华侨大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿，机电版）例1-4 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数

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例1-4周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 x() E -7/2 T/2 /2Or/2 e, tk 脉宽为τ 脉冲高度为E 0,|t}> 周期为T 主要讨论:频谱结构频谱的特点 频带宽度,能量分布。 合u<>X

X 例1-4 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 主要讨论：频谱结构,频谱的特点 频带宽度，能量分布。 x(t) t O E -T T0 0 T0 -T0 /2 /2 − / 2  / 2 , | | 2 ( ) 0 , | | 2 E t x t t      =     0 E T 脉宽为 脉冲高度为 周期为

指教形式的谱無数 X(noo)=Tx(t)e inol dt, n=0, +1, +2, J2 Ee" anold e 1 ]@ot E inal 2E Sin na -2jsin nOok noT 0 SInx Sa(x) Sin na E 02)Er 实数 Sa nao 谱 no 合u<>X

X 0 0 2 j j 2 0 0 0 2 2 1 1 = e d e j n t n t E E t T T n        − − − − = −  0 0 j -j 2 2 0 0 e e j E n n n T        = −     0 0 0 sin 2 2 n E T n            = 指数形式的谱系数 0 0 0 2 j 0 0 2 1 ( ) ( )e d , 0, 1, 2, T n t X n x t t n T T   − − = =    0 0 0 2 sin 2 E n n T      =     0 2 sin 2 j n     =     实 数 0 谱 0 S 2 E a n T      =     sin ( ) x Sa x x =

考察S(x)=B,有以下特点: ISa(r) 又称取样函 数 X 3π √Sa(x)是连续偶函数 √周期衰减函数,周期=2π; √在X=0处取最大值:Sa(x)hm=lim √零点x=1丌,n=±1,+2, 合u<>X

X sin ( ) x Sa x x 考察 = 图形，有以下特点： max 0 sin ( ) | 1 lim x x Sa x → x = = ✓周期衰减函数，周期=2π； ✓零点： x = n,n = 1,2,  t Sa(t) 1 π 2π 3π O − π x Sa(x) 又称取样函 数 ✓Sa(x)是连续偶函数 ✓在x=0 处取最大值：

周期矩形脉冲信号频谱的特点 E er X Sal no p+1,±2 nO/2=k丌 nO0=k·2T/r △O=Cn=2丌/Tn 4兀/τ 4兀 Er/T 合u<>X

X (4)最大值 在n=0处 (5)零点： 周期矩形脉冲信号频谱的特点 (1)包络线形状：抽样函数sa (2)离散谱（谐波性） n只取整数 0 E T  / 0 n = k 2π/  2π 0 n k    / 2 = 5 图中T0 = ( 0 0 ) 0 Sa 2 E X n n T       =     n =   0, 1, 2, (7)带宽： 4π/只与 τ有关 (3)周期： 0 n = 4π/ (6)谱线间隔： 只与T0有关 0 0  = =   2 /T  ( ) F n1 O  X n( 0 ) 0 E T  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 -10 -9 -8 -7 -6 0 

信号周期T与脉冲宽度T对频谱的影响 演示 寅示 合u<>X

X 信号周期T0与脉冲宽度τ对频谱的影响 结论： ◆τ不变，T0↑时 ➢谱线密度增加，周期不变； ➢T0→∞时，谱线间距→0→连续谱 谱线高度→0（单矩形脉冲的频谱） ◆T0不变，τ↓时 ➢谱线密度不变，周期增大 ◆随谐波数增加，谱线高度逐渐减小 （收敛性）

关于频带宽度 ★把第一个墨点作为信号的频带宪度。记为 B 或B,=-,带宽与脉宽成反比 B.·z=2丌 X(noo) max 频带宽度 10 合u<>X

X 关于频带宽度 把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 或 ，带宽与脉宽成反比。    2π 1 B = Bf = 对于一般周期信号，将幅度下降为 的 频率区间定义为频带宽度。 ( ) max 0 10 1 X n B 2   =   频域带宽与时域带宽乘积为常数