重庆工商大学：《经济数学基础》课程教学资源（作业习题）线性代数及概率统计（答案）

同步练习与自测试题答案提示 第一部分线性代数 第一章、行列式 一、填空 1、6,5 2、mn-k 3正、 4、4 5、24、 6、x 7← d,n为奇数时为2d,n为偶数时是0 8、-1 9、0 10、7 二、选择 1、D2、C3、A4、A5、D6、B7、D8、C9、D10、C 三、计算 1、1752、[x+(n-1)ax-1)-3、6(n-34、(x-ax-a2)(x-a)5 (-l0*x-26、c-a,b-a,b2-.-anbn 四、证明（略） 第二章线性方程组答案与提示 、填空 1、r,m- -1 1 0 1 2、 0 +k0 ,k,k,k为任意常数。 (0/ 3、k(G-r)+k(仍-)+5，其中k,k为任意常数 4、n-k,n。 5、=n,r<n. 8、片≤5。 9、相关。 10、1

同步练习与自测试题答案提示 第一部分 线性代数 第一章、行列式 一、填空 1、6，5 2、 k n n − − 2 ( 1) 3、正、 4、4 5、24、 6、 4 x 7、 d n n 2 ( 1) ( 1) − − ，n 为奇数时为 2d，n 为偶数时是 0 8、-1 9、0 10、7 二、选择 1、D 2、C 3 、A 4、 A 5 、D 6 、B 7 、D 8、C 9 、D 10、 C 三、计算 1、175 2、 1 [ ( 1) ]( 1) − + − − n x n a x 3、6(n − 3)! 4 、 ( )( ).( ) 1 2 an x − a x − a x − 5 、 1 2 ( 1) + − − n n x 6、 a b a b anbn c − 1 1 − 2 2 − . − 四、证明（略） 第二章 线性方程组答案与提示 一、填空 1、r ,m-r 2、              − 0 0 1 1 ,              − 0 1 0 1 ，              − 1 0 0 1 ， 1 k              − 0 0 1 1 + 2 k              − 0 1 0 1 + 3 k              − 1 0 0 1 ， 1 k ， 2 k ， 3 k 为任意常数。 3、 1 2 1 2 3 1 1 k (r − r ) + k (r − r ) + r ，其中 1 2 k , k 为任意常数。 4、n-k, n 。 5、r=n , r  n 。 6、2 。 7、相关 。 8、 1 2 r  r 。 9、相关 。 10、1

二、选择 1、B2、B3B4、C5、D6、D7、A8、D9、B10、C 三、计算 1、k(112,k≠0 2、当1≠-2时，线性方程组无解：当1=-2时，线性方程组有解。当仁-2，p-8时， X=(1,1,00+c,4,-2,1,0+G(1,-2,0y,c,c为任意数 当=-2，p≠-8时，X=(1,1,00+c(1,-2,0,1y,c为任意数。 3、(D4+a=0(2)4+a≠0)4+a=0 1c-3b≠0 lc-3b=0 4、1-14≠0 5、秩为2，a,4,为一个极大无关组，a=-a+2%2,a,=-2a+30, 6、由于(4)=3，则四元线性方程组AX=b的导出组AX=0的只含一个解向量，所以AX=0 的任意非零解都是它的基础解系。AX-0的基础解系可取为 7=a2+2a-3a1=(-5,9,-7,9,AX=b的全部解为：a+cn,c为任意常数。 7、由于齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩()=2：所以AX=0的基础解系含有 n-=5-2=3个解向量，B和四个行向量虽然都是AX=0的解但不能构成AX=0的基础解系 由以上分析，AX=0的任意3个线性无关的解向量都是它的基础解系，而B的第1,2， 4行是线性无关的，可以构成AX=0的基础解系。故AX=0的基础解系可取为 n=4,-2,10,0 2=0,-2,0,1,07 h3=(5,-6,00,1 8、由于方程组系数矩阵A的秩(4)=2，AX=0的基础解只含有一个解向量，它的任意 个非零解都可以作为它的基础解系，可取为刀=B一B=(2,0,2,、。原方程组的 全部解为（通解）：B+cn,c为任意常数 四、证明（略） 第三章矩阵 一、填空 13.⅓933,4-⅓ 2、1,或0,1 3、0

2 二、选择 1、B 2、B 3、B 4、C 5、D 6、D 7、A 8、D 9、B 10、C 三、计算 1、 k(−1 1 2 1) , k  0 T 2、当 t  −2 时，线性方程组无解；当 t = −2 时，线性方程组有解。当 t=-2,p=-8 时， ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 X 1, 1, 0 0 c 4, 2, 1, 0 c 1, 2, 0 1 , c , c T T T = − + − + − − 为任意数； 当 t= -2 ,p  -8 时， X ( ) c( ) c T T = −1, 1, 0 0 + −1, − 2, 0, 1 , 为任意数。 3、（1）    −  + = 3 0 4 0 c b a （2） 4 + a  0 （3）    − = + = 3 0 4 0 c b a 4、1 0 4 − t  5、秩为 2， 1 2  , 为一个极大无关组， 3 = −1 + 22 ，4 = −21 + 32 6、由于 r(A) = 3 ，则四元线性方程组 AX=b 的导出组 AX=0 的只含一个解向量，所以 AX=0 的 任 意 非 零 解 都 是 它 的 基 础 解 系 。 AX=0 的 基 础 解 系 可 取 为 ( ) AX b T  =2 + 23 − 31 = − 5, 9, − 7, 9 , = 的全部解为： c , c 1 +  为任意常数。 7、由于齐次线性方程组 AX=0 的系数矩阵 A 的秩 r(A) = 2 ；所以 AX=0 的基础解系含有 n-r=5-2=3 个解向量，B 和四个行向量虽然都是 AX=0 的解但不能构成 AX=0 的基础解系。 由以上分析，AX=0 的任意 3 个线性无关的解向量都是它的基础解系，而 B 的第 1，2， 4 行是线性无关 的，可以 构成 AX=0 的 基础解系。 故 AX=0 的基 础解系可取为 ( ) T 1, 2, 1, 0, 0 1 = − ， ( ) T 1, 2, 0, 1, 0 2 = − ， ( ) T 3 = 5, − −6, 0, 0, 1 8、由于方程组系数矩阵 A 的秩 r(A) = 2, AX = 0 的基础解只含有一个解向量，它的任意一 个非零解都可以作为它的基础解系，可取为 ( ) T  = 1 −  2 = − 2, 0, 2 ，、。原方程组的 全部解为（通解）： c , c 1 +  为任意常数。 四、证明（略） 第三章 矩阵 一、填空 1、3， 3 , 1 24 ,9,3 ,3 , 1 3 1 4 7 − 2、1，或 0，1 3、0

4、E-A,-(A+E) 5、AB+BAO 6、2 （0B） 日4o-r 8、kA (300 9、020 001 10、4,1,0 二、选择 1、B2、D3、D4B5、B6、C7、A8、A9、C10、C 11、B12、C13、D14、B15、A 三、计算 (31 1、X=(E-A)B=22 11 3-4-1931 2、= -23 0 -5 0 2 1-a1-b） 3、X=1+2a-1+2b,其中ab任意常数 a b 4、 (100 5、110 (0n1 1157 。6(Rx 0 10-1

3 4、E-A，-（A+E） 5、AB+BA=0 6、2 7、 n n d A d B − − −         2 ,( 1) 0 1 0 1 8、 1 * k A n− 9、           0 0 1 0 2 0 3 0 0 10、4，1，0 二、选择 1、B 2、D 3、D 4、B 5、B 6、C 7、A 8、A 9、C 10 、 C 11、B 12、C 13、D 14、B 15、A 三、计算 1、           = − = − 1 1 2 2 3 1 ( ) 1 X E A B 2、               − − − − − − = − 0 0 1 2 0 0 3 5 2 3 14 23 3 4 19 31 1 A 3、           + − + − − = a b a b a b X 1 2 1 2 1 1 ，其中 a,b 任意常数 4、               − − − − 2 1 1 2 7 5 1 1 2 1 1 2 5 ，           − − 2 4 8 0 1 2 1 0 1 ，           − − − 0 0 1 0 1 2 1 2 3 5、           0 1 1 1 0 1 0 0 n 6、           1 0 −1 2 1 1 11 5 7 7、16 8、         − − − − − 1 2 1 1 1 2 1 1 A BA A A O

四、证明（略） a 2、4,1 3±1 4、- 5无穷多 6号到 7、a+pi 8-房店+店 二、选择 I.D 2、C3、B4、A5、C6、B7、D8、B9、B10、B 三、计算 (17 1、过渡矩阵P=AB= ,坐标变换公式Y=P-X (2 -2)】 2、与a,4均正交的向量X=(出x2xx了满足Xa,=Xa4,=0,即 「x1+x2+x3+x4=0 -x2+3x-3x,=0' 基础解系：n=(←2110，n2=1-20, 正安批得a=(211,么-（兮-号号小 3、5-目号引员-（号号)-后日到整标为 售 4、与a,B均正交的向量X=(化xxx了满足Xa=XTB=0,即 +2x,+3妈+4纸=0基础解系：%=0-210，乃= ∫x+2+x3+x4=0 -30y, 则ch+ch为所求。 4

4 四、证明（略） 第四章 向量空间 一、填空 1、 2 1 , 2 1 − 2、 , T A 1 3、  1 4、-7 5、无穷多 6、 T ) 3 5 , 3 1 , 3 10 ( − 7、 2 2  +  8、 5 1 , 5 1 , 5 2 −  二、选择 1、D 2、C 3、B 4、A 5、C 6、B 7、D 8、B 9、B 10、B 三、计算 1、过渡矩阵             − − = = − 2 3 2 1 2 7 2 1 1 P A B ，坐标变换公式 Y P X −1 = 2 、 与 1 2  , 均正交的向量 ( ) T X x x x x = 1 2 3 4 满 足 1 = 2 = 0 T T X X ， 即    − + − = + + + = 3 3 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x ，基础解系： ( ) T 1 = − 2 1 1 0 ， ( ) T 2 = 1 − 2 0 1 ， 正交化得 ( ) T 3 = − 2 1 1 0 ， T       = − − 1 3 2 3 4 3 1  4 。 3 、 T       = − 3 2 3 2 3 1  1 ， T       = − − 3 1 3 2 3 2  2 ， T       = − − 3 2 3 1 3 2  3 ，坐标为 T       − 3 1 3 1 5 3 4 、 与  ,  均正交的向量 ( ) T X x x x x = 1 2 3 4 满 足  =  = 0 T T X X ， 即    + + + = + + + = 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x ，基础解系： ( ) T 1 = 1 − 2 1 0 ， ( ) T 2 = 2 − 3 0 1 ， 则 11 22 c + c 为所求

5、D)a-bc≠02)a=Lb=c=0(3)ac+b=0,且a-bc≠0 四、证明（略） 第五章矩阵的特征值与特征向量 一、填空 1、A 2、0,1 4-1,-5,4 5、3,3,2 6、1 1、1.-25 11 8、K(4,L,-2),k为非零常数 9、6,(1,1,1) 10、0 二、选择 1、D2、C3、B4、C 5、D 6、C7、C8、D9、C10、A 三、计算 -2 2 5 45 1 4 1、1=12=2,13=-7,0= 5 0 1132-3213 J4s 2、由2E+A=0,得入=-2是A的一个特征值。4=44=2E=16,且A<0, 得4=-4，有一个特征值为4片=2一 (-111 3、由于A~B,则4=B,且4)=(B),可得a=5,b=6,P-10-2 013 40名=名=1，名=-50)名=名=2名-号 5、A"B=251-2·252+3"5 6、A的特征值为名=2=1，=4，由Aa=a,得k=2,1 (1)(3+k 或：Aa=2a,有a=Aa,即： k=2+2k 所以k=2,1 ) 3+k

5 5、（1） 0 2 1 a − bc  （2） a = 1,b = c = 0 （3） 0 2 1 ac + b = ，且 0 2 1 a − bc  四、证明（略） 第五章 矩阵的特征值与特征向量 一、填空 1、 A 2、 0，1 3、 2，1 （二重） 4、 -1，-5，4 5、 3，3，2 6、 1 7、 1， 3 1 , 2 1 − 8、 K (4,1,-2), k 为非零常数 9、 6，（1，1，.,1） 10、0 二、选择 1、D 2、C 3、B 4、C 5、D 6、C 7、C 8、D 9、C 10、A 三、计算 1、 1 = 2 = 2，3 = −7，                   − − = 3 2 45 5 0 3 2 45 4 5 1 3 1 45 2 5 2 Q 2、由 2E + A = 0 ，得  = −2 是 A 的一个特征值。 2 16 2 A = AA = E = T ，且 A  0 ， 得 A = −4， * A 有一个特征值为 2 1 =  A 。 3、由于 A ~ B ，则 A = B ，且 tr(A) = tr(B) ，可得 a = 5,b = 6，           − − = 0 1 3 1 0 2 1 1 1 P 4、（1） 1 = 2 =1，3 = −5 （2） 1 = 2 = 2 5 4 3 = 5、  2 1 2 2  2 3  3 n n n A = − • + 6、A 的特征值为 1 = 2 =1，3 = 4 ，由    −1 A = ，得 k=-2，1 或：  =  −1 A ，有  = A ，即：           + + + =           k k k k 3 2 2 3 1 1  ，所以 k=-2，1

2-3-2 22-3-2-1 7、E-4=k2+1-kk2+10=(2-12+ -4-2+3-4-22-1 -4-2 2)-2-42）-2-42) -E-A=k0-k→0k-k→0k-k 所以k=0时A -4 -22 -2-42000 相似于对角阵。 入=-1对应线性无关的特征向量为10,1=1对应线性无关的特征向量为0，令 -1) (-100 P=100,有P-4AP= 0-10 (011 001 四、证明路 第六章二次型 一、填空 1、充要 2、2 4、R 5、P==n 6、合同 二、选择 1、D2、B3C4D5、A6、B7B8、A9.C10、C 三、计算： x=4+2 1、令x2=4-h2,得f=G-+(4,+4)4+(4,+42)4=(4,+4)2-令 x,=4 [4+4=片4=片-5(11010-1 =片，有=X=1-100,U=010 =八 4= 001001 11-1 所以X=1-1-1Y,∫=片- 001

6 7、 2 ( 1)( 1) 4 2 1 1 0 3 2 1 4 2 3 1 3 2 2 = − + − − − + − − − = − − + + − − − − =          E A k k k           − − − →           − − − − − →           − − − − − − − = 0 0 0 0 2 4 2 2 4 2 0 2 4 2 4 2 2 0 4 2 2 E A k k k k k k 所以 k = 0 时 A 相似于对角阵。  = −1 对应线性无关的特征向量为                     − 1 , 0 0 1 2 1 2 1 ， =1 对应线性无关的特征向量为           1 0 1 ，令           − = 0 1 1 1 0 0 1 2 1 2 1 P ，有           − − = − 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 P AP 四、证明略 第六章 二次型 一、填空 1、 充要 2、 2 3、 0 5 4 −    4、 R 5、 P=r=n 6、 合同 二、选择 1、D 2、B 3、C 4、D 5、A 6、B 7、B 8、A 9、C 10、C 三、计算： 1、令      = = − = + 3 3 2 1 2 1 1 2 x u x u u x u u ，得 2 3 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 2 1 f = u − u + (u + u )u + (u + u )u = (u + u ) − u − u 令      = = + = 3 3 2 2 1 3 1 u y u y u u y ，有      = = = − 3 3 2 2 1 1 3 u y u y u y y X U            = − 0 0 1 1 1 0 1 1 0 ，U Y           − = 0 0 1 0 1 0 1 0 1 所以 X Y           − − − = 0 0 1 1 1 1 1 1 1 ， 2 3 2 2 2 1 f = y − y − y

1a1 2、∫=XTAX, A=a 1 B 所以存在正交矩阵Q，使得 (1B1J 0 0AO=0-A0- 1由A=0得a=B,由E-A=0得aB=0,所以 2 a=B=0 3、(1)元=8,E- a- -)- 标准正交化得 单位化a,得B= 8 1 -1 (2)f=8-片-，X=0Y 211) 4、f=XTAX,A= 103 103 四、证明（略） 自测试题 一、填空： (000) k的220,13240成5豫55目日日62 0-22 不a=月-月k0&129克10a、a>0 二、选择：1、D2、C3、D4、D5、A 7

7 2 、 f X AX T = ，           = 1 1 1 1 1     A ， 所 以 存 在 正 交 矩 阵 Q ，使得           = = − 2 1 0 1 Q AQ Q AQ T ，由 A = 0 得  =  ，由 E − A = 0 得  = 0 ，所以  =  = 0 3、（1） 1 = 8，           − − →           − − − − − −  − = 0 0 0 0 1 1 0 1 4 2 5 2 8 2 5 2 4 2 1 1E A ，得特征向量           = 1 1 2 1 1 得 两 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量          − =          − = 1 0 1 , 0 1 3 2 1 2  ， 标 准 正 交 化 得           − − =           = − 5 2 5 5 4 5 5 8 5 3 2 5 1 2 , 0   ，单位化 1 得           = 3 2 3 1 3 2 1 ，所以           − = − − 5 2 3 2 5 5 4 5 2 3 1 5 5 8 5 1 3 2 0 Q ，           − = − − 1 1 8 1 Q AQ （2） 2 3 2 2 2 8 1 f = y − y − y ， X = QY 4、 f X AX T = ，           = 1 0 3 1 0 2 1 t t A ，由 0 1 0 3 1 0 2 1 0, 1 2  t  t t t ，得 ) 3 5 , 3 5 t (− 四、证明（略） 自测试题一 一、填空： 1、-65 2、           − − 0 2 2 0 1 1 0 0 0 27 3、2 4、0 或-75 或 45 5、 T       − − 2 1 2 1 2 1 2 1 6、2 7、 = k(1 − 2 ), k  0 8、1 2 9、  k 10、  0 二、选择：1、D 2、C 3、D 4、D 5、A

12.n=1n 02.2(n-1)2n 三、1、原式. 00.n-12n 00. 0 2、B=A+B-E,得(P-E)B=A-E，A-E≠0，所以A-E可逆，所以 (0- (A+E)B=E→B=(A+E)=0-10 (-0 1111111111 3、A= 321-3a 0-1-2-6a-3 01263 → 01263 ，.a=0,b=2 543-1b (0-1-2-6b-5 4 1122 1122 1122） 1104 0215 0215 203-1 0-2-1-5 →/ 0215 0206 001-1 001-1 1104 00-22 0000 0000 (1001 0103 001-1 秩为3，为一个极大无关组，a4=,+3a- 0000 (1310)(1310)1310) 5、323-1→0-70-1→0-70-1 (-14mk(07m+1k(00m+1k-1 .(1)m+1≠0时有唯一解。(2)m+1=0,k-1≠0时无解。(3)m+1=0,k-1=0 - 时有无穷多解，通解 6、(1)B的特征值：-4，-2，-20： (2)|B+10E=-+10E-B=-(10+4X-10+2)(-10+20)=480 -122) 2+1-2-21 7、f=XAX,A= 2-1-2E-A=-22+12 =(-+5) 2-2-1 -221+ 8

8 三、1、原式= ! 0 0 0 0 0 1 2 0 2 2( 1) 2 1 2 1 n n n n n n n n = − − =          2、 A B = A+ B − E 2 ，得 (A − E)B = A− E 2 ， A− E  0, 所以 A − E 可逆，所以           − − − + =  = + = − 5 2 5 3 5 1 5 4 1 0 0 1 0 0 (A E)B E B (A E) 3、               − − = b a A 5 4 3 1 0 1 2 6 3 3 2 1 3 1 1 1 1 1 →               − − − − − − − − 0 1 2 6 5 0 1 2 6 3 0 1 2 6 3 1 1 1 1 1 b a ， a = 0,b = 2 4 、               − 1 1 0 4 2 0 3 1 0 2 1 5 1 1 2 2               − − − − → 0 0 2 2 0 2 1 5 0 2 1 5 1 1 2 2               − → 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 1 5 1 1 2 2               − → 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 6 1 1 0 4               − → 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 3 1 0 0 1  秩为 3，为一个极大无关组， 4 = 1 + 32 −3 5、 →           − − 1 4 m k 3 2 3 1 1 3 1 0 →           + − − 0 7 m 1 k 0 7 0 1 1 3 1 0           + − − − 0 0 1 1 0 7 0 1 1 3 1 0 m k  （1） m +1  0 时有唯一解。（2） m +1 = 0, k −1  0 时无解。（3） m +1 = 0, k −1 = 0 时有无穷多解，通解          − +          − 1 0 0 1 7 1 7 3 c 6、（1）B 的特征值： − 4,−2,−20 ； （2） B +10E = −−10E − B = −(−10 + 4)(−10 + 2)(−10 + 20) = 480 7、f X AX T = ，           − − − − − = 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A ， ( 1) ( 5) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 = − + − + − + + − − − =      E A

“==1=-5,“fX=Qy+片-5y明 四、A,≠0，∴)=n-1,基础解系只含一个向量，x=(4A.4了≠0 代=0，÷x=(4A.A了为一个基础解系。 自测试题三 一、填空 1、122、13、a- 4、相关 6、4)=n7、(0,2) 8、09、m≤n 10、4+ 二、选择 3、D4、D5、B 0 a 0a2 1、解：D= 0 =(←lna,a2.am- 0a 21 -1 2、解：XA=B'+3XX(4-3E)=BX=B'(4-3E= -12 - 001k R。 01001 =-kk10+0k1=k2-k≠0k≠0，k≠1 k001 010110 0010)1100) (2)k=0 0010 0010 1100 0001 0001 0000 秩为3,42,4，a,为一个极大无关组a=4

9 1 = 2 = 1,3 = −5， 2 3 2 2 2  f X = QY y1 + y − 5y 四、 A  0,r(A) = n −1 j  k ， 基础解系只含一个向量， ( ) 0 1 2 3 =  T Ak Ak Ak  x  AX = 0， ( ) T Ak Ak Ak x 1 2  3  = 为一个基础解系。 自测试题二 一、填空 1、1；2 2、1 3、 n−1 a 4、相关 5、         −1 0 6、r(A) = n 7、(0,2) 8、0 9、 m  n 10、               + 3 2 9 2 9 2 1 1  k 二、选择 1、A 2、B 3、D 4、D 5、B 三、计算 1、解： 2 1 0 0 0 0 1 2 1 n a a a D n− =  ( ) 1 2 1 1 1 − + = − n n na a a 2、解： XA B X T = + 3  ( ) T X A− 3E = B ( )           − − − = − = − 1 1 2 1 3 2 1 2 3 1 X B A E T 3、解：（1） 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 = − k + k = k − k  k k k k k  k  0, k  1 （2） k = 0               →               0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 秩为 3， 2 3 4  , , 为一个极大无关组 1 = 2

0100011o0 1001 k=1 0110010-1 0110 1100 0011 0011 0011 10011100010-100-1-1 (1001 → 010-1 0011 秩为3，a4,a2,4为一个极大无关组a4=a4-凸+a (0000J 21-1(11-元)11 4、解：1元11→21-12→01-元2-1元- (11-a21110a-11+元1-2 11-元) →01-12-1元-2 002+元1-2 (1)2+1=0,1-2≠0，即元=0时无解 (2)22+元≠0,1-元≠0，即入≠0,2≠±1时有唯一解。 11-111101 (3)≠0，=士1时有无穷多解。元=1 1111 →0010 11-110000 -1 (- 基础解系为1通解为风1+0 =-1 111-11010) - 0202→010-1基础解系为0通解为40十-1 00000000 1 -1221 5、E-A=-21+32=(0-12+1 2-21-1 （022(1-10)1-10101) =1 -242>-12→011→011 2-20011011000

10 k =1               − − →               − →               − →               0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1               − → 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 秩为 3， 1 2 3  , , 为一个极大无关组 4 = 1 −2 +3 4、解：           − −      1 1 1 1 1 1 1 →           − − 1 1 1 1 1 1 1      →           − + − − − − −          0 1 1 1 0 1 1 1 1 2 2 →           + − − − − − 2 2 2 2 0 0 1 0 1 1 1 1          （1） 0,1 0 2 2  +  = −   ，即  = 0 时无解。 （2） 0,1 0 2  +   −   ，即   0,  1 时有唯一解。 （3）   0, = 1 时有无穷多解。  =1           − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 →           0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 基础解系为          − 0 1 1 ，通解为           +          − 0 0 1 0 1 1 k  = −1           − − 0 0 0 0 0 2 0 2 1 1 1 1 →           − 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 基础解系为          − 1 0 1 ，通解为           + −          − 0 1 0 1 0 1 k 5、 ( )( ) 2 1 1 2 2 1 2 3 2 1 2 2 = − + − − − + − − =      E A  =1           − − →           − − 0 1 1 1 2 1 1 1 0 2 2 0 2 4 2 0 2 2           →           − → 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0