同步练习试题答案与解题提示 第一章函数答案与提示 一、填空 1、w(x)2、sinx 3-,-21u[2,14-引2+) 5、x6 arcsin(-x2）7、-e-r+2e-）8、2l-x2） x-1 -8≤x0,即：0≤u≤3a .(1人0≤x+a≤3a→-a≤x≤2a (210≤2x-3a≤3a→3a≤x≤3a ÷pe-fa2ah[a]-[3aa 2、解：令u=x+1,.x=u-1 :p回=-y0sw-1s1 2(u-1)10令u=f) de-阳s8oooe0 此时：fx)=-x:f)>0台x<0,此时：f)=x2
同步练习试题答案与解题提示 第一章 函数答案与提示 一、填空 １、 (x) ２、 sin x ３［－３，－２］ ［２，4］ ４、 − + x x 1 2 3 2 ５、 x ６ ( ) 2 arcsin 1− x ７、 ( ) 1 1 2 − − − + x x e e ８、 ( ) 2 2 1− x ９、 ( ) − − − = − 2 3 11 log 1 3 8 1 3 1 3 1 x x x x x x f x １０、 y lg u,u cos v, v w,w arcsin x 3 = = = = 二、选择 １、Ａ ２、Ｃ ３、Ａ ４、Ｄ ５、Ｄ ６、Ｂ ７、Ａ ８、Ｂ 三、计算 １、解： y = f (u) 的定义域为 0,3a，a 0 ，即： 0 u 3a （１）、 0 x + a 3a −a x 2a （２）、 x a a a x 3a 2 3 0 2 − 3 3 Ｄ ( ) = g = − a a a a a,2a 2 3 ,3 2 3 ,2 ２、解：令 u = x +1， x = u −1 ( ) ( ) ( ) − − − − = 2 1 1 1 2 1 0 1 1 2 u u u u u ， ( ) ( ) ( ) − − = 2 1 2 3 1 1 2 2 x x x x x (x) 的定义域为 1,2(2,3 = 1,3 ３、解： ( ) + − = 2 0 2 0 u u u u g u 令 u = f (x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + − = 2 0 2 0 f x f x f x f x g f x ， f (x) 0 x 0 此时： f (x) = −x ； f (x) 0 x 0 ，此时： ( ) 2 f x = x
e-径a8 4:e-阳0自手阳是等ag有小-四 当x>0时，-x0,即：)=-p(-x),x0)代入， 当p=500元时，Q=2000,得Q=a-500b=2000(1) 当p=450时，Q=2400,得Q=a-450b=2400(2) 由(1)(2)得a=6000,b=8 ∴.过且过所求周求函数为：2=6000-8p 3、解：设每天生产该商品x件，则每天成本为C(x)=15x+2000(元)， 每天收入R(x)=20x,为了每天不亏本，则R()2C(x),即：20x≥15x+2000 得x≥400（件），即：若要不亏本，则每天至少应生产该商品400件 五起换成上代入+目-至（1 (2) H林自)2得方号-ka
( ) + + = 2 0 2 0 2 x x x x g f x ４、解：设 ( ) ( ) ( ) = 0 0 x x x x f x ，由于 f (x) 是奇函数， 对任意 x 有 f (− x) = − f (x) 当 x 0 时， − x 0， f (− x) =(− x) ，而 f (x) =(x) (− x) = −(x) ， x 0 ，即： (x) = −(− x)， x 0 在（－ a ，０）上， f (x) = −(− x) 四、应用题 １、解：设购买 量 为 x 单位，则成本函数 C(x) = 60x ，收益函数 ( ) + = 95 1000 200 100 200 x x x x R x 利润函数 ( ) ( ) ( ) + = − = 35 1000 200 40 200 x x x x L x R x C x ２、解：设电视机的市场需求量为Ｑ台，单位价格为 p 元，线性函数为： Ｑ＝ a − bp ， (a,b 0) 代入， 当 p ＝５００元时，Ｑ＝２０００，得Ｑ＝ a −500b = 2000 （１） 当 p ＝４５０时，Ｑ＝２４００，得 Ｑ＝ a − 450b = 2400 （２） 由（１）（２）得 a = 6000，b = 8 过且过所求需求函数为： Q = 6000 − 8p ３、解：设每天生产该商品 x 件，则每天成本为 C(x) =15x + 2000 （元）， 每天收入 R(x) = 20x ，为了每天不亏本，则 R(x) C(x) ，即： 20x 15x + 2000 得 x 400 （件），即：若要不亏本，则每天至少应生产该商品４００件。 五、把 x 换成 x 1 ，代入 ( ) x c x af x bf = + 1 （１） 得 bf (x) cx x af + = 1 （２） a b ，由（１）（２）得 ( ) ( ) 1 2 2 bcx x ac a b f x − − =
&-货+aa万货-a)-0 第二章极限与连续答案与提示 一、填空 1、12、g314e5、-16、h27a=4,b=5 8、k=39、e210、x,=1,x2=2x=1f=-2 二、选择 1、D2、A3、B4、C5、D6、D7、C8、A9、C10、D 三、计算 1、解：：5”<1”+2”+3”+4"+5”<55 5<(+2”+3”+4”+5”)<55 而m55=5m(+2”+3”+4”+5”)=5 2原式xm11 01=0 √F-2 原式典号只方母F+2之 11 x-2 原就鸟“-细=5-3=2 5、f(x)=(1- 6解：0-0期+川®+元花 2 x2 f0+0)=m1M1+2x)=m21+2x=2 .f(0+0)≠f0-0) ·.f(x)在x=0处间断 不品欢阳一吗产 x-sinx
( ) bcx f (x) x ac a b bcx x ac a b f x − = − − + = − − = − ( ) 1 ( ) 1 2 2 2 2 第二章 极限与连续答案与提示 一、填空 1、1 2、 6 3、1 4、 2 e 5、-1 6、 ln 2 2 1 7、a = 4，b = 5 8、 k = 3 9、 −2 e 10、 x1 =1, x2 = 2; x =1; f (1) = −2 二、选择 1、D 2、A 3、B 4、C 5、D 6、D 7、C 8、A 9、C 10、 D 三、计算 1、解： n n n n n n n 5 1 + 2 + 3 + 4 + 5 5 • 5 n n n n n n n 1 1 5 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) 5• 5 而 n→ lim 5 5 5 1 • = n n→ lim (1 2 3 4 5 ) 5 1 + + + + = n n n n n n 2、原式= 0 lim x→ 0 1 0 sin 1 1 sin = • = x x x 3、原式= → + 2 lim x 4 2 2 − − x x + → + 2 lim x 2 1 x + = + 2 1 → + 2 lim x 2 1 4( 2 2 2 = − + − x x x 4、原式= 0 lim x→ x x sin arcsin 5 - 0 lim x→ 5 3 2 sin sin 3 = − = x x 5、 2 ) 2 3 ( ) (1 + + = − x x f x x→ lim 2 ) 2 3 ( ) lim (1 + → + = − x x x f x = x→ lim 3 3 3 2 ) 2 3 (1 − − − + = + − + e x x 6、解： 1 1 1 2 lim 1 1 (0 0) lim 0 2 2 2 2 2 0 = + + − = + − − − = → − → − x x x x x f x x ln(1 2 ) lim 2 ln(1 2 ) 2 1 (0 0) lim 2 1 0 0 + = + = + = → + → + x x x x x x f f (0 + 0) f (0 − 0) f (x) 在 x = 0 处间断 7、解：原式= 0 lim x→ = − − − x x e e x x x sin 1 sin sin 0 lim x→ 1 sin sin sin = − − x x x x e x
:当x→0时，e-r-1nx-sinx 8、解：原式=nh"+2-mn1+3=m1+子=2 四、证明 1、证：：函数f(x)=xe-x2-1在[0,1上连续，且f(0)=-1,f)=e-2 f0)f)0 由零点定理知，至少存在一点5∈(a,b),使F()=0, 即f5)-5=0→f5)=5 第三章导数与微分答案与提示 一、填空 小分200：3子：49：或增加2，%：60：不g8受 9 2 dx 1 xv+x 2=ke西 二、选择 1、C2、A3、D4、B5、D6、A7、D8、D9、A10、B 三、计算 2i-+-京5c52i-写e 解：y=-+-2 1 2、解：y=em6 1* oarctan 1+2F “1+(2+x+匠2x0+x)2Fx+厅 dy ydx 3解：扩。++ee++e). e (e'+ +e)+e西
当 x →0 时， 1 sin − x− x e ∽ x − sin x 8、解：原式= n→ lim n n n 2 ln + = n→ lim ) 2 ln(1 n n + = n→ lim ) 2 2 ln(1+ = n n 四、证明 1、证： 函数 ( ) 1 2 f x = xe − x − x 在 0,1 上连续，且 f (0) = −1， f (1) = e − 2 f (0) f (1) 0 ( ) 1 2 f x = xe − x − x 在（0，1）至少存在一点 ， 使 f ( ) = 0 ，即 y = f (x) 在 x = 0, x = 1 间至少与 x 轴有一个交点 2、证：构造辅助函数 F(x) = f (x) − x f (x) 在 a,b 上连续， F(x) 在 a,b 也连续，且 f (a) − a = F(a) 0, f (b) − b = F(b) 0 由零点定理知，至少存在一点 (a,b) ，使 F( ) = 0 ， 即 f ( ) − = 0 f ( ) = 第三章 导数与微分答案与提示 一、填空 1、 2 1 ； 2、100！； 3、 2 1 e ；4、-3 ； 5、增加 2 .5% ；6 、0； 7、 9 8! x ； 8、 2 3 9、 2 1 2 x + x ； 10、 x(1 ln y) dx + ； 11、 x dy k e d x 2 2 2 2 1 = − 二、选择 1、C 2、A 3、D 4、B 5、D 6、A 7、D 8、D 9、A 10、B 三、计算 1、解： 5 sec 5 1 2 1 5 sec 5 1 1 1 2 1 ( 2 ) 1 2 2 2 2 2 ' 2 x x x x x x x y x − = − − − + − • − = − + 5 tan 5 sec 25 2 1 2 2 2 " x x x x y − − = − 2 、解： x x x x x x e x x x x x y e x x + + + + = + + + + = 2 . 1 2 2 (1 ) 2 1 1 2 1 . 1 ( ) 1 arctan 2 ' arctan dy y dx ' = 3、解： x x x x x e e e e y 2 ' 2 ' ( 1 ) 1 1 + + + + = = x x x x x x x e e e e e e e 2 2 2 2 1 ) 1 ( 1 1 + = + + + +
e* %+e方 4、解：hy=xh名+ahb-hx)+bhx-ha) y-哈r9r百r。-a:9 a x 5、解：令u=(,=x,则y=+ 其中hu=xh上=-xhx 名=h40=0+h到 hr-thz v1-hnx Y=xl-hx=(-hx x2 ((+)+d- 6、解：y+y+2yey-1=0 切线：y=x-1 12x2 、解：x≠0f八)=acan京+7 xarctan =00=但1-0-号 f(x)= x=0 8、解：要使f(x)有连续导数，即在x=1处要可导，则x=1处连续
2 1 1 0 2 (0) = + = x= x x e e y 4、解： ln ln a(ln b ln x) b(ln x ln a) a b y = x + − + − x b x a a b y y = ln − + 1 ( ) ( ) ( ) (ln ) x a b a b a x x b a b y x a b − = − 5、解：令 x x v x x u 1 ) , 1 = ( = ，则 y = u + v， 其中 x x x u x ln 1 ln = ln = − = −(ln +1) x u u ) (1 ln ) 1 ( x x u x = − + x x v ln 1 ln = 2 1 ln x x v v − = 2 1 2 1 (1 ln ) 1 ln − = − − = x x x x x x v x 2 1 ) (1 ln ) (1 ln ) 1 ( − = − + + − x x x x x x y 6、解： 2 1 0 2 y + xy + ye • y − = y 1 2 1 0 2 1 0 1 = + − = = = = = = y x y x yy e y k y y x 切线： y = x −1 7、解： 4 2 2 1 1 2 0, ( ) arctan x x x x f x + = − 0 2 0 1 arctan 0, (0) lim 2 = − − = = → x x x x f x o = + − = 0 2 0 1 1 2 arctan ( ) 4 2 2 x x x x x f x 8、解：要使 f (x) 有连续导数，即在 x =1 处要可导，则 x =1 处连续
·mfx)=mfd)=f0)→a+b=1(1) 又有当x>时，=(@+b=a+ 当x0，表朝反，应理解为-6QP a则海=Q+Pg=Q0+后Q)=Q0-)
lim ( ) lim ( ) (1) 1 1 1 = = + = → − → + f x f x f a b x x （1） 又有当 x 1 时， x b f x ax b x a 2 ( ) = ( + ) = + 当 x 1 时， f (x) = 2x 若 f (x) 导函数在定义域内连续， 则有： 2 ) 2 (1 0) lim 2 2 (1 0) lim ( 1 1 b a x b f x f a x x − = = = + = + = + → − → + 2 2 + = b a （2） 由（1）（2）联立求解： a = 3,b = −2 即当 a = 3,b = −2 时， f (x) 有连续可导函数。 9、解： f (x) 可导， lim ( ) (1) 1 f x f x = → 0 lim x→ [ f (1− x) + 4] = 0 0 lim x→ f (1− x) = f (1) = −4 曲线 y = f (x) 在 (1,−4) 处切线方程为： y + 4 = 2(x −1) 即： y − 2x + 6 = 0 四、应用 1、解：由已知：Q=800-10p p=80-0.1Q 利润函数 L(Q)=R(Q)-C(Q)=(80-0.1Q)Q-(5000+20Q)=60Q-0.1Q 2 -5000 (1) 边际利润函数： L(Q) = 60 − 0.2Q (2) L(150) = 30, L(400) = −20 意义：当销售量在 150 时，扩大销售一个单位产品，利润将增加 30 单位； 当销售量在 400 时，扩大销售一个单位产品，利润将减少 20 单位。 2、解：（1）由需求函数 Q=100-5p 知， Q( p) = −5 0 ，从而知需求对价格弹性应为负数 而题设 Ed 0 ，表明 Ed 应理解为： Q (P) Q P Ed = 故 p p Q Q P Ed − = = 20 （2）则 R=PQ 得 (1 ) (1 ) Q Q Ed Q P Q PQ Q dP dR = + = + = −
由6产202，.得时0 当I01.手是g<0 故当10<p<20时，降低价格反而使收益增加。 第四章中值定理与导数的应用答案与提示 一、填空 12:2士2：a=-6- 4、2:5、(（-o,+o):1-ln2:-1n2: 6、x=0,x2=3,x3=5108:0:7、a=1,b=-4:8、y=e 二、选择 1、D、2、B3、D4、D5、A6、D7、B8、C9、B10、C 三、计算 2 默电号 2解威如=细话=马古 -x2 :底妈回 3x2 1-cos2 x .con x 职一学房点 e 6解，原式ee点的 2x “m+:m已=0 原式=e°=1
由 1 20 = − = p p Ed ，得 p=10 当 10 p 20 时， Ed 1 ，于是 0 dp dR 故当 10 p 20 时，降低价格反而使收益增加。 第四章 中值定理与导数的应用答案与提示 一、填空 1、2 ； 2、 2 ； 3、 2 9 , 2 3 a = − b = ； 4、2； 5、(−,+) ；1-ln2 ; -1-ln2； 6、 x1 = 0 ， 3 x2 = ， 5; x3 = 108；0； 7、a = 1,b = −4 ； 8、 2 y = e 二、选择 1、D 、2、B 3、D 4、D 5、A 6、D 7、B 8、C 9、B 10、C 三、计算 1、解：原式= 0 lim x→ 3 2 3cos3 1 2 2 = + x x 2、解：原式= 0 lim x→ = − 3 2 arctan x x x 0 lim x→ = − + 2 2 6 1 1 1 x x 0 lim x→ 6 1 6 (1 ) 2 2 2 = − + − x x x 3、解：原式= 0 lim x→ x x x x tan tan 2 − = 0 lim x→ 3 tan x x − x = 0 lim x→ 2 2 3 sec 1 x x − = 0 lim x→ x x x 2 2 2 3 cos 1− cos = 0 lim x→ 6 1 3 2 1 2 2 = x x 4、原式= x→− lim x x 1 arctan 2 + = x→− lim 2 2 1 1 1 x x − + = x→− lim 1 1 2 2 = − + − x x 5、解：原式= 0 lim x→ = + x x e x 1 1 ] (1 ) [ x x x z e ln(1 ) 1 1 lim 0 + − → = 2 0 ln(1 ) lim x x x x e + − → = x x x e 2 1 1 1 lim 0 − + → = 1 2(1 ) 1 lim 0 = − + − x→ x e 6、解：原式= ln(1 ) 1 lim 2 x x x e + →− = x x x e ln(1 ) lim 2 + →− x→− lim x ln(1 x ) 2 + = x→− lim 0 1 1 2 2 = + x x 原式= 1 0 e =
四、应用 1、解：(1)x=-1,x=1,x=3:(2)(-0,-)和(3，+∞)：(3)[-1,3]：(4)8：(5)4： (6)(0,1)和(2，+)：(7)(-0,0)和(1,2)：(8)(0,7)，(1,6)，(2,5) 2、解：(1)税后利润为：L(Q)=QP-3Q-1-aQ 又由Q=35-5p得P=7-0.20 .L(Q)=Q7-0.2Q)-30-1-aQ =0.2Q2+(4-a)0-1 L'(@)=-0.40+4-a令L'(Q)=0得驻点 L"(g)=-0.40<0 ∴Q=10-2.5a(吨)时，获利润最大。 (2)征税总额为：T=aQ,而Q是厂家获利最大时的销售量，因此，此处Q=10-2.5a T=10a-2.5a2T'=10-5a 令T'=0得驻点a=2 T"=-5<0 ·当a=2万元时，征收税额最大。 3、解：f0)=1 c=1 f"(x)=3x2+2am+b f(0)=0 → b=0 f"(x)=6x+2a f"0)=0 a=-3 令f"(x)=3x2-6x=3x(x-2)=0 →x=0,x=2 令f"(x)=6x-6=6(x-1)=0 →x=1 f)=x3-3x2+1 (-0,0) 0 (0,1) (1,2) 2 (2,+) 0 0 + f(x) f"(x) f(x) 上升下凹 局大 下降下凹 下降上四 局 上升上四
四、应用 1、解：（1） x = −1, x = 1, x = 3 ；（2） (−,−1) 和 (3,+) ；（3）[-1，3]；（4）8；（5）4； （6）（0，1）和 (2,+) ；（7） (−,0) 和（1，2）；（8）（0，7），（1，6），（2，5） 2、解：（1）税后利润为： L(Q) = QP − 3Q −1− aQ 又由 Q = 35 − 5p 得 P = 7 − 0.2Q L(Q) = Q(7 − 0.2Q)− 3Q −1− aQ = 0.2 (4 ) 1 2 Q + − a Q − L(Q) = −0.4Q + 4 − a 令 L(Q) = 0 得驻点 L(Q) = −0.4Q 0 Q = 10 − 2.5a （吨）时，获利润最大。 （2）征税总额为： T = aQ ，而 Q 是厂家获利最大时的销售量，因此，此处 Q = 10 − 2.5a 2 T = 10a − 2.5a T =10−5a 令 T = 0 得驻点 a = 2 T = −5 0 当 a = 2 万元时，征收税额最大。 3、解： f (0) = 1 c = 1 f (x) = 3x + 2ax + b 2 f (0) = 0 b = 0 f (x) = 6x + 2a f (1) = 0 a = −3 令 ( ) 3 6 3 ( 2) 0 2 f x = x − x = x x − = x = 0, x = 2 令 f (x) = 6x − 6 = 6(x −1) = 0 x =1 ( ) 3 1 3 2 f x = x − x + x (−,0) 0 （0，1） 1 （1，2） 2 (2,+) f (x) + 0 - - 0 + f (x) - - 0 + + f (x) 上升下凹 局大 下降下凹 拐 下降上凹 局 小 上升上凹
:fn2)=-3 五、证明 1、证明：设)=n登-产则了)=os受-月 /)=-m50, 由零值定理，存在点1∈(5)，使得F()=0,又由于F(O)=0,对F(x)在0，川 上应用罗尔定理，存在点E∈(0，)c(0,1)使得F'()=0,即f'(5)=1 第五章不定积分答案与提示 一、填空 1中：2，得：4nmg+e:sd+e 2 6、2nx-h2x+c: 9、2tanx+c:10、x+arctanx+c: 1l、x-ne2+)+g 二、选择 1、A2、B3、D4、B5、B6、C7、C 三、计算 1小品原若-小g+女mx+ 2解原tmn本=1+ 11 hsin刘-nll+sin+c
fmin (2) = −3 五、证明 1、证明：设 x x f x = − 2 ( ) sin 则 1 2 cos 2 1 ( ) = − x f x 0,(0 ) 2 sin 4 1 ( ) = − x x f x 函数 f (x) 对应曲线在 (0, ) 内向上凸 又由于 f (0) = f ( ) = 0 当 0 x 时， f (x) >0 即： x x 2 sin 2、证明：作辅助函数 F(x) = f (x) − x 显然 F(x) 在[ 2 1 ，1]上连续，在（ 2 1 ，1）内可得，且 0 2 1 ) 2 1 F(1) = −1 0, F( = ， 由零值定理，存在点 ,1) 2 1 ( ，使得 F() = 0 ，又由于 F(0) = 0 ，对 F(x) 在 [0,] 上应用罗尔定理，存在点 (0,) (0,1) 使得 F( ) = 0 ，即 f ( ) = 1 第五章 不定积分答案与提示 一、填空 1、 2 1 x − ； 2、 x e 2 ； 3、 2 1 ( ) x f x + ； 4、 c x + 2 tan arctan 2 1 ； 5、e c x e + ； 6、 x − x + c 2 2ln ln ； 7、 c x x − + ln ； 8、 − +1 x x e ； 9、 tan x + c 2 1 ； 10、 x + arctan x + c 3 ； 11、 x e c x − ln( +1) + 二、选择 1、A 2、B 3、D 4、B 5、B 6、C 7、C 三、计算 1、解：原式= x c x dx x x dx x x x x = − + + + = + + + + arctan 1 ) 1 1 1 ( (1 ) 1 2 2 2 2 2 2 2、解：原式= dx x x dx x x x ) 1 sin 1 sin 1 ( sin (1 sin ) cos + = − + = ln sin x − ln 1+ sin x + c
3解令+e1-)k山 照je-1rc-rhg-+e -g(+e"-++c 解：展武中x+-h地 =-[[n(x+1)-Inx)dx[In(x+1)-Inx] -[h(x+l)-h xP+c =-2h21+3)+c 5、解：原式=[n(sinx).sec2xdk=[h(sinx)d tanx mkm小ma =tan xIn(sin x)-x+c 6、解：令√=c0s1x=c0s21 dx=-2costsin tdt 原式-2可品，os1smd=-2dm1=-2smd-1sm) =-2(cost+tsin ()+c =-2(+-x.arccosx)+c 7、解：令1+x=tdk=d 原由=小-h =-+x)2+与0+3+c +2+0-+c 2 民原
= c x x + 1 + sin sin ln 3、解：令 e t x + = 2 1 ln( 1) 2 1 2 x = t − dt t t dx 1 2 − = 原式= − − dt t t t t 1 ( 1) . . 2 2 2 = (t − t )dt 4 2 = t − t + c 5 3 3 1 5 1 = e e c x x + − + + 2 3 2 2 5 2 (1 ) 3 1 (1 ) 5 1 4、解：原式= x x dx x x )[ln( 1) ln ] 1 1 1 ( + − + − = − [ln( x +1) − ln x)dx[ln( x +1) − ln x] = − x + − x + c 2 [ln( 1) ln ] 2 1 = c x − + ) + 1 ln (1 2 1 2 5、解：原式= ln(sin x).sec xdx = ln(sin x)d tan x 2 = − dx x x x x x sin cos tan ln(sin ) tan . = tan x ln(sin x) − x + c 6、解：令 x = cost x t 2 = cos dx = −2costsin tdt 原式= − t tdt = t t .cos .sin sin 2 ( ) − 2 td sin t = −2 sin tdt − tsin t = − 2(cost + tsin t) + c = − 2( x + 1− x.arccos x ) + c 7、解：令 1+ x = t dx = dt 原式= = − − dt t t dt t t ) 1 1 ( 1 4 3 4 = − t + t + c −2 −3 3 1 2 1 = − + x + + x + c −2 −3 (1 ) 3 1 (1 ) 2 1 = x c x + − + + [ln( 1) 1] 2 1 2 2 8、解：原式= dx x x x − + − + 2 5 2 2 2 2