第二部分 概率与数理统计 第一章 随机事件与概率 基本要求 1.理解随机事件、随机事件的频数、频率、概率等概念。 2。掌握随机事件的运算，熟练掌握概率的基本性质、概率的乘法公式及条件概率 3.掌握全概公式、贝叶斯公式，并会解有关的问题。 4.掌握求古典型概率的条件，会计算较简单的古典型概率。 同步练习 一、填空 1、设A、B、C为三个事件，则至少发生一个可以表示为_ ,至多两个发生可 表示为 2、设随机事件A、B满足关系BCA,则P(A+B)= P(AB)= 3、设A、B为两个事件，P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(AB)=03,则P(A-B)= 若BCA,则P(A-B)=· 4、A、B是两个随机事件，且P(A)=0.4,P(A+B)=0.7,若A、B互不相容，则 P(B)=:若A与B相互独立，则P(B)=一。 5、已知P()=0.4,P(E)=0.6,P(B)=0.5,则P(AB)=,PA+B)= 6、己知P(4A0=0.7,P(A-B)=0.3,则P(AB)= 7、设一次试验中，事件A发生的概率为P,又若已知三次独立试验中A至少出现一次的概 8、从数1、2、3、4中任取一个数，记为X,再从1,2.X中任取一个数，记为Y,则 PY=2}= 1111 9、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为亏子石，则密码能译出 的概率是 10、一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第1个零件是不合格品的概率为 P=1中=12,3)，则3个零件中恰有2个合格的概率为
第二部分 概率与数理统计 第一章 随机事件与概率 基本要求 1. 理解随机事件、随机事件的频数、频率、概率等概念。 2. 掌握随机事件的运算，熟练掌握概率的基本性质、概率的乘法公式及条件概率。 3. 掌握全概公式、贝叶斯公式，并会解有关的问题。 4. 掌握求古典型概率的条件，会计算较简单的古典型概率。 同步练习 一、填空 1、设 A、B、C 为三个事件，则至少发生一个可以表示为 ，至多两个发生可 表示为 。 2、设随机事件 A、B 满足关系 B A ，则 P(A + B) = ，P(AB) = 。 3、设 A、B 为两个事件，P（A）=0 .5, P(B) = 0.4, P(AB) = 0.3 ，则 P(A − B) = ， 若 B A ，则 P(A − B) = _。 4、A、B 是两个随机事件，且 P(A) = 0.4 ， P(A + B) = 0.7, 若 A、B 互不相容，则 P(B) = _ ；若 A 与 B 相互独立，则 P(B) = _ 。 5、已知 P(A) = 0.4,P(B A) = 0.6,P(B) = 0.5 ，则 P(AB) = ， P(A + B) = 。 6、已知 P(A) = 0.7,P(A − B）= 0.3 ，则 P AB ( ) = 。 7、设一次试验中，事件 A 发生的概率为 P，又若已知三次独立试验中 A 至少出现一次的概 率为 64 37 ，则 P= 。 8、从数 1、2、3、4 中任取一个数，记为 X，再从 1,2X 中任取一个数，记为 Y，则 P{Y=2}= 。 9、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 6 1 , 3 1 , 4 1 , 5 1 ，则密码能译出 的概率是 。 10、一实习生用一台机器接连独立地制造 3 个同种零件，第 i 个零件是不合格品的概率为 ( 1,2,3,) 1 1 = + = i i Pi ，则 3 个零件中恰有 2 个合格的概率为
二、单项选择 1、对任何两个随机事件都有() A、(A+B)-B=A B、(A+B)-BcA C、(A-B)+B=A D、(A-B)+BCA 2、事件A与B互为对立事件的充分条件是() A、AB=DB、AB=DC、AB=D且AB=DD、AB=D 3、假设事件A和B满足P(E4)=1,则(） AA是必然事件B、P(BA)=0C、ABD、AcB 4、对于任意两事件A和B,有P(A-B)=( A、P(A)-P(B) B、P(A)-P(B)+P(AB) C、P(A)-P(AB) D、P(A)+P(B)-P(AB) 5、对于任意两事件A和B,与A+B=B不等价的是( A、ACBB、BCAC、AB=DD、AB=Φ 6、对于任意两事件A和B() A、若AB，则A与B二定立。B、若AB≠，则A与B有可能独立 C、若AB=中，则A与B一定独立。D、若AB=中，则A与B一定不独立。 7、3个人被等可能地分配到4个房间的任一间去，则某一指定的房间中恰有2人的概率为 ()。 3 5 8、若两个事件A和B同时出现的概率为P(AB)=0,则( A、AB是不可能事件B、A与B为互斥事件C、A与B为对立事件D、AB不一 定是不可能事件 9、袋中有6个白球，4个黑球，现不放回抽取两次，则第二次取得白球的概率为() 10、设A、B互不相容，且P(4)>0,P(B)>0,则下列选项正确的是( A、PBA)>0B、P(AB)=PAC、P(A|B)=OD、P(AB)=P(A)PB) 三、计算 1、一袋中有10个球，其中3个白球，7个红球，现采用不放回方式从中取球两次，每次1 个。求：(1)第2次才取到白球的概率。(2)第二次取到白球的概率。 2、10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，己知所取两件中有一件是不合格品，求另 一件也是不合格品的概率
二、单项选择 1、对任何两个随机事件都有（ ） A、 (A + B) − B = A B、(A + B) − B A C、 (A − B) + B = A D、(A − B) + B A 2、事件 A 与 B 互为对立事件的充分条件是（ ） A、 AB = Ф B、 AB =Ф C、 AB = Ф且 AB =Ф D、 AB =Ф 3、假设事件 A 和 B 满足 P(B A) =1 ，则（ ） A、A 是必然事件 B、 P(B A) = 0 C、 A B D、 A B 4、对于任意两事件 A 和 B，有 P(A − B) =（ ） A、 P(A) − P(B) B、 P(A) − P(B) + P(AB) C、 P(A) − P(AB) D、 P(A) + P(B) − P(AB) 5、对于任意两事件 A 和 B，与 A+ B = B 不等价的是（ ） A、 A B B、 B A C、 AB =Ф D、 AB =Ф 6、对于任意两事件 A 和 B（ ） A、若 AB Ф，则 A 与 B 一定独立。 B、若 AB Ф，则 A 与 B 有可能独立。 C、若 AB = Ф，则 A 与 B 一定独立。 D、若 AB = Ф，则 A 与 B 一定不独立。 7、3 个人被等可能地分配到 4 个房间的任一间去，则某一指定的房间中恰有 2 人的概率为 （ ）。 A、 64 3 B、 16 3 C、 64 9 D、 32 5 8、若两个事件 A 和 B 同时出现的概率为 P（AB）=0，则（ ） A、AB 是不可能事件 B、A 与 B 为互斥事件 C、A 与 B 为对立事件 D、AB 不一 定是不可能事件 9、袋中有 6 个白球，4 个黑球，现不放回抽取两次，则第二次取得白球的概率为（ ） A、 5 3 B、 3 2 C、 9 4 D、 3 1 10、设 A、B 互不相容，且 P(A) 0, P(B) 0 ，则下列选项正确的是（ ） A、P(B A) 0 B、P(AB) = P(A) C、 P(A | B) = 0 D、P(AB) = P(A)P(B) 三、计算 1、一袋中有 10 个球，其中 3 个白球，7 个红球，现采用不放回方式从中取球两次，每次 1 个。求：（1）第 2 次才取到白球的概率。（2）第二次取到白球的概率。 2、10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另 一件也是不合格品的概率
3、某种玻璃工艺品对温度的要求很高，制造成功率仅为0.15，试计算必须作多少件，才能 使其中至少有一件合格品的概率不小于0.9？ 个人负责维修三台设备 段时间内三台独立运行的设备因故障需要维修的概率分 别为0.1,0.2,0.15，求这段时间内(1)没有一台设备需要维修的概率。(2)至少一台设备 需要维修的概率。(3)至多一台设各需要维修的概率。 5、某食品包装流水线最后一道工序是在外包装上打印日期标志，此项工作由甲、乙两人承 担，他们对日期的据打率分别是3%，2%，已知经村两人的食品外句装件数之比为8：10 (1)任意抽查 产品，发现外包装上无日期 概率是多少？ (2)这件无日期标志的产品是乙漏打的概率是多少 6、假设有两箱同种零件，第一箱内装50件，其中10件一等品，第二箱内装30件，其中 18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后取出两个零件（取出的零件均 不放回)。试求(1)先取出的零件是一等品的概率：。(2)在先取出的零件是一等品的条 件下，第二次取出的仍然是一等品的条件概率B。 7、设一家工厂生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调 试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品。现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假 设各台仪器的生产过程相互独立)。求(1)全部能出厂的概率α：(2)其中恰有2台不能 出厂的概率B:(3)其中至少有2台不能出厂的概率日。 8、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设每箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1， 一顾客欲购一箱，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则 买下该箱玻璃杯，否则退回。求：(1)顾客买下该箱的概率：(2)在顾客买下的一箱中确实 没有残次品的概率。 四、证明 1、设A、B为两个随机事件，00,证明：PB10≥1-P圆 P(A) 第二章 随机变量的分布和数字特征 基本要求 1.理解随机变量的概率分布、概率密度、分布函数、随机变量函数的分布等概念。 2.理解期望、方差、标准差的概念。已知随机变量的分布，会求期望与方差。会求 随机变量函数的期望。 3.会求简单随机变量函数的分布。 4.熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布及它们的期望与方差。正态分
3、某种玻璃工艺品对温度的要求很高，制造成功率仅为 0.15 ，试计算必须作多少件，才能 使其中至少有一件合格品的概率不小于 0.9 ？ 4、一个人负责维修三台设备。在一段时间内三台独立运行的设备因故障需要维修的概率分 别 为 0.1,0.2,0.15 ，求这段时间内（1）没有一台设备需要维修的概率。（2）至少一台设备 需要维修的概率。（3）至多一台设备需要维修的概率。 5、某食品包装流水线最后一道工序是在外包装上打印日期标志，此项工作由甲、乙两人承 担，他们对日期的漏打率分别是 3%，2%，已知经过两人的食品外包装件数之比为 8：10 （1）任意抽查一件产品，发现外包装上无日期的概率是多少？ （2）这件无日期标志的产品是乙漏打的概率是多少？ 6、假设有两箱同种零件，第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品，第二箱内装 30 件，其中 18 件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后取出两个零件（取出的零件均 不放回）。试求（1）先取出的零件是一等品的概率 。（2）在先取出的零件是一等品的条 件下，第二次取出的仍然是一等品的条件概率 。 7、设一家工厂生产的每台仪器，以概率 0.7 可以直接出厂，以概率 0.3 需进一步调试，经调 试后以概率 0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格品。现该厂新生产了 n (n 2) 台仪器（假 设各台仪器的生产过程相互独立）。求（1）全部能出厂的概率 ；（2）其中恰有 2 台不能 出厂的概率 ；（3）其中至少有 2 台不能出厂的概率 。 8、玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设每箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 0.8,0.1,0.1， 一顾客欲购一箱，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看 4 只，若无残次品，则 买下该箱玻璃杯，否则退回。求；（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中确实 没有残次品的概率。 四、证明 1、设 A、B 为两个随机事件， 0 P(B) 1,且P(AB) = P(AB) 。证明：A 与 B 相互独立。 2、设 A、B 为两个随机事件，且均有正概率。证明：“A、B 互不相容”与“A、B 相互独 立不能同时成立。 3、设 P(A) 0 ，证明： ( ) ( | ) 1 ( ) P B P B A P A − 第二章 随机变量的分布和数字特征 基本要求 1. 理解随机变量的概率分布、概率密度、分布函数、随机变量函数的分布等概念。 2. 理解期望、方差、标准差的概念。已知随机变量的分布，会求期望与方差。会求 随机变量函数的期望。 3. 会求简单随机变量函数的分布。 4. 熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布及它们的期望与方差。正态分
布会查表。 同步练习 一、填空 、已阳随机变量X只能取-1012因个数值，其相应的概率经次为云是之忌则 C= 2、若随机变量X的概率分布为 X135 则它的分布函数F(x)在 P111 x=4时值为 236 3、设随机变量X的分布函数 0x0 其中元>0为常数，则 10 x≤0' A=_ ,B= 6、设随机变量X服从参数为1的泊松分布，且P{X=1)=PX=2},则元= 7、设随机变量X服从1,5]上的均匀分布，则当x10 差D(Y) 二、单项选择、 1、设F(x)是随机变量X的分布函数，那么当X是()随机变量时，有 P(x1≤X≤x2)=F(x)-F(x) A、任意B、个别离散型 C、离散型D、连续型
布会查表。 同步练习 一、填空 1、已知随机变量 X 只能取 −1,0,1,2 四个数值，其相应的概率依次为 c c c 16c 2 , 8 5 , 4 3 , 2 1 ，则 c = 。 2、若随机变量 X 的概率分布为 则它的分布函数 F(x) 在 x = 4 时值为 。 3、设随机变量 X 的分布函数 − − = 1 3 0.8 1 3 0.4 1 1 0 1 ( ) x x x x F x ，则 X 的分布律为 。 4、设 = + 0 其它 0 1 ( ) 1 2 x x c f x 是随机变量 X 的概率密度函数，则 c = 。 5、连续型随机变量 X 的分布函数为 + = − 0 0 0 ( ) x A Be x F x x ，其中 0 为常数，则 A = ， B = 。 6、设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 P{X = 1} = P{X = 2} ，则 = 。 7、设随机变量 X 服从[1，5]上的均匀分布，则当 x1 1 x2 5时， { } 1 2 P x X x = ； 当 1 x1 5 x2时， { } 1 2 P x X x = 。 8、 X ~ N(2, 2 ),且 P2 x 4= 0.3,则Px 0= 。 9、设随机变量 X ~ B(2, p) ，Y ~ B(3, p) ，若 9 5 P{X 1} = ，则 P{Y 1}= 。 10、设随机变量 X 在区间[-1，2]上服从均匀分布，随机变量 = − = 1 0 0 0 1 0 X X X Y ，则 Y 的方 差 D（Y）= 。 二、单项选择 1、设 F（ x ）是随机变量 X 的分布函数，那么当 X 是（ ）随机变量时，有 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 P x X x = F x − F x A、任意 B、个别离散型 C、离散型 D、连续型 X 1 3 5 P 2 1 3 1 6 1
2、设随机变量X的分布函数为F(x),在下列概率中可表示为 F(a)-F(a-0)的是(). A、P{Xsa;B、P{X>a;C、P{X=a;D、PX≥a) 3、设随机变量X的概率密度函数为f,(x),y=-2x+3的概率密度函数为() A-3B3)c-)D"3 4、X-N(4,σ)，则随G的增大，P-川a)=P(X<a)成立的a=() A、0B、1 C、2 D、3 6、道支量X-m-。”0则B2x+》= A、1.2B、41 C、21D、36 7X为随机变量，EX=-1,DY=3,则EB(X2+2() A、18B、9C、30D、36 8、已知连续型随机变量X的密度函数f(x)是偶函数，即f(x)=f(-x),F(x)是X的分布 函数，则对任意实数c都有F(-C)=( A、FeB.2fdc、2Fo)-lD.1-fxs 9、设X是随机变量，EX=4,DX=G2,则对任意常数c,必有( A、E(X-c2=EX2-c2 B、E(X-C)=E(X-) C、E(X-c2<E(X-)2 D、E(X-c)2≥EX-u2 10、设X-N,),密度函数f(x),分布函数记为F(x),则( A、P(X≤0)=P(X≥0)=0.5 B、f(x)=f(-X).x∈(-0，+c0) C、P(X≤1)=P(X≥1)=0.5 D、F(x)=1-F(-x),x∈(-0，+0) 三、计算 X-123 1、设随机变量X的分布律为P111 424
2、设随机变量 X 的分布函数为 F（ x ），在下列概率中可表示为 F(a) − F(a − 0) 的是（ ）。 A、 P{X a} B、 P{X a} C、 P{X = a} D、 P(X a) 3、设随机变量 X 的概率密度函数为 f x (x), y = −2x + 3 的概率密度函数为（ ） A、 ) 2 3 ( 2 1 − − − y f x B、 ) 2 3 ( 2 1 − − y f x C、 ) 2 3 ( 2 1 + − − y f x D、 ) 2 3 ( 2 1 + − y f x 4、 X ~ ( , ) 2 N ，则随 的增大， Px − 是（ ） A、单调增加 B、单调减少 C、保持不变 D、非单调变化 5、设随机变量 X ~ (3,2 ) 2 N ，则使 p(X a) = P(X a)成立的a =（ ） A、0 B、1 Ｃ、２ Ｄ、３ ６、设随机变量 X ~ = − 0 0 0.1 0 ( ) 0.1 x e x f x x ，则 E(2X +1) ＝（ ） Ａ、 1.2 Ｂ、４１ Ｃ、21 D、36 7、X 为随机变量， EX = −1, DX = 3 ，则 3( 2) 2 E X + =（ ） A、18 B、9 C、30 D、36 8、已知连续型随机变量 X 的密度函数 f (x) 是偶函数，即 f (x) = f (−x), F(x) 是 X 的分布 函数，则对任意实数 c都有F(−c)=（ ） Ａ、 F(c) Ｂ、 − c f x dx 0 ( ) 2 1 Ｃ、 2F(c) −1 Ｄ、 − c f x dx 0 1 ( ) ９、设Ｘ是随机变量， 2 EX = ,DX = ，则对任意常数 c ，必有（ ） Ａ、 2 2 2 E(X − c) = EX − c Ｂ、 2 2 E(X − c) = E(X − ) Ｃ、 2 2 E(X − c) E(X − ) Ｄ、 2 2 E(X − c) E(X − ) １０、设 X ~ N(1,1) ，密度函数 f (x) ，分布函数记为 F(x) ，则（ ） Ａ、 P(X 0) = P(X 0) = 0.5 Ｂ、 f (x) = f (−x), x (−,+) Ｃ、 P(X 1) = P(X 1) = 0.5 Ｄ、 F(x) = 1− F(−x), x (−,+) 三、计算 １、设随机变量Ｘ的分布律为 X -1 2 ３ P 4 1 2 1 4 1
求X的分布函数：(2)求PX≤，P)} 4、设随机变量X服从1-号的指数分布，名，的概率密度商数为=心为x>0 0x≤0 求：(1)EX,DX:(2油I)求c及EX2· 5,地R支X价度后数方a-0轮，用来标X的3次立宝业素 中华}现省次点，求v=2到 6、设X是[0,1]上的连续型随机变量，P(X≤0.29)=0.75，Y=1-X,试决定y, 使P(Y≤y)=0.25。 7、某电力排灌站，一天内停电的概率为0.】（设若停电，全天不能工作），若4天内全不 停电，可获得利润6万元，如果停电一次可获利3万元：如果有两次停电，则获利0万元： 若有三次或三次以上停电，要亏损1万元。求4天内期望利润是多少？ 8、随机变量X,Y都在区间[1,3]上服从均匀分布，且X确定的事件与由Y所确定的 事件是相互独立的，若A={X≤aB={Y>a。 (1)已知P4+)=求数a:(2)求的数学期里。 9、假设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(4,),内径小于10 或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售不合格亏损。已知销 「-1X12 均内径“取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
求Ｘ的分布函数；（２）求 ) 2 1 P(X ， ) 2 5 2 1 P( X ， P(2 X 3) ２、设随机变量Ｘ的分布律为 求 2 1 3 1 2 y = X + 及Z = X + 的分布律。 ３、设随机变量Ｘ的概率密度函数为 = 0 其它 0 1 ( ) k x x f x (1)常数 k ；（２）求Ｘ的分布函数 F(x) ；（３）求 4 1 P X ４、设随机变量 2 1 X1服从 = 的指数分布， X2 的概率密度函数为 = − 0 0 0 ( ) 2 x cxe x f x x 求：（１） 1 1 2 EX ,DX ;(2)由(1)求c及EX . ５、设随机变量Ｘ的密度函数为 = 0 其它 3 0 1 ( ) 2 x x f x ，用Ｙ表示Ｘ的３次独立重复观察 中事件 2 1 X 出现的次数，求 P(Y = 2) ６、设Ｘ是［０，１］上的连续型随机变量， P(X 0.29) = 0.75,Y = 1− X ，试决定 y ， 使 P(Y y) = 0.25 。 ７、某电力排灌站，一天内停电的概率为 0.1 （设若停电，全天不能工作），若４天内全不 停电，可获得利润６万元，如果停电一次可获利３万元；如果有两次停电，则获利０万元； 若有三次或三次以上停电，要亏损１万元。求４天内期望利润是多少？ ８、随机变量Ｘ，Ｙ都在区间［１，３］上服从均匀分布，且Ｘ确定的事件与由Ｙ所确定的 事件是相互独立的，若 A = X a,B = Y a。 （１）已知 9 7 P(A + B) = ；求常数 a ；（２）求 X 1 的数学期望。 ９、假设由自动线加工的某种零件的内径Ｘ（毫米）服从正态分布 N(,1) ，内径小于１０ 或大于１２的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售不合格亏损。已知销 售利润Ｔ（单位：元）与销售零件的内径Ｘ有以下关系： − − = 5 12 20 10 12 1 10 X X X T ，问：平 均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ X －１ ０ 1 P ０.2 0.3 0.5
10、假设测量误差X~(0,10),试求在100次独立测量中，至少有3次测量误差的 绝对值大于19.6的概率Q,并利用泊松分布求出a的近似值。 四、证明 1、设常数a与b为随机变量X的一切可能取值中的最小值与最大值，EX,DX分别为X 2、已知随机变量X的数学期望EX与方差DX都存在，且DX≠0，随机变量 Y=X-EX/ Dr'证明：EY=0,Dr=0 3、设X的概奉密度f(x)满足f(c+x)=f(c-x),xe(-o,+o),其中c为常数，又 /(x)d收敛，证明：EX=c。 4、设随机变量X服从参数=2的指数分布。：证明：Y=1-e2在区间(0,1)上服 从均匀分布。 第三章 随机向量 基本要求 1.了解二维随机向量的联合分布与边缘分布的概念。 2.已知联合分布会求边缘分布，会判断随机变量的独立性， 3.了解协方差、相关系数等概念，掌握协方差、相关系数的求法。 4.掌握二维正态分布的密度函数，并知道几个参数的意义。 5。会叙述中心极限定理，并会用来解较简单的实际问题。 同步练习 一、填空 X1Y012 1、设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为00.250a 1b0.30.15 则a.b应满足的条件是」 2、设二维随机向最(X,)的联合概率凝率密度八x,)=0 c-1≤x≤1,0≤y≤2 则 其它 c= ,Y的边缘密度函数为f(y)=
１０、假设测量误差 X ~ (0,10 ) 2 N ，试求在１００次独立测量中，至少有３次测量误差的 绝对值大于 19.6 的概率 ，并利用泊松分布求出 的近似值。 四、证明 １、设常数 a与b 为随机变量Ｘ的一切可能取值中的最小值与最大值，ＥＸ，ＤX 分别为Ｘ 的数学期望与方差。证明：（１） 2 2 ;(2) − b a a EX b DX 。 ２、已知随机变量Ｘ的数学期望ＥＸ与方差ＤＸ都存在，且 DX 0 ，随机变量 DX Y = X − EX ，证明： EY = 0, DY = 0 ３、设Ｘ的概率密度 f (x) 满足 f (c + x) = f (c − x), x (−,+) ，其中 c 为常数，又 x f (x)dx + − 收敛，证明： EX = c 。 ４、设随机变量Ｘ服从参数 = 2 的指数分布。；证明： x Y e 2 1 − = − 在区间（０，１）上服 从均匀分布。 第三章 随机向量 基本要求 1. 了解二维随机向量的联合分布与边缘分布的概念。 2. 已知联合分布会求边缘分布，会判断随机变量的独立性。 3. 了解协方差、相关系数等概念，掌握协方差、相关系数的求法。 4. 掌握二维正态分布的密度函数，并知道几个参数的意义。 5. 会叙述中心极限定理，并会用来解较简单的实际问题。 同步练习 一、填空 1、设二维离散型随机变量（X，Y）的分布列为 1 0.3 0.15 0 0.25 0 \ 0 1 2 b a X Y 则 a.b 应满足的条件是 。 2、设二维随机向量 (X,Y) 的联合概率概率密度 − = 0 其它 1 1,0 2 ( , ) c x y f x y ，则 c = ，Y 的边缘密度函数为 f Y (y) =
3、设(X,Y)-N(4,山2，o2,o22,P),则随机变量X的边缘密度函数为∫x(x)= cov (X,Y)= 4、(X,Y)是二维随机向量，且DX)=25，DY)-36,Pm=0.6，则 D(X-2Y)=_ 5、X、Y是两个相互独立的随机变量，且方差均存在，则D(3X-2Y)=_一。 X1Y|01 6、设二维随机变量(X,)的概率分布为00.4a，若随机事件{X=0}与 1b0.1 {X+Y=}相互独立，则a= ,b= 7、设随机变量X、Y相互独立，且分别服从于参数为乙和乙，的泊松分布，则X、Y的联 合分布律为PX=m,Y=n}= 8、已知随机变量X-N(-1,),Y~N(3,),且X、Y相互独立，Z=X-2Y, 则Z、 9、设X,X2,X独立同分布，E(X,)=,D(X)=2,i=12,.,n,当n230时 随机变量X=∑X,近似服从分布 一，标准化后的随机变量 近似服从 N(0,1)分布。 10、设(X,)服从区间0，a]x[0,a上的均匀分布，则EX-Y=_ 二、单项选择 1、若X、Y满足D(X-)=DX+),则必有() A、X、Y相互独立B、DX-)=DX+Y)=0C、X、Y不相关D、D(X)=0 2、二维随机变量(X,Y满足E(XT)=EX.EY,则() A、DX)=DX.DY B、D(X-Y)=DX+Y)C、X与Y独立D、X与Y不独立 3、已知随机变量X、Y,则()是正确的。 A、DXY)=DX.DY B、DX+)=DX)+D)
3、设 (X,Y) ~ ( , , , , ) 2 2 2 N 1 2 1 ，则随机变量 X 的边缘密度函数为 f X (x) = ， Y~ ， cov (X,Y) = 。 4 、 (X,Y) 是二维随机向量，且 D(X ) = 25 ， D(Y) = 36 ， XY = 0.6 ， 则 D(X − 2Y) = 。 5、 X 、Y 是两个相互独立的随机变量，且方差均存在，则 D(3X − 2Y ) = 。 6、设二维随机变量 (X,Y) 的概率分布为 1 0.1 0 0.4 \ 0 1 b a X Y ，若随机事件 X = 0 与 X +Y =1 相互独立，则 a = ，b = 。 7、设随机变量 X 、Y 相互独立，且分别服从于参数为 1 和 2 的泊松分布，则 X 、Y 的联 合分布律为 PX = m,Y = n= 。 8、已知随机变量 X ~ N(−1,1)，Y ~ N(3,1) ，且 X 、Y 相互独立， Z = X − 2Y ， 则 Z ~ 。 9、设 X X Xn , , , 1 2 独立同分布， E(Xi ) = ， 2 D(Xi ) = ，i = 1,2, ,n ，当 n 30 时， 随机变量 = = n i X Xi 1 近似服从分布 ，标准化后的随机变量 近似服从 N(0,1) 分布。 10、设 (X,Y) 服从区间 0,a0,a 上的均匀分布，则 E X −Y = 。 二、单项选择 1、若 X 、Y 满足 D(X −Y) = D(X +Y) ，则必有（ ） A、X 、Y 相互独立 B、D(X −Y) = D(X +Y) =0 C、X 、Y 不相关 D、D(X ) = 0 2、二维随机变量 (X,Y) 满足 E(XY) = EX.EY ，则（ ） A、 D(XY) = DX.DY B、 D(X −Y) = D(X + Y) C、 X 与 Y 独立 D、 X 与 Y 不独立 3、已知随机变量 X 、Y ，则（ ）是正确的。 A、 D(XY) = DX.DY B、 D(X + Y) = D(X ) + D(Y)
C、E(Y=EX.EY D、E(X+Y)=E(X)+EY) 4、设X、Y是两个随机变量，则下列命题正确的是() A、X、Y不相关→X、Y不相互独立B、X、Y相互独立一X、Y不相关 C、X、y不相关一X、y相互独立D、X、y相关一X、y相互独立 5,设随机变量X、y独立同分布，PX=-小=化=-以=PK=-=亿=小=号 则下列式子正确的是() AX=yB、PK=Yy=0C、PK=y}D、PK=yy=1 6、设F(x)与E(x)分别为随机变量X和Y的分布函数，为使aF(x)-bE(x)是某一随 机变量的分布函数，则a,b的值应取(） 2 7、将一枚硬币重复掷次，以X和Y表示正面朝上和反面朝上的次数，则X,Y的相关系 数等于() 处a-1c0 8、设随机变量X服从参数为入的指数分布，且已知E[X-1(x+2】=-1,则DX A、2 B、-1C、2D、3 9、随机变量(X,Y)服从二维正态分布，其边缘分布为X~N(1,1),Y~N(2,4),X和Y 的相关系数为Pn=-0.5,且概率PaX+bY≤=2则（） A、a=b=-4 1a的为-气任名动小0-2，同=1， P{X=X2}=( A、0B、c D、1 三、计算
C、 E(XY) = EX.EY D、 E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) 4、设 X 、Y 是两个随机变量，则下列命题正确的是（ ） A、 X 、Y 不相关 X 、Y 不相互独立 B、 X 、Y 相互独立 X 、Y 不相关 C、 X 、Y 不相关 X 、Y 相互独立 D、 X 、Y 相关 X 、Y 相互独立 5、设随机变量 X 、Y 独立同分布， 2 1 P X = −1 = Y = −1 = ， 2 1 P X = 1 = Y = 1 = ， 则下列式子正确的是（ ） A、 X = Y B、 PX = Y= 0 C、 2 1 P X = Y = D、 PX = Y=1 6、设 ( ) 1 F x 与 ( ) 2 F x 分别为随机变量 X 和 Y 的分布函数，为使 a ( ) 1 F x ( ) 2 −bF x 是某一随 机变量的分布函数，则 a,b 的值应取（ ） A、 5 2 , 5 3 a = b = − B、 3 2 , 3 2 a = b = C、 2 3 , 2 1 a = − b = D、 2 3 , 2 1 a = b = − 7、将一枚硬币重复掷 n 次，以 X Y 和 表示正面朝上和反面朝上的次数，则 X Y, 的相关系 数等于（ ） A、1 B、－１ C、0 D、 1 2 8、设随机变量Ｘ服从参数为 的指数分布，且已知 E X x ( 1)( 2) 1 − + = − ，则 DX ＝ （ ） Ａ、 1 2 Ｂ、－１ Ｃ、２ Ｄ、３ ９、随机变量 (X ,Y ) 服从二维正态分布，其边缘分布为 X ~N(1,1) ，Y ~ N(2,4) ，X Y 和 的相关系数为 0.5 XY = − ，且概率 1 1 2 P aX bY + = ，则（ ） Ａ、 1 1 , 2 4 a b = = − Ｂ、 1 1 , 4 2 a b = = − Ｃ、 1 1 , 4 2 a b = − = Ｄ、 1 1 , 2 4 a b = = １０、设随机变量的分布为 1 1 1 4 2 4 1 0 1 Xi ~ − ( 1,2) i = ，且满足 P X X 1 2 = = 0 1 ，则 P X X 1 2 = ＝（ ） Ａ、０ Ｂ、 1 4 Ｃ、 1 2 Ｄ、１ 三、计算
1、设随机变量独立同分布，且0」，求：(1)X,)的联合分布：(2)：=maX,) "p 的概率分布：(3)W=灯的概率分布 2、设随机变量(X,门的概率密度函数心x,)=0 j6xy0≤x≤10≤y1,（1)求 其它 X,Y的边缘分布，并判断X,Y是否相互独立：(2)求概率P{X>Y}:(3)求(X,Y)的 联合分布函数。 3、某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80、10、10件。现在从中随 机地抛取-作，记为X=)若抽到第等品(4=2。（1)求X,X)的联合分布。 0 其它 (2)求X,与X,的相关系数。 4、设随机变量U在区间[一2,2]上服从均匀分布，随机变量 5、设X和X独立同分布，且X-N0),令出=X-X,名=号X-名间： (1)Y和y2同分布吗？(2)y和Y独立吗？ 6、设二维随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y)=[,(x,y)+,(x,y小，其中，(x,y) 和，(x,y)都是二维正态分布密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 -和}，它们的边缘密度函数的数学期望都是0，方差都是1.(1)求X,Y的边缘密度 函数f(x)和(y):(2)求X与Y的相关系数（可以直接利用二维正态密度的性质）。 7、设随机变量X和Y的联合分布在点(0，)，(L,0),(L,)为顶点的三角形区域上服从均匀分 布，试求随机变量U=X+Y的方差 8、一商店经销某种商品，每周进货数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机 变量，且都服从[10,20]上的均匀分布。商店每售出一单位商品可获利1000元，若需求超 过了进货量，商店可以从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500元。求此商店经销该 种商品，每周所得利润的期望 9、有10000人参加某保险公司的一种人寿保险，每人每年付12元保险费，如果在一年内投保 者死亡，则其家属可向保险公司领取100元赔偿费。已知在一年内这类人死亡的概率为 0.006,试求(1)保险公司没有利润的概率p(2)保险公司在一年内利润不少于60000元的 概率q
１、设随机变量独立同分布，且 2 1 2 1 0 1 p X ，求：（１） (X ,Y ) 的联合分布；（２） z X Y = max( , ) 的概率分布；（３） W XY = 的概率分布 ２、设随机变量 (X ,Y ) 的概率密度函数 2 6 0 1,0 1 ( , ) 0 x y x y f x y = 其它 ，（１）求 X Y, 的边缘分布，并判断 X Y, 是否相互独立；（２）求概率 P X Y ；（３）求 (X ,Y ) 的 联合分布函数。 ３、某箱装有１００件产品，其中一、二、三等品分别为８０、１０、１０件。现在从中随 机地抽取一件，记为 1 0 i i X = 若抽到第 等品 其它 （ i =1,2 ）。（１）求 1 2 ( , ) X X 的联合分布； （２）求 X X 1 2 与 的相关系数。 ４ 、 设 随 机 变 量 Ｕ 在 区 间 ［ － ２ ， ２ ］ 上 服 从 均 匀 分 布 ， 随 机 变 量 1 1 1 1 , 1 1 1 1 U U X Y U U − − − = = − ，求（１） (X ,Y ) 的联合概率分布；（２） D X Y ( ) + ５、设 X1 和 X2 独立同分布，且 2 X N 1 ~ (0, ) ，令 1 1 2 1 2 Y X X = − ， 2 1 2 1 2 Y X X = − ，问： （１） Y Y 1 2 和 同分布吗？（２） Y Y 1 2 和 独立吗？ ６、设二维随机向量 (X ,Y ) 的密度函数为 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) 2 f x y x y x y = + ，其中 1 ( , ) x y 和 2 ( , ) x y 都是二维正态分布密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 1 1 3 3 − 和 ，它们的边缘密度函数的数学期望都是０，方差都是１。（１）求 X Y, 的边缘密度 函数 1 f x( ) 和 2 f y( ) ；（２）求 X Y 与 的相关系数（可以直接利用二维正态密度的性质）。 ７、设随机变量 X Y 和 的联合分布在点 (0,1),(1,0),(1,1) 为顶点的三角形区域上服从均匀分 布，试求随机变量 U X Y = + 的方差。 ８、一商店经销某种商品，每周进货数量Ｘ与顾客对该种商品的需求量Ｙ是相互独立的随机 变量，且都服从 [10,20] 上的均匀分布。商店每售出一单位商品可获利 1000 元，若需求超 过了进货量，商店可以从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元。求此商店经销该 种商品，每周所得利润的期望值。 9、有 10000 人参加某保险公司的一种人寿保险,每人每年付 12 元保险费,如果在一年内投保 者死亡,则其家属可向保险公司领取 1000 元赔偿费。已知在一年内这类人死亡的概率为 0.006，试求（1）保险公司没有利润的概率 p (2)保险公司在一年内利润不少于 60000 元的 概率 q