第02章离散时间信号和离 散时间系统 邹江 zoujiang(@public.wh.hb.cn
第02章 离散时间信号和离 散时间系统 邹江 zoujiang@public.wh.hb.cn
|2.4离散时间信号和系统的频域描述 2.4.1离散时间信号的傅里叶变换 众所周知,连续时间信号f(t)的傅里叶变换定义为: F(i)=[f()]=|f()e-adt(232) 而j2)的傅里叶反变换定义为 f(t)=B-1[F(j2)] F(j)ed2(2.33) 2π
2. 4 离散时间信号和系统的频域描述 2. 4. 1 离散时间信号的傅里叶变换 众所周知，连续时间信号f(t)的傅里叶变换定义为： 而f(jΩ)的傅里叶反变换定义为
类似地,可以把离散时间信号x(n)的傅里叶变换定义为 X(e")=s[x(n)]= C(n)e (2.34a) X(e)的傅里叶反变换定义为 x)=s1xe")]=1xe")e-d(234b 在物理意义上,X(e)表示序列x(n)的频谱,o为数字域 频率。X(e)一般为复数,可用它的实部和虚部表示为 (e)=XR(e)+jX(e)(2.35) 或用幅度和相位表示为 K(e")=|X(e)|en*()=X()eo)(2.36)
类似地，可以把离散时间信号x(n)的傅里叶变换定义为 X(ejω)的傅里叶反变换定义为 在物理意义上，X(ejω)表示序列x(n)的频谱，ω为数字域 频率。 X(ejω)一般为复数，可用它的实部和虚部表示为 或用幅度和相位表示为
例2.9求下列信号的傅里叶变换 x(n)=a(n)(a为实数,且0<a<1) X(e) a e ae n=0 n=0 1-ae- 离散时间信号的傅里叶变换具有以下两个特点: (1)X(el)是以2为周期的o的连续函数。 (2)当xn)为实序列时,X(e)的幅值X(e)在0≤0×2π区间 内是偶对称函数,相位argX(e是奇对称函数 ye) cx( 27
例2．9 求下列信号的傅里叶变换 解 离散时间信号的傅里叶变换具有以下两个特点： (1)X(ejω)是以2π为周期的ω的连续函数。 (2)当x(n)为实序列时，X(ejω)的幅值| X(ejω) |在0≤ω≤2π区间 内是偶对称函数，相位arg[X(ejω)]是奇对称函数
值得注意的是,式(2.34a)中右边的级数并不总是收敛的, 或者说并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。 只有当序列x(n)绝对可和,即 ∑|z(n)|<∞(2.39 时,式(2.34a)中的级数才是绝对收敛的,或x(n)的傅里 叶变换存在
值得注意的是，式(2. 34a)中右边的级数并不总是收敛的， 或者说并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。 只有当 序列x(n)绝对可和，即 时，式(2. 34a)中的级数才是绝对收敛的，或x(n)的傅里 叶变换存在
2.4.2离散时间信号的傅里叶变换的性质 (1)序列的傅里叶变换的线性 设(e")=[x1(n)],x2(e")=[x2(n)则 [ax1(n)+bx2(n)]=ax1(e)+bX2(e)(2.40) 2.序列的移位 设9[x(n)]=X(e)则 [x(n-k)]=e-X(e")(2.41 3.序列的调制 设[x(n)]=X(e")则 [e:x(n)]=X(e-+)(242
2. 4. 2 离散时间信号的傅里叶变换的性质 (1) 序列的傅里叶变换的线性 设 则 2．序列的移位 设 则 3．序列的调制 设 则
4.序列的折叠 设[x(n)]=X(e")则 [x(-n)]=X(e-")(243) 5.序列乘以n 设[x(n)=X(e)则 wInx(n)]=j dx(e) 6.序列的复共轭 设[x(n)=X(e")则 [x(n)=X(e-)(244 另[x*(-n)]=X(e)(2.45)
4．序列的折叠 设 则 5．序列乘以n 设 则 6．序列的复共轭 设 则
7.序列的卷积 设[x(n)]=X(e) FLy(n)]=Y(e),w(n)=x(n)*y(ny W(e")=[x(m)*y(n)]=X(e)Y(e)(2.46 8.序列相乘 设所[r(n)=X(e s[y(n)]=Y(e),(n)=x(n)·y(n)则 W(e)=dx(e-)*Y(e")=|x(e")Y(e-0)d0(2.47) 2
7．序列的卷积 设 则 8．序列相乘 设 则
9.序列的傅里叶变换的对称性 首先定义两个对称序列:共轭对称序列x(m),定义为 x(n)xg(-n);共轭反对称序列x(n)定义为x(n)=-x(-n), 此处上标*表示复共轭。 x(n)=x2(n)+x(n)(2.48a) 其中 x(n)=0[x(n)+x:(-n)](2.48b (n) [x(n)-x(-n)](2.48c 2 共轭对称实序列称为偶序列,而共轭反对称实序列称为奇 序列
9．序列的傅里叶变换的对称性 首先定义两个对称序列： 共轭对称序列xe (n)，定义为 xe (n)=xe * (-n)；共轭反对称序列xo (n)定义为xo (n)=-xo * (-n)， 此处上标*表示复共轭。 其中 共轭对称实序列称为偶序列，而共轭反对称实序列称为奇 序列
序列的傅里叶变换X(eo)可以被分解成共轭对称与共轭 反对称两部分之和,即 X(e")=X(e)+X。(e)(2.49a) 其中 ⅹ(e")=[X(e)+x(e-)](2.49b) x。(e")=[x(e)-x·(e-)](2.49c 设复序列x(n)的傅里叶变换为X(e),x(n)的实部Re[x(n) 和虚部jmx(n)的傅里叶变换分别为 R[x=5tx)+x()]=Xc)+x(】一x s[jm[x(n)]=s[[x(n)-x(n)]=Xe")-x(e)]=x(e
序列的傅里叶变换X(ejω)可以被分解成共轭对称与共轭 反对称两部分之和，即 其中 设复序列x(n)的傅里叶变换为X(ejω)，x(n)的实部Re[x(n)] 和虚部jIm[x(n)]的傅里叶变换分别为