第三节幂級数 ·一、品数须级数的一般橇念 ·二、幂级数及其收敛性 ·三、幂级数的运算 ·四、小结徐习题
第三节 幂级数 • 一、函数项级数的一般概念 • 二、幂级数及其收敛性 • 三、幂级数的运算 • 四、小结 练习题
一、函数项级数的一般概念 设，(x),42(x),.,4n(x),.是定义在IsR上的 函数，则∑4n()=4,(x)+,(x)+.+n(x)+. n= 称为定义在区间I上的（函数项）无穷级数， 例如级数 ∑x"=1+x+x2+.g n=0
一、函数项级数的一般概念 1 , 2 0 x x x n 例如级数 n 1 2 1 2 1 ( ( ), ( ), , ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ) . n n n n u x u x u x I R u x u x u x u x I 设 是定义在 上的 函数，则 称为定义在区间 上的 函数项 无穷级数
如果x,∈1，数项级数∑4n(x)收敛， n=1 则称x为级数∑“(x)的收敛点，否则称为发散点. 60 I= 函数项级数∑4，(x)的所有收敛点的全体称为收敛域， n=1 所有发散点的全体称为发散域. 在收敛域上，函数项级数的和是x的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数 s(x)=u(x)+儿2(x)+.+un(x)+., (定义域是)
(定义域是?) 0 0 1 ( ) n n x I u x 如 果 ， 数 项 级 数 收 敛 ， 0 1 ( ) . n n x u x 则 称 为 级 数 的 收 敛 点 ， 否 则 称 为 发 散 点 1 ( ) n n u x 函数项级数 的所有收敛点的全体称为 所有发散点的全体称为 收敛域， 发散域. 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , n x s x s x s x u x u x u x 在收敛域上，函数项级数的和是 的函数 ， 称 为函数项级数的和函数
函数项级数的部分和Sn（x), lim s,(x)=s(x) n-→o 余项rn(x)=s(x)-Sn(x) lim r (x)=0 (x在收敛域上) 注意 函数项级数在某点x的收敛问题，实质上 是数项级数的收敛问题
lim s ( x) s( x) n n 函数项级数的部分和 余项 r ( x ) s( x ) s ( x ) n n lim ( ) 0 (x在收敛域上) r x n n 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题. s ( x ), n
例1 求级数-1少(，1的收敛域。 n=1 n1+x 解 由达朗贝尔判别法 u+1(x)_n 1 a,()n+11+i+对a→m) w当41，→1+1 即x>0或x<-2时，原级数绝对收敛
例 1 求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1 的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n n x n 1 1 1 ( ) 1 1 n x 1, 1 1 (1) x 当 即 x 0或 x 2时 , 原级数绝对收敛. 1 x 1
(2)当 ,1>1,今1+x<1, 1+x 即-2<x<0时，原级数发散 (3)当|1+x=1,→x=0或x=-2, 当x=0时， 级数立 收敛； n 当x=-2时， 级数 发散； n=1 I 故级数的收敛域为(-o,-2)U[0,+o)
1, 1 1 (2) x 当 1 x 1, 即 2 x 0时 , 原级数发散. 当 x 0 , 时 1 ( 1) n n n 级数 收敛; 当 x 2 , 时 1 1 n n 级数 发散; 故 级 数 的 收 敛 域 为 ( ,2) [0, ) . (3) 当 | 1 x | 1, x 0或 x 2
二、幂级数及其收敛性 形如∑a,(x-x)=a+4(x-)+0,(x-尸+. n=0 +an(c-x)”+. 的函数项级数成为幂级数，其中an(n=0,1,.)称为 幂级数的系数. 下面着重讨论七。=0的情形，即 ∑0nx=0+a,x+a,2++a,x+. 例如，幂级数交=十文<1即是此种情形
二、幂级数及其收敛性 下面着重讨论 例如, 幂级数 0 1 , 1 1 n n x x x 即是此种情形. 的情形, 即 2 0 0 1 0 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0,1, ) n n n n n n a x x a a x x a x x a x x a n 形如 的函数项级数成为 其中 称为 幂级数 幂级数， 的系数
定理1（阿贝尔(Abel)定理） 如果级数∑a,x”在x=x,(化。≠0)处收敛， n=0 则它在满足不等式xx的一切x处发散. 证明：（山）∑anx收敛，ima,”=0, 1-→0 n=0
证明： lim 0, 0 n n n (1) , a x 0 0 收 敛 n n n a x 定理1 (阿贝尔（Abel）定理) 0 0 0 0 0 0 0 ( 0) . n n n n n n a x x x x x x x a x x x x x x 如果级数 在 处收敛， 则它在满足不等式 的一切 处绝对 收敛；反之，级数 在 处发散， 则它在满足不等式 的一切 处发散
3M,使得anx”≤M(n=01,2,.) w.s ≤M :当<1时，等比级数∑M 收敛， Xo n=0 ∑口x收敛，即级数∑0，x收敛 n=0
( 0,1,2, ) a x0 M n n 使 得 n M , n n n n n n x x a x a x 0 0 n n n x x a x 0 0 n x x M 0 1 , 0 当 时 x x , 0 0 等比级数 收 敛 n n x x M , 0 收 敛 n n n a x ; 0 即级数 收 敛 n n n a x
(2)假设当x=x时发散， 而有一点x适合|x>lx。|使得级数收敛， 由(1)结论，则级数当x=x时应收敛， 这与假设矛盾. 几何说明 收敛区域 发散区域一R R 发散区域
(2) , 假设当 x x0时发散 x o R R 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域 1 1 0 0 | | | | (1) . x x x x x 而有一点 适合 使得级数收敛， 由 结论，则级数当 时应收敛， 这与假设矛盾