NIVERSITY SCIENCE &e TECHNOLOGY CHINA 线性代数 教学改革 李尚志教授 中国科学技术大学 数学系
线性代数 教学改革 李尚志 教授 中国科学技术大学 数学系
空间为体,矩阵为用 研究对象-几何:线性空间(向量 研究工具--代数:矩阵运算 向量(问题)-m咖~→矩阵语言描述 >矩阵运算解决→向量(解答) ·与微积分的关系: 非线性微积分→线性线性代数→
空间为体, 矩阵为用 • 研究对象----几何：线性空间(向量) • 研究工具----代数：矩阵运算 • 向量(问题) --modeling→ 矩阵语言描述 →矩阵运算解决→ 向量(解答) • 与微积分的关系: 非线性 --微积分→ 线性 --线性代数→
抽象=? 抽象=难得糊涂 忽略差别提取共同点
抽象= ? • 抽象 = 难得糊涂: • 忽略差别,提取共同点
从问题出发 以解决问题为线索 展开数学内容
从问题出发 以解决问题为线索 展开教学内容
例:怎样建立向量的坐标 有方向和大小的量→坐标化→n数组 向量与坐标运算的对应 依赖于加法与数乘的运算律(8条公理 不直接依赖于平行四边形法则 基:坐标的唯一性一线性无关, 存在性一极大无关组 向量-坐标:同构 坐标变换数组空间中的坐标变换
例:怎样建立向量的坐标 • 有方向和大小的量 → 坐标化→ n 数组 • 向量与坐标运算的对应: 依赖于 加 法 与 数 乘 的 运 算 律 ( 8 条公理 ) 不直接依赖于平行四边形法则 • 基：坐标的唯一性 — 线性无关, 存在性 — 极大无关组 • 向量--- 坐标: 同构 • 坐标变换---数组空间中的坐标变换
例:解线性方程组 方程(向量)--系数组(坐标) 互为线性组合(初等变换) 今同解变形(高斯消去法) 只用到四则运算-数域的概念 关于方程个数的讨论:
例:解线性方程组 • 方程(向量)----- 系数组(坐标) • 互为线性组合(初等变换) → 同解变形(高斯消去法) • 只用到四则运算--数域的概念 • 关于方程个数的讨论:
方程个数有真假 线性无关与线性相关 x+y+x++0=0 3x+2y+2+-3=0几个方程? y+2+2+6=0 4个? 5x+4y+32+3au-=0 为何 以/x-2--50=0 y+2x+2+60=0 只剩2个? 有假!一某方程是其余的线性组合一线性相关 打假到底→极大无关组→货真价实(秩)2个
方程个数有真假 — 线性无关与线性相关 • 几个方程? • 4个? • • 为何 • 只剩2个? • 有假!--某方程是其余的线性组合--线性相关 • 打假到底 → 极大无关组→ 货真价实(秩)2个
秩(方程的真正个数)的唯一性 A (3个方程)142→方程组B1 方程组 (2个方程){B2 A1=a11B1+a12B A2=a21B1+a2B2 A3 31 B1+a32B2 关于A1,A2,A3的方程:A1A1+A2A2+入343=0 未知数个数3>方程个数2→有非零解 →A1,A2,A3线性相关 证明只依赖于运算律→将方程换成任意向量
秩(方程的真正个数)的唯一性 • 证明只依赖于运算律→ 将方程换成任意向量
行列式的性质 det(u, v+w)= det(u, w)det(u, w) det(u, v)=det(u,tau 0.2 0.6
行列式的性质 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 det(u,v+w)= det(u,w)+det(u,w) det(u,v)=det(u,v+au)
几何变换 ●(Xy)→(X1y) ●X=f1(×y),y=f2(Xy) 曲线C:X=X(t),y=y(t)→ 曲线C′:X=f1(X(t),y(t), y=f2 x(ty(t)
几何变换 •(x,y) → (x’,y’) •x’=f1 (x,y), y’=f2(x,y) • 曲线C: x=x(t),y=y(t) → 曲线C’: x=f1(x(t),y(t)), y=f2(x(t),y(t))