第03章离散傅里叶变换及其快 速算法 邹江 zhujiang@public.wh.hb.cn
第03章 离散傅里叶变换及其快 速算法 邹江 zoujiang@public.wh.hb.cn
z平面 N=8 23 Y(k) N k=0 2x k=7 N 图34DFT与Z变换和傅氏变换的关系 这意味着,对于时间有限信号,可以像频带有限信号进行时域 采样而不丢失任何信息一样,可以在频域上进行采样而不丢失任 何信息。这正是傅里叶变换中时域和频域对偶关系的反映,这有 着十分重要的意义。DFT实现了频域离散化,开辟了在频域采用 数字技术处理的新领域。 这使我们自然想到,对于任意一个频率特性,是否均能用频域 采样的办法来逼近,这是一个很吸引人的问题,因为用频率采样 来逼近,可使问题大大简化。因此我们要讨论频率采样的可行性 以及所带来的误差
这意味着，对于时间有限信号，可以像频带有限信号进行时域 采样而不丢失任何信息一样，可以在频域上进行采 样而不丢失任 何信息。这正是傅里叶变换中时域和频域对偶关系的反映，这有 着十分重要的意 义。DFT实现了频域离散化，开辟了在频域采用 数字技术处理的新领域。 这使我们自然想到，对于任意一个频率特性，是否均能用频域 采样的办法来逼近，这是一个很吸引人的问题，因为用频率采样 来逼近，可使问题大大简化。因此我们要讨论频率采样的可行性 以及所带来的误差
3.4频率取样 频率取样是指对序列的傅里叶变换或系统的频率特性进行取样 本节讨论在什么条件下能够用得到的频谱取样值无失真地恢复原 信号或系统。 设任意长序列xn)绝对可和,其Z变换表示为 x(z)=2x(n) 如果在单位圆上对X()进行等角距取样,取样点数为M,则得 x(k)=X(z)-w=∑x(n)W 根据DFT的定义,对X(k)求反变换得 M∑X(w
3. 4 频率取样 频率取样是指对序列的傅里叶变换或系统的频率特性进行取样 。 本节讨论在什么条件下能够用得到的频谱取样值无失真地恢复原 信号或系统。 设任意长序列x(n)绝对可和，其Z变换表示为 如果在单位圆上对X(z)进行等角距取样，取样点数为M，则得 根据DFT的定义，对X(k)求反变换得
现在我们来考察x()与原序列x(n)的关系,看它如何才能代表原 序列x(n) 根据上面两式可得: M-1 (n) M∑2(m)WW2+∑ E( ∑W kCn-m) M k=0 因为 1, m= n+ rl M∑Wn (r为任意整数 ≠n+rM 所以 I(n)=>x(n+rM) 上式表明,在z平面的单位圆上对序列的Z变换进行等角距取样, 将导致时间序列的周期延拓。这一结果与对连续时间信号取样导 致频谱周期延拓类似
根据上面两式可得： 因为 所以 上式表明，在z平面的单位圆上对序列的Z变换进行等角距取样， 将导致时间序列的周期延拓。这一结果与对连续时间信号取样导 致频谱周期延拓类似。 现在我们来考察xp (n)与原序列x(n)的关系，看它如何才能代表原 序列x(n)
a(n)是原非周期信号x()的周期延拓序列,因此x门)是一个周 期序列,其主值为 (0)=x()R()=[∑x(n+rM)]R(n 在xm)为有限长度N的情况下,如果取样点MN,那么x(n)周期延 拓的结果不会产生混叠。这时,xn)的主值xn)与原序列xn)样, 因此xn)完全能代表原序列x) 如果MN,即延拓的周期M小余有限序列的长度N,则x(n)周期 延拓后一定产生混叠,因而x(m)不能无失真地代表原信号x(n)。在 x(n)为无限长的情况下,对Z变换取样必然导致混叠失真,因此xn) 不能代表原序列x(n)。(见下图)
xp (n)是原非周期信号x(n)的周期延拓序列，因此xp (n)是一个周 期序列，其主值为 在x(n)为有限长度N的情况下，如果取样点M≥N，那么x(n)周期延 拓的结果不会产生混叠。这时，xp (n)的主值xN (n)与原序列x(n)一样， 因此xN (n)完全能代表原序列x(n)。 如果M<N，即延拓的周期M小余有限序列的长度N，则x(n)周期 延拓后一定产生混叠，因而xN (n)不能无失真地代表原信号x(n)。在 x(n)为无限长的情况下，对Z变换取样必然导致混叠失真，因此xN (n) 不能代表原序列x(n)。（见下图）
I() M-N 混迭 因此,对于长度为N的有限长序列,对Z变换取样即频率取样不 失真的条件,是取样点数M应等于或大于原序列的长度N,即M≥N。 在M=N时,乙变换的取样即DFTX(k),利用DFT公式可由X(k)恢复原 序列x(n),即 x(n) X(kw 这就是频域采样定理
因此，对于长度为N的有限长序列，对Z变换取样即频率取样不 失真的条件，是取样点数 M应等于或大于原序列的长度N，即M≥N。 在M＝N时，Z变换的取样即DFT X(k)，利用IDFT公式可由X(k)恢复原 序列x(n)，即 这就是频域采样定理
对于有限长序列x(n),满足频域采样定理时,M点频域采样Ⅹ(k)就 足以不失真地代表序列的特性。因此,由此M个采样值Xk应能完 全地表达整个X(2)函数及频率特性X(e)。即由M点X(k)可内插恢复出 (2)或X(e 因为k(》=2x)Wx(m)=1Ex(k)W所以 k=0 x(x)=∑x(m)2”=2 N ∑X(k)W =一o N-1 1-W kN--N N ∑X(k)∑Wz-]=N∑X(k k=0 1一Wz 1一z N ∑X 1-WNZz N 攻写为x(2)=∑x(A)0(其中(2)=x1= z N N 上式就是用X(2)在单位圆上的N个取样值X(k)表示X()的内插公式 内插函数为@(z)
改写为 其中 上式就是用X(z)在单位圆上的N个取样值X(k)表示X(z)的内插公式， 内插函数为 对于有限长序列x(n)，满足频域采样定理时，M点频域采样X(k)就 足以不失真地代表序列的特性。因此，由此M个采样值X(k)应能完 全地表达整个X(z)函数及频率特性X(ejω)。即由M点X(k)可内插恢复出 X(z)或X(ejω)。 因为 所以
如果Z=e则可以得到傅里叶变换的内插公式, (e-)=∑X(k)0(e) -e N sin(ωN/2) e-(学一影+ 2T Nsin 2π 结论 长度为N的序列x(n),其N个频域取样值X(k)可以不失真地代 表它,X(k)还能完整的表示序列的Z变换X(z)和傅里叶变换
如果 则可以得到傅里叶变换的内插公式， 结论： 长度为N的序列x(n)，其N个频域取样值X(k)可以不失真地代 表它，X(k)还能完整的表示序列的Z变换X(z)和傅里叶变换