第02章离散时间信号和离 散时间系统 邹江 zoujiang(@public.wh.hb.cn
第02章 离散时间信号和离 散时间系统 邹江 zoujiang@public.wh.hb.cn
2.7系统函数 描述线性非移变系统的方式: 线性常系数差分方程、单位取样响应、频率响应描述 系统函数。 1、系统函数的定义 设x(n)、y(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入、输出和 单位取样响应,X(z)Y(z)和H(z)分别表示相应的Z变换。 系统函数定义为 H(z) h(n)z Y(z) X(z) 它是单位取样响应h(n)的Z变换
2. 7 系统函数 描述线性非移变系统的方式： 线性常系数差分方程、单位取样响应、频率响应描述、 系统函数。 设x(n)、y(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入、输出和 单位取样响应，X(z)、Y(z)和H(z)分别表示相应的Z变换。 系统函数定义为 它是单位取样响应h(n)的Z变换。 1、系统函数的定义
系统函数与系统差分方程的关系 线性非移变系统可以用线性常系数差分方程描述: N 4y(n-k)=∑bx(n 对上式两边求Z变换,利用线性性质和时不变性质,得 N M z y(z) b, z X(z) 因此 6.z H(z) Y(z) = X(e) k k=0 可见系统函数的系数也正是其差分方程的系数
2、系统函数与系统差分方程的关系 线性非移变系统可以用线性常系数差分方程描述： 对上式两边求Z变换，利用线性性质和时不变性质，得 因此 可见系统函数的系数也正是其差分方程的系数
系统函数还可以进一步分解成 A(1-cz-) H(z)=n 正I (1-dz-1) 式中,{d)和{cr}分别表示H(z)在z平面上的极点和零点 这样,系统函数可以用z平面上的极点、零点和常数A来 确定。 例根据系统函数求差分方程 (1+z-1)2 H(z)= 3 1+z 4 求该系统的差分方程
系统函数还可以进一步分解成： 式中，{dk )和{cr}分别表示H(z)在z平面上的极点和零点。 这样，系统函数可以用z平面上的极点、零点和常数A来 确定。 例 根据系统函数求差分方程 求该系统的差分方程
为了求满足该系统输入输出的差分方程,可以将H(z)的分 子和分母各因式乘开,而得到如下的形式: H(x)=1++2=y(2 1+z1_3 于是, 1+4-1-82y()=(1+2+23)x(x 其差分方程就是 yn]+4yn-1~3n-2=xn]+2xLn-1]+x[n-2]
为了求满足该系统输入输出的差分方程，可以将H(z)的分 子和分母各因式乘开，而得到如下的形式： 于是， 其差分方程就是
3、系统函数的收敛域与系统的稳定性 已知线性非移变系统稳定的充要条件: ∑|h(n)2”< k=一∞ 当z=1时,上式变成 ∑团h(n)< 这就是系统稳定的充要条件 因此,若系统函数在单位圆上收敛,则系统是稳定的。 这也意味着,如果系统函数H(z)的收敛域包括单位圆, 则系统是稳定的。反之,如果系统稳定,则系统函数H(z) 的收敛域一定也包括单位圆
3、系统函数的收敛域与系统的稳定性 已知线性非移变系统稳定的充要条件： 当|z|=1时，上式变成 这就是系统稳定的充要条件。 因此，若系统函数在单位圆上收敛，则系统是稳定的。 这也意味着，如果系统函数H(z)的收敛域包括单位圆， 则系统是稳定的。反之，如果系统稳定，则系统函数H(z) 的收敛域一定也包括单位圆
显然,一个稳定的因果系统的系统函数的收敛域应该是 Rx-<|z|≤+∞ 0<Rx<1 例2.21设一个线性非移变系统的系统函数为 1-2z1 H(z)= 1+2z-1+÷z-2 8 试画出极零点分布图,并确定H(z)的收敛域和稳定性
显然，一个稳定的因果系统的系统函数的收敛域应该是 例2. 21 设一个线性非移变系统的系统函数为 试画出极-零点分布图，并确定H(z)的收敛域和稳定性
解对H(z)的分母进行因式分解得 2÷ z(z 2 H(z)= 1+1x-(4+1z)(x+4)(x+2 极点为z=-14,z2=-1/2;零点为z1=0,z2=1/2 )若收敛域是极点z2=-12所在的圆 x平面的外部区域,且 z 3 1+z 说明该系统的Z变换没有正幂项,根据z变换的定乂式,说 明n0时x(m)才有定义,那么系统是因果的
解 对H(z)的分母进行因式分解得 极点为z1 =-1/4, z2 =-1/2；零点为z1=0, z2=1/2。 (1)若收敛域是极点z2 =-1/2所在的圆 的外部区域，且 说明该系统的Z变换没有正幂项，根据z变换的定义式，说 明n≥0时x(n)才有定义，那么系统是因果的
系统的收敛域为-21<|z≤+a 因为该收敛域包含了单位圆,所以系统是稳定的 (2)若收敛域选的是极点z1=-1/4所在的圆的内部区域,且 之(z 说明Z变换没有负幂项,根据z 0(z+)(x+) 变换的定义式,说明n≤0时x(m) 2)才有定义, 那么系统是逆因果的,系统的收敛域为Q≤|z|<| 因为收敛域没有包含单位圆,所以系统是不稳定的 (3)若收敛域是极点z1=14与z2=-12所在的两个圆之间的 环域,即=<|z< 2 则因为单位圆没有包含在收敛域中,所以系统是不稳定的
(2)若收敛域选的是极点z1 =-1/4所在的圆的内部区域，且 那么系统是逆因果的，系统的收敛域为 因为收敛域没有包含单位圆，所以系统是不稳定的。 (3)若收敛域是极点z1=-1/4与z2=-1/2所在的两个圆之间的 环域，即 则因为单位圆没有包含在收敛域中，所以系统是不稳定的。 系统的收敛域为 因为该收敛域包含了单位圆，所以系统是稳定的。 说明Z变换没有负幂项，根据z 变换的定义式，说明n≤0时x(n) 才有定义
从上例可以看出,因果性和稳定性不一定是互为兼容的 要使输入输出满足标准差分方程的线性时不变系统既因 果又稳定,相应系统函数的收敛域必须是位于最外面极 点的外面,又包括单位圆 很显然,这就等于要求该系统函数的全部极点都在单位 圆内
从上例可以看出，因果性和稳定性不一定是互为兼容的。 要使输入输出满足标准差分方程的线性时不变系统既因 果又稳定，相应系统函数的收敛域必须是位于最外面极 点的外面，又包括单位圆。 很显然，这就等于要求该系统函数的全部极点都在单位 圆内