos no 2 cos no 0-1 2T0-n no iE coS nTT 00=2 2 E n=±1,±3

X 第 6 页 jh jh 0 2 0 0 0 0 2 cos 2 T E j n t T n   − = − ( ) 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 sin 2 2 T T E E jn t jn t e e dt j n tdt T T    − − − = − =   0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ( ) 2 2 T T E E jn t jn t X n e dt e dt T T        − = − +           接上 0 0   T = 2 (1 cos ) 2 jE n n   − = −  0 0 0 0 cos 1 2 jE T n n T     = −     τ→t , 1, 3, jE n n − = =  

接上 j X(0)=2n=±1,±3 1兀 2E A n=±1,±3 X(mO0)=e2,n=±1,+3,+5 E n≠0 X(noo)=12 Inl h=0 ≠0 0 n=0

X第7页 jh jh 接上 0 ( ) , 1, 3, jE X n n n   − = =   2 j j e  − − =2 0 ( ) , 1, 3, 5, 2 j An X n e n   − = =    0 , 0 ( ) 2 0 , 0 An E n X n n n    =  = =   , 0 2 0 , 0 n nn   −  =  = 2 , 1, 3, n E A n n = =  

指数形式频谱图 幅频 E 2E XInao/2 E 13 1/3 1/5 1/91/7 1/5 1/719 900-70-500-30 3005070090 相频 900-70-50-300-0 003005070n900nC

X 第 8 页 jh jh 指数形式频谱图  E 0 50 3 70 90 0 n0 0 −5 0 −90 − 70 −3 −0 ( ) 2 0 An X n = 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1 1/3 1/5 1/9 1/7 相频 幅频 n E 2E =  0 50 3 0 7 0 0 − 70 −50 −30 0 9 n0 −9 −0 2  − n

三角形式与指数形式频谱比较 幅频 2/3 2/52/72/9 能量守恒 030050100900 相频相同 IX(nao2 1/3 13 1/91/71/5 1/5 1/719 90-70-50-300-moO3005007090

X 第 9 页 jh jh 三角形式与指数形式频谱比较 幅频 E  50 An 30 70 90 0 n0 2 2/3 2/5 2/7 2/9  E 0 50 3 0 7 0 0 9 n0 0 0 − 70 −5 −30 −9 −0 ( ) 2 0 An X n = 1 1/3 1/5 1/7 1/9 1 1/3 1/5 1/9 1/7 能量守恒 相频相同