《经济数学基础》课程PPT教学课件（概率统计）第四章 随机变量的数字特征 第3节 几种重要随机变量的数学期望及方差

第四章 随机变量的数字特征 §3.几种重要随机变量的数学期望及方差 1.两点分布 X 0 Pk1-p p EX=p,DX =EX2-(EX)2=p-p2=pq 2.二项分布 方法1： P=k}Chpkq"-k,k =0.1.n n! X=2CDg=2mg k=0 -0m-1-k-1mpg p (n-1)川 合返回主目录

§3.几种重要随机变量的数学期望及方差 EX=p，DX = EX − EX = p − p = pq 2 2 2 ( ) 。 P X k C p q k n k k n k n { = } = , = 0,1,, − 。 方法1：  = − = − − =  =  n k k n k n k k k n k n p q k n k n EX k C p q k 0 0 !( )! ! = − − − − − − − − − = n k k n k p q k n k n np 1 1 1 ( 1) ( 1)!( 1 ( 1))! ( 1)! 第四章 随机变量的数字特征 p p p X k 1− 0 1 2. 二项分布 1.两点分布 返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 n-1 §3几种期望与方差 X=∑Cp-1g”1-=p∑ Ch-p'q"-1-i k= i=0 =p(p+q)”-1=p n! k=0 k=0 =p∑k n k=1 -0h-gt =p>(k-1) nl k=1 (n-2)川 k-110n-kpg n! =nn-0p2∑ k-20a-2-k-2加pg23+m =n(n-1)p2(p+q)"-2+np=n2p2-np2+np DX EX2-(EX)2=n2p2-n p2+np-n2p2 np(1-p)npq

 = − = − − =  =  n k k n k n k k k n k n p q k n k n EX k C p q k 0 2 0 2 2 !( )! ! DX = EX − (EX ) = n p − n p + n p − n p = n p(1− p) = npq 2 2 2 2 2 2 2   − = − − − = − − − − − = − = 1 0 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 n i i i n i n n k k k n k EX n p Cn p q n p C p q np p q np n = + = −1 ( ) = − − − − = n k k n k p q k n k n p k 1 1 ( 1)!( )! !  = − − = − − − − + − − = − n k k n k n k k n k p q k n k n p q p k n k n p k 1 1 1 1 ( 1)!( )! ! ( 1)!( )! ! ( 1) p q np k n k n n n p n k k n k + − − − − − = − = − − − − 2 2 2 2 ( 2) ( 2)!( 2 ( 2))! ( 2)! ( 1) n n p p q n p n p n p n p n = − + + = − + 2 −2 2 2 2 ( 1) ( ) §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征

第四章 随机变量的数字特征 方法2： §3几种期望与方差 X服从(0-1)分布，P{X,=0}=q,P{X=1}=p,i=1,2,.,n 且X,.,Xn独立，令X=X+.+Xn,则X的可能 取值为0,1，.n, P{X=k}=Chpq”k,k=0,.,n EX=∑EX,=p,DX=∑DY,=pq, i=1 3.泊松分布 设X服从参数为泊松分布， 其分布律为Px=k= e,k=0,1,. k=0 (k-1川 =Ne-hei =2 合】返回主目录

且 X Xn , , 1  独立，令X = X1 ++ Xn ，则 X 的可能 取值为 0,1,.n， Xi 服从（0-1）分布，P{Xi = 0} = q,P{Xi = 1} = p,i = 1,2,,n 方法2： P X k C p q k n k k n k n { = } = , = 0,  , − EX EX np n i =  i = =1 ， , 1 DX DX npq n i =  i = = 3．泊松分布 设 X 服从参数为泊松分布， 其分布律为  − = = e k P X k k ! { } ，k=0,1,.          = = − = = −  = − −  = −   e e k e e k EX k k k k k 1 1 0 ! ( 1)! §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 00 EX2= 一之，2 00 §3几种期望与方差 k=0 (k-1川 k=1 k-) k=1 (k-1) k-e +ee2=22+ 2(k-2)川 DX=EX2-(EX)2=2+1-2=1 4.均匀分布 1/b-a),a<x<b f(x)= 0,其它 Ex=∫x=r 1dx a+b b-a 2 [合】返回主目录

   −   = 0,其它 1/( ), ( ) b a a x b f x 。 2 1 ( ) a b dx b a EX xf x dx x b a + = − = =    −      = −  = −  = −  = − − + − = − − = = 1 1 0 1 2 2 ( 1)! ( 1)! ( 1) ! ( 1)! k k k k k k k k e k e k k e k e k k EX k                 + = + − = −  = − −  2 2 2 2 ( 2)! e e k e k k = − =  +  −  =  2 2 2 2 DX EX (EX) §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 4.均匀分布 返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §3几种期望与方差 pr=Er-(xy=jb'a本-(2生6 12 5.正态分布X~N(4,σ2) Er-x (x-)2 2 _(x-4)2 DX-EX- dk,(x-=t） N2πo e tde 2 V2π -00 12 01 =te2o+ e 2dt=o2 √2 合返回主目录 2元

5．正态分布 ~ ( , ) 2 X N   ( ) ,( ) 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 2 2 t x EX x e dx t e dt x t = − = = +    − −  − − −         12 ( ) ) 2 ( 1 ( ) 2 2 2 2 a b 2 b a dx b a DX EX EX x b a − = + − − = − =       = + =    − −  − − t e dt e dt t t 2 2 2 2 2 2 ,( ) 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 t x DX E X x e d x x = − = − = −   − − −            − −  − −  − − = = = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t t e d t t e d t tde t       2 2 2 2 2 2 2 2 | 2      = − + =   − −  − − t e e dt t t §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §3几种期望与方差 PIX-uKo}=P{u-o≤X≤u+o} =m4+g马-a“-g名=0)-=20-1=066 P{IX-uK2o}=P{u-2o≤X≤4+2o} =2Φ(2)-1=0.9544 P{IX-u3o}=P{u-3o≤X≤4+3o} =2Φ(3)-1=0.9974 因此，对于正态随机变量来说，它的值落在区间 [4-3o,4+3o]内几乎是肯定的。 在上一节用切比晓夫不等式估计概率有： P{|X-u<3o}≥0.8889 [合】返回主目录

P{ − 2  X   + 2} P{ −3  X   +3} 因此，对于正态随机变量来说，它的值落在区间 [ − 3, + 3 ]内几乎是肯定的。 P{| X −  | } = P{ −  X   +} ( ) ( )         − − −  + − =  = (1) −(−1) = 2(1) −1= 0.6826 = 2(2) −1= 0.9544 = 2(3) −1= 0.9974 §3 几种期望与方差 第四章 随机变量的数字特征 P{| X −  | 2} = P{| X −  | 3} = P{| X −  | 3}  0.8889 在上一节用切比晓夫不等式估计概率有： 返回主目录