第03章离散傅里叶变换及其快 速算法 邹江 zhujiang@public.wh.hb.cn
第03章 离散傅里叶变换及其快 速算法 邹江 zoujiang@public.wh.hb.cn
3.2离散傅里叶变换及其性质 32.1离散傅里叶变换(DFT) 有限长序列的傅里叶变换称为离 散傅里叶变换,简写为DFT。 DFT可以按3个步骤由DFS推导 出来: 0 N ①将有限长序列延拓成周期序列; a(n) ②求周期序列的DFS; ③从DFS中取出一个周期便得到|二N N 有限长序列的DFT。 (b) 主值区间 图3.3有限长序列及其周期延拓 (a)有限长序列(b)延拓后的周期序列
3.2 离散傅里叶变换及其性质 3.2.1离散傅里叶变换(DFT) 有限长序列的傅里叶变换称为离 散傅里叶变换，简写为DFT。 DFT可以按3个步骤由 DFS推导 出来： ①将有限长序列延拓成周期序列； ②求周期序列的DFS； ③从DFS中取出一个周期便得到 有限长 序列的DFT
将xm延拓成周期为N的周期序列交(n) r (n) x(n+rN) 如上图所示 显然有 x(n),0≤n≤N一1 x(n) 0, 其它 孑(n)的第一个周期,即n=0到N1的序列称为主值序列,n=0到 N-1的范围称为主值区间 上述两式可分别表示为上(n)=x((n)A x(n)=x(n)·RN(n) 其中RNn)是矩形序列。符号(n)表示n对模N的余数,即 n=kN+(n)),0≤(n))≤N 这里k是商
将x(n)延拓成周期为N的周期序列 如上图所示。 显然有 的第一个周期，即n＝0到N-1的序列称为主值序列，n=0到 N-1的范围称为主值区间。 上述两式可分别表示为 其中RN (n)是矩形序列。符号((n))N表示n对模N的余数，即 这里k是商
同理,可以认为周期序列(n)的DFS系数区(A是有限长序列X) 周期延拓的结果,而X()是区】的主值序列。即 8(k)=K(k))N X(k)=8(k)·Rx(k) 由此便可以得出有限长序列的离散傅里叶变换ODFT)的表示式为 x( n)w 0≤k≤N一1 X(k)=DFTLx(n)] 其它 r(n)=IDFTEX(k]=N20 「∑x(k)W*,0≤n≤N-1 0 其宜 由此可见,有限长序列x(n)的DFT即Xk)仍是有限长序列
同理，可以认为周期序列 的DFS系数 是有限长序列X(k) 周期延拓的结果，而 X(k)是 的主值序列。即 由此便可以得出有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)的表示式为 由此可见，有限长序列x(n)的DFT即X(k)仍是有限长序列
在一般情况下,X(k)是一个复量,可表示为 X(k)=XRk)+jX,(k) 或 X(k)=IX(k)leNCk) 式中|x(k)=[X(k)+x(k)] 0(足)= arctan X1(k) XROk) 例3.1求有限长序列 (n)s/a°,0≤n≤N 0,其它 的DFT,其中a=0.8,N=8
在一般情况下，X(k)是一个复量，可表示为 或 式中 例3. 1 求有限长序列 的DFT，其中a=0.8，N=8
解: x(k)=DFTLx(n)]=>@wk=>(ae-iN) =0 0 0≤k≤7 ae jTk 因此得 X(0)=416114 X(4)=0.46235 X(1)=0.710630.92558×5)=0.47017+10.16987 X(2)=0.507460.40597×(6)=050746+j0.40597 X(3)=0470170.16987×(7)=0.710631092558 Maab实现f1m
解： 因此得 X(0)=4.16114 X(1)=0.71063-j0.92558 X(2)=0.50746-j0.40597 X(3)=0.47017-j0.16987 X(4)=0.46235 X(5)= 0.47017+j0.16987 X(6)= 0.50746+j0.40597 X(7)= 0.71063+j0.92558 Matlab实现 fft1.m
将x(n)的Z变换 (z)=2[xn)]=∑x(n)z 与x(n)的DFT N X(k)=DFT[(n)]=2I(n)Wk n=0 进行对比,可以看出(k)=X(2)|+W 式中,kz=W=e表示z平面单位圆上辐角知 N (k=0,1,…N1)的N个等间隔点。 z平面 N=8 Z变换在这些点上的取样值就是 X(k) Xk)。在图34(b)中的虚线包络是 =0 单位圆(z=e)上的乙变换,即傅 k=7 里叶变化X(e) 图34DFT与Z变换和傅氏变换的关系
将x(n)的Z变换 与x(n)的DFT 进行对比，可以看出 式中， 表示z平面单位圆上辐角 (k=0,1,…N-1)的N个等间隔点。 Z变换在这些点上的取样值就是 X(k)。在图3.4(b)中的虚线包络是 单位圆(z=ejω)上的Z变换，即傅 里叶变化X(ejω)
关于离散傅里叶变换(DFT 序列x(n)在时域是有限长的(长度为N),它的离散傅里叶变 换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N)。 癱n为时域变量,k为频域变量。 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别,DFT实 际上是离散傅里叶级数的主值,DFT也隐含有周期性 离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 DFT的物理意义:序列x(n)的乙变换在单位圆上的等角距取 样
关于离散傅里叶变换(DFT)： 序列x(n)在时域是有限长的(长度为N)，它的离散傅里叶变 换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N)。 n为时域变量，k为频域变量。 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实 际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。 离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在单位圆上的等角距取 样
3.2.2离散傅里叶变换的性质 DFT隐含着周期性,因此在讨论DFT的性质时,常与DFS的概念 联系起来,并把有限长序列看作周期序列的一个周期来处理 设x(n)和x2()的长度都为N,且它们对应的DFT分别为X(k)和×2(k) 线性 设x3(n)=ax1n)+bx2(),a和b都为常数,则 X3(k)=DFTLax,(n)+bx2(n)]=aX(k)+bX2(k) 若它们长度不等,取长度最大者,将短的序列通过补零加长,注 意此时DFT与未补零的DFT不相等 此性质可以直接由DFT的定义进行证明
3.2.2 离散傅里叶变换的性质 DFT隐含着周期性，因此在讨论DFT的性质时，常与DFS的概念 联系起来，并把有限长序列看作周期序列的一个周期来处理。 设x1 (n)和x2 (n)的长度都为N，且它们对应的DFT分别为X1 (k)和X2 (k)。 1．线性 设x3 (n)=ax1 (n)+bx2 (n)，a和b都为常数，则 若它们长度不等，取长度最大者，将短的序列通过补零加长，注 意此时DFT与未补零的DFT不相等。 此性质可以直接由DFT的定义进行证明
2.对称性 最常遇到的是实序列。设x(n)是一个长度为N的实序列,且 DFTIX(n)Xk),则有 X(k)=X·(N一k 这意味着 ReX〔)]=ReX(N一k] Im[X(k)]=-Im[X(N-是) 或 X(k)|=|x(N一k) arg[X()]=-arg[X(N-k)] 这就是说,实序列的DFT系数X(k)的模是偶对称序列,辐角是 奇对称序列 对于复序列也有相应的共轭对称性
2．对称性 最常遇到的是实序列。设x(n)是一个长度为N的实序列，且 DFT[x(n)]=X(k)，则有 这意味着 或 这就是说，实序列的DFT系数X(k)的模是偶对称序列，辐角是 奇对称序列。 对于复序列也有相应的共轭对称性