数值模拟导论-第十讲 改进的牛顿法 雅克比怀特 感谢 Deepak ramaswamy, Jaime peraire, MichalRewienski, and Karen Veroy
数值模拟导论 -第十讲 改进的牛顿法 雅克比·怀特 感谢Deepak Ramaswamy, Jaime Peraire, MichalRewienski, and Karen Veroy
概要 阻尼牛顿定律 若雅可比矩阵是非奇异矩阵,则全局收敛 奇异雅可比矩阵收敛非常困难 介绍连续定律 源载荷步问题
概要 阻尼牛顿定律 —若雅可比矩阵是非奇异矩阵，则全局收敛 —奇异雅可比矩阵收敛非常困难 介绍连续定律 —源/载荷步问题 更通用的连续定律
多维牛顿法 牛顿算法 牛顿算法求解Fx)=0 x=初始给定值,k=0 重复{ 计算F(x)(x) 解方程/(x)(x-x)=-F(x)求得x k=k+1 直到|()足够小 SMA-HPC C2003 MIT
牛顿算法求解 F(x)=0 多维牛顿法 牛顿算法 SMA-HPC ©2003 MIT 0 x k = 初始给定值， = 0 重复{ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 , lim 1 k k F kk k k k F kk k Fx J x J x x x Fx x xx x k k + + + + − =− =+ ∆ = + 计算 解方程 求得 } 直到 ( ) k k 1 1 x fx + + ∆ 足够小
极限牛顿法 阻尼牛顿定律 一般阻尼定律 解方程/(x)△x=F(x)求解△ k+1 kak+ +△ 主要思想:线性搜索 找出a使得F(x2+a△x)取极小值 F(+x2)=F(+)F(x+) 该法在牛顿收敛方向执行一维搜索 SMA-HPC C2003 MIT
极限牛顿法 阻尼牛顿定律 SMA-HPC ©2003 MIT 一般阻尼定律 ( ) ( ) 1 1 1 1 kk k k F k k kk J x x Fx x xx x α + + + ∆ =− ∆ = +∆ ＋ 解方程 求解 主要思想：线性搜索 ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 2 1 11 2 k k kk T k kk k kk k kk Fx x Fx x Fx x Fx x α α α αα + + ++ + ∆ +∆ ≡ +∆ +∆ 找出 使得 取极小值 该法在牛顿收敛方向执行一维搜索
极限牛顿法 阻尼牛顿收敛定律 如果 F(x)≤B(反之不成立) b)()-()≤x=y(导数为 Lipschitz Cont 那么 存在一些列a∈(0使得 (r2)F(x+△x)F(x)其中<1 每进行一步迭代则减小了F全局收敛性 SMA-HPC C2003 MIT
极限牛顿法 阻尼牛顿收敛定律 SMA-HPC ©2003 MIT ( ) () () ( ] ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a) ( ) ) ( Lipschitz Cont) 0,1 1 k F F F k k k kk k J x b J x J y lx y Fx Fx x Fx β α αγ γ − + + ≤ − ≤− ∈ = +∆ < < 如果 反之不成立 导数为 那么 存在一些列 使得 其中 每进行一步迭代则减小了F——全局收敛性
极限牛顿法 阻尼牛顿法 实例 10 01-V=0 ④ 节点方程 10 SMA-HPC C2003 MIT
极限牛顿法 阻尼牛顿法 SMA-HPC ©2003 MIT 实例 1 0 10 1 0 d t r r V V d s I V I Ie − = ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠ 节点方程： ( ) ( ) ( ) 2 0 2 16 0.025 2 1 10 1 0 10 v v fv e − − − ⎛ ⎞ = + −= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
极限牛顿法 阻尼牛顿法 实例继续 25 20 f(2) +101(e-032-1)=0 10 15 10 0.2 0.4 0.6 0.8 SMA-HPC C2003 MIT
SMA-HPC ©2003 MIT 疑问解答续 方阵 极限牛顿法 阻尼牛顿法实例继续
极限牛顿法 嵌套迭代 x=初始值,k=0 重复{ 计算F(x 解方程 F(x)求得△x 找出使得(x+以△x)取极小值 x+a k=k+1 }直到F(一)足够小为止 如何求阻尼系数? SMA-HPC C2003 MIT
极限牛顿法 嵌套迭代 SMA-HPC ©2003 MIT ＝初始值， 0 x k = 0 重复{ ( ) ( ) () () ( ) 1 1 1 1 1 , 1 k k F kk k k F k k kk k k kk Fx J x J x x Fx x Fx x xx x k k α α α + + + + + ∆ =− ∆ + ∆ = +∆ = + 计算 解方程 求得 找出 使得 取极小值 } ( ) 1 1 , k k x Fx + + 直到 足够小为止 ∆ 如何求阻尼系数？
极限牛顿法 阻尼牛顿定律 定理证明 通过定义牛顿迭代 k+1 F 牛顿方向 多维均值迭代 F()-F()-(0)(x=y)≤5k 综合以上 Fx一(F F SMA-HPC C2003 MIT
极限牛顿法 阻尼牛顿定律 SMA-HPC ©2003 MIT 定理证明 通过定义牛顿迭代 ( ) ( ) 1 k kk k k 1 F x x J x Fx α − + = − 牛顿方向 多维均值迭代 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 F l F x Fy J y x y x y − − −≤ − 综合以上 ( ) () () () () () () 2 1 1 1 2 k k kk k k k k k FF F l Fx Fx J x J x Fx J x Fx α α − − + ⎡ ⎤ −− ≤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
极限牛顿法 阻尼牛顿定律 定理进一步证明 由上述证明 化简上式,将()移到范数符号外得 ()(=e=)k4r 利用雅可比矩阵的极限并分解范数得 ((=)e)+2p 得出关于阻尼系数的二次方程 SMA-HPC C2003 MIT
SMA-HPC ©2003 MIT 极限牛顿法 阻尼牛顿定律 定理进一步证明 由上述证明 ( ) () () () () () () 2 1 1 1 2 k k kk k k k k k FF F l Fx Fx J x J x Fx J x Fx α α − − + ⎡ ⎤ −− ≤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 化简上式，将 移到范数符号外得 ( )2 k α ( )( ) ( ) ( ) () () 2 2 1 1 1 2 k k k kk k k F l Fx Fx J x Fx α αα − + −− ≤ 利用雅可比矩阵的极限并分解范数得 ( ) ( ) () ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 k kkk k l Fx Fx Fx β α α + ⎡ ⎤ ≤− + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 得出关于阻尼系数的二次方程