第三爷三重积分 ·一、三重积分的橇念 ·二、三重积分的计算 ·三、小结练司数
第三节 三重积分 • 一、三重积分的概念 • 二、三重积分的计算 • 三、小结 练习题
一、三重积分的定义 设f(x,y,z)是空间上有界闭区域2的有界函数， 将闭区域2任意分成个小闭区域△y,△y2,.,△yn, 其中△y,表示第个小闭区域，也表它的体积，在每 一个△，上任取一点(5，5)作乘积f(5,7,5)△y: (i=1,2,.,m),并作和∑f(5,7,5)△y,如果当各个 i=l 小闭区域直径中的最大值趋于时这和的极限总存 在，则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域2上的三重 积分.记作订f(x,z)w,即
1 2 1 ( , , ) , , , ( , , ) ( , , ) ( 1,2, , ), ( , , ) ( , , ) n i i i i i i i i i n i i i i i f x y z n v v v v i v f v i n f v f x y z 设 是空间上有界闭区域 的有界函数， 将闭区域 任意分成 个小闭区域 ， 其中 表示第 个小闭区域，也表它的体积，在每 一个 上任取一点 ，作乘积 并作和 ，如果当各个 小闭区域直径中的最大值趋于零时这和的极限总存 在，则称此极限为函数 f x y z dv ( , , ) , 在闭区域 上的三重 积分.记作 即 一、三重积分的定义
∬fx,2=m2f5,n5,y i=1 其中dw叫做体积元素. 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面 的平面来划分2，则dy=dxdydz. 于是三重积分记作 j∬fx,z)w=可j∬fx,z)k 其中dck叫做直角坐标系中的体积元素
其中dv叫做体积元素. , d d d d . v x y z 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面 的平面来划分 则 其中dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素. 0 1 ( , , ) lim ( , , ) n i i i i i f x y z dv f v f x y z dv f x y z dxdydz ( , , ) ( , , ) 于是三重积分记作
三重积分的物理意义： 如果f(x,y,z)表示某物体在(x,y,z)处的质量密度， 2是该物体占有的空间区域，且f(x,y,z)在2上连 续，则和式∑f(传5，n,5:)△，就是物体质量m的近似 值，当入→0时的极限值即为物体质量，故 m=Jj∬f,yz)dw 特别的，当f(c,y,z)=1时，叮w=V,V是2的体积
1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) m m m ( , , ) ( , , ) 1 V,V n i i i i i f x y z x y z f x y z f v f x y z dv f x y z dv 如果 表示某物体在 处的质量密度， 是该物体占有的空间区域，且 在 上连 续，则和式 就是物体质量 的近似 值，当 0时的极限值即为物体质量 ，故 特别的，当 时， 是 的体积. 三重积分的物理意义：
二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 我们的思想是通过定积分或二重积分来计算三 重积分叮f(x,z)w,最终目标是化为三次积分. 方法： 方法1.投影法(“先一后二”) 方法2.截面法(“先二后一”) 最后，推广到一般可积函数的积分计算
二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) f x y z dv ( , , ) , . 我们的思想是通过定积分或二重积分来计算三 重积分 最终目标是化为三次积分 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 方法:
方法1.投影法(“先一后二”) 如图：闭区域2在x0y z=2(比，y) 面上的投影为闭区域D, S1:z=z1(x,y), S2:7=72(X,y) =(比，y) 过点(x,y)∈D作直线， 从名穿入，从3穿出. =y(x =y(x)
: , xoy D 如图 闭区域 在 面上的投影为闭区域 1 1 2 2 : ( , ), : ( , ), S z z x y S z z x y 1 2 ( , ) , x y D z z 过点 作直线 从 穿入，从 穿出． 1 z 2 z S2 S1 1 z z x y ( , ) 2 z z x y ( , ) a b 1 y y x ( ) 2 y y x ( ) ( , ) x y x y z o D 方法1. 投影法 (“先一后二” )
在此情形下积分区域Ω可表示为 2:{(x,y,z)川z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈D} 先将x,y看作定值，将f(x,y,z)只看作z的函 数，则在区间[z(x,y),2(x,y)门上对在积分得 F=f地 计算F(K,y)在闭区间D上的二重积分 顶fav-Fxo=fc2wo
1 2 , ( , , ) ( , ), ( , ) x y f x y z z z x y z x y 先将 看作定值，将 只看作 的函 数，则在区间[ ]上对在积分得 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) z x y z x y F x y f x y z dz 计算 F x y D ( , ) 在闭区间 上的二重积分 1 2 :{( , , ) | ( , ) ( , ),( , ) } x y z z x y z z x y x y D 在此情形下积分区域 可表示为 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) [ ( , , ) ] . z x y z x y D D F x y d f x y z dz d
假设D:y,(x)≤y≤y,(x),u≤x≤b, j∬fx,八z) = 32(x,y) f(x,y,z). 三次积分 注意 这是平行于z轴且穿过闭区域Ω内部的直线 与闭区域Ω的边界曲面S相交不多于两点情形
f x y z dv ( , , ) 注意 z S 这是平行于 轴 且 穿 过 闭 区 域 内 部 的 直线 与 闭 区 域 的 边界 曲 面 相 交不 多 于两 点情形． 1 2 假设 D y x y y x a x b : ( ) ( ), , 得 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) . b y x z x y a y x z x y dx dy f x y z dz 三次积分
例1计算三重积分∬xdxdydz,其中2为三个 坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域。 解：设2在xoy面上的投影为D,则 D:{x,y川0≤y≤(1-x),0≤x≤1 又有0≤z≤1-x-2y C0,0,1) 0≤z≤1-x-2y B(0, 即2：0≤y≤1-) 0≤x≤1 A(1,0,0)
1 2 1 . xdxdydz x y z 例 计算三重积分 ，其中 为三个 坐标面及平面 所围成的闭区域 解: 0 1 2 1 : 0 (1 ) 2 0 1 z x y y x x 即 1 :{( , ) | 0 (1 ),0 1} 2 D x y y x x 又有0 1 2 z x y 设Ω在xoy面上的投影为D,则 D x y z o A(1,0,0) C(0,0,1) 1 (0, ,0) 2 B
。xdxdyd:-jxa时官0ar”a: -,xdxj"A-x-2y)ay =∫x-2.x2+x)dx 1 48
x x y z d d d 1 1 (1 ) 2 0 0 d (1 2 )d x x x x y y 1 2 3 0 1 ( 2 )d 4 x x x x 1 48