
第、章 空间解析儿何与向量代教 第一部分向量代数 第二部分空闷解折儿何 在三雅空间中: 空同形式一点,孩,面 11 数量关系一坐标,方程() 基牵方法一坐标法:向量法
数量关系 — 第八章 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标, 方程(组) 空间解析几何与向量代数

第一节向量及其孩性运算 ·一、向量橇念 ·二、向量的孩性运算 ·三、空间直角坐标 ·四、利用坐标作向量的孩性适算 ”五、向量的模、方向角、校影
第一节 向量及其线性运算 • 一、向量概念 • 二、向量的线性运算 • 三、空间直角坐标系 • 四、利用坐标作向量的线性运算 • 五、向量的模、方向角、投影

一、向量的概念 向量(矢量):既有大小又有方向的量 以M为起点,M为终点的有向线段 M 向量表示:或MM, 向量的模:向量的大小.|d|或M,M 单位向量:模长为1的向量.e或a或M,M2 零向量:模长为0的向量.0 >注:零向量的方向是任意方向
向量(矢量):既有大小又有方向的量. 向量表示: M1 M2 或 1 2 a M M 模长为1的向量. 零向量:模长为0的向量. 0 向量的模:向量的大小. 单位向量: 0 0 a 1 2 e a M M 或 或 以M1为起点,M2为终点的有向线段 注:零向量的方向是任意方向 或 1 2 | | a M M 一、向量的概念

自由向量(简称向量):不考虑起点位置的向量 向量相等:大小相等且方向相同的向量 a 负向量:大小相等但方向相反的向量.一 -q
自由向量(简称向量):不考虑起点位置的向量. 向量相等:大小相等且方向相同的向量. 负向量:大小相等但方向相反的向量. a a b a a

向量的夹角: 设有两个非零向量,任取空间一点0,作0A=4,0B=6 规定不超过π的∠AOB,(设p=∠AOB,0≤p≤π)称为 向量a与的夹角,记作(a,b)或b,即(a,=p. B b > 注意:1°向量间的夹角的范围是0π,即0≤(a,≤π. 2若两向量与冲有一个是零向量,则规定它们的 夹角可以是0到π之间的任意值
向量的夹角: 设有两个非零向量,任取空间一点 作 规定不超过 的 ,(设 )称为 向量 与 的夹角,记作 或 ,即 , , , 0 ( , ) ( , ) ( , ) . O OA a OB b AOB AOB a b a b b a a b 若两向量 与 中有一个是零向量,则规定它们的 夹角可以是 到 之间的任意值 0 2 0 . a b O A B a b 0 注意: 1 0 0 ( , ) . 向量间的夹角的范围是 ,即 a b

平行:若(a,b=0或π 记作a1/6 垂直:若列-牙记作a1石 注:零向量与任意向量都平行, 零向量与任意向量都垂直. 共线:当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公共起点应在一条直线上,因此 两向量平行,又称为两向量共线 共面:设有k(≥3)个向量,当它们的起点放在同一 点时,若k个终点和公共起点在一个平面上,就称这 k个向量共面
平行: 垂直: 若( , 0 a b) 或 记作a b / / 若( , ) 记作 2 a b a b 注:零向量与任意向量都平行, 零向量与任意向量都垂直. 共线:当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公共起点应在一条直线上,因此 两向量平行,又称为两向量共线. 共面:设有k(k≥3)个向量,当它们的起点放在同一 点时,若k个终点和公共起点在一个平面上,就称这 k个向量共面

二、向量的线性运算 1、向量的加减法 b [山加法:d+b= (平行四边形法则) (平行四边形法则有时也称为三角形法则) 特殊地:若a/1b分为同向和反向 b Ha+1b列 L b c a 1=la-16列
[1] 加法: a b c a b c (平行四边形法则) a b c | | | | | | c a b 特殊地:若 a b / / 分为同向和反向 b a c | | | | | | c a b (平行四边形法则有时也称为三角形法则) 1、向量的加减法 二、向量的线性运算

S=41+2+43+04+ a
s 3 a 4 a 5 a 2 a 1 a 1 2 3 4 5 s a a a a a

向量的加法符合下列运算规律: (1)交换律:a+b=b+a. (2)结合律:a+b+c=(d+b)+c=i+(b+c) (3)i+(-=0. 2减法d-方=d+(-b) c=i+(-b) d-6 =a-b
向量的加法符合下列运算规律: (1)交换律: a b b a . (2)结合律: a b c a b c a b c ( ) ( ). (3) a a ( ) 0. [2] 减法 a b a b ( ) a b b b c c a b ( ) a b a b a b a b c

特殊地:a-4=0 三角不等式:a+≤d+l a-b≤a+bl
特殊地: a a 0 三角不等式: a b a b a b a b