第九讲初等函数的连续性 闭区间，上连续函数的性质
第九讲 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
第九讲 一、初等函数的连续性 二、闭区间上连续函数的性质
第九讲 一、初等函数的连续性 二、闭区间上连续函数的性质
第九讲 初等丞数的连续性 二、 闭区间上连续丞数的性质
第九讲 一、初等函数的连续性 二、闭区间上连续函数的性质
>思路 证明如下结论： 连续函数经过复合运算仍连续 初等函数 在其定义区间内连续 连续函数经过四则运算仍连续 基本初等函数在定义域内连续 初等函数由基本初等函数经过有限次四则和复合所构成
➢思路 初等函数 在其定义区间内连续 初等函数 由基本初等函数经过有限次四则和复合所构成 基本初等函数在定义域内连续 连续函数经过四则运算仍连续 连续函数经过复合运算仍连续 证明如下结论：
初等函数的连续性 （一)连续函数的和、差、积、商的连续性 >定理设函数x)和g(x)在点x,连续，则它们的和（差） f仕g、积fg及商f/g(当g(o)≠0时)都在点xo连续， ◆例sin.x,cos.x在R内连续→tanx,cotx在其定义域内连续 （二)反函数的连续性 >定理如果函数y=f八x)在区间亚上单调增加（或单调减少） 且连续，那么它的反函数x=f(y)也在对应的区间 L,=yy=f八x)x∈I}上单调增加（或单调减少）且连续： ◆例y=smx在，上单调增加且连续→ 其反函数y=ar心sinx在-1,1止单调增加且连续
一、初等函数的连续性 （一）连续函数的和、差、积、商的连续性 ➢定理 ◆例 在其定义域内连续 设函数f(x)和g(x)在点x0连续， f±g、积f ·g及商f/g（当g(x0 )≠0时）都在点x0连续. 则它们的和（差） 在R内连续 （二）反函数的连续性 ➢定理 ◆例 且连续，那么它的反函数 如果函数y=f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少) Iy={y|y=f(x),x∈Ix }上单调增加（或单调减少）且连续. 也在对应的区间 y = sin x 在 上单调增加且连续 其反函数 y = arcsin x 在 上单调增加且连续
初等函数的连续性 (三)复合函数的连续性 >定理一 >定理二 >定理三 设函数y=f几g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f孔u)复合而成 y=孔g]在点o的某去心邻域内有定义V(x,)cD U()CD 若limg(x)=4imf(0=A且存在6>0，当xeU(x,6)时g(x)≠0 若1img(x)=而函数y=fu)在u=4o连续 若函数u=g(x)在x=xo连续，且g(xo)=l0,而函数y=f)在u=uo连续 则 复合函数y=f儿g()]在x=x也连续
一、初等函数的连续性 （三）复合函数的连续性 设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成， y=f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义， f g x f u A x x u u = = → → lim [ ( )] lim ( ) 0 0 则 ➢定理一 ➢定理二 lim ( ) 0 而函数y=f(u)在u=u0连续， 0 g x u x x = → 若 ➢定理三 若函数u=g(x)在x=x0连续,且g(x0 )=u0，而函数y=f(u)在u=u0连续， 0 lim ( ) 0 g x u x x = → f u A u u = → lim ( ) 0 ( , ) 0 0 x U x o 0 若 且存在δ＞0，当 时 g(x) u 0 复合函数y=f[g(x)]在x=x = f u( ) 0也连续
初等函数的连续性 (四)初等函数的连续性 >结论 基本初等函数在其定义域内连续 一切初等函数在其定义区间内连续 ●注 不能说初等函数在其定义域内连续 例如f(x)=Vcosx-1 定义域x|x=2kπ，k∈Z中的点都是孤立点 不能说函数在该点连续
一、初等函数的连续性 （四）初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内连续 一切初等函数在其定义区间内连续 ➢结论 ⚫注 不能说初等函数在其定义域内连续 例如 定义域 中的点都是孤立点 不能说函数在该点连续
、初等函数的连续性 (五)初等函数的连续性的应用 1.讨论函数的连续性 >定理三 设函数y=f孔g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f)复合而成， U(x)CD/g若函数u=g(x)在x=xo连续，且g(xo)=uo,而 函数y=f孔)在u=uo连续，则复合函数y=fg(c)]在x=xo也连续 ◆例讨论函数y=sin二的连续性
一、初等函数的连续性 （五）初等函数的连续性的应用 1．讨论函数的连续性 ➢定理三 ◆例 讨论函数 1 y sin x = 的连续性 设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成， 若函数u=g(x)在x=x0连续,且g(x0 )=u0，而 函数y=f(u)在u=u0连续,则复合函数y=f[g(x)]在x=x0也连续
初等函数的连续性 (五)初等函数的连续性的应用 2.利用复合函数的连续性求极限 >定理二 设函数y=孔g(x]是由函数u=g(x)与函数y=f孔)复合而成， U(化)CD,g若mg(x)=4,而函数=fu)在u=uo连续则 limf八g(x=limf(0=f(u)—→变量代换 u→0 上述结论可写为 1imf八g(x川=f(img(x)一→函数符号与极限符号可交换 x->x K->x
一、初等函数的连续性 （五）初等函数的连续性的应用 2．利用复合函数的连续性求极限 ➢定理二 设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成， lim [ ( )] lim ( ) ( ) 0 0 0 f g x f u f u x x u u = = → → lim ( ) 0 而函数y=f(u)在u=u0连续，则 0 g x u x x = → 若 变量代换 上述结论可写为 lim f[g(x)] f ( lim g(x)) x x x x → 0 → 0 = 函数符号与极限符号可交换
一、 初等函数的连续性 (五)初等函数的连续性的应用 2.利用复合函数的连续性求极限 ◆例 一3 lim lim l0g.1+x) x→3 x-→0 x >命题 设u()>0,u(e)≠1 limu(x)=a>0 limv(x)=b 则1imu(x))=a 9imf儿gx=1imf(0=f(4) limf儿g(x=f(img(x)
一、初等函数的连续性 （五）初等函数的连续性的应用 2．利用复合函数的连续性求极限 ◆例 lim [ ( )] lim ( ) ( ) 0 0 0 f g x f u f u x x u u = = → → lim f[g(x)] f ( lim g(x)) x x x x → 0 → 0 = 9 3 2 3 − − → x x x lim x a x x log ( ) lim + → 1 0 ➢命题 设u(x)>0,u(x)≠1 lim ( ) lim ( ) u x a v x b = = 0 则 ( ) lim ( )v x b u x a =