第四讲有理数的积分
第四讲 有理函数的积分
有理函数的积分 一、 有理丞数的积分 二、可化为有理函数的积分
有理函数的积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分
有理函数的积分 一、有理巫数的积分 二、可化为有理数的积分
有理函数的积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分
>思路 有理函数R(x)= P-a0x”+a4x++a e(x) box+x+bm (ao,b≠0) n≥n →假分式 R(x) 相除 n关键 1.真分式化为部分分式 2.部分分式的不定积分
➢思路 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x = = n n n a x + a x + + a 0 1 −1 有理函数 R(x) n ≥ m n＜m 假分式 真分式 相 除 多项式 易积 分 解 部分分式 积 分 ➢关键 1. 真分式化为部分分式 2. 部分分式的不定积分
>真分式化为部分分式 b七次困式的乘积 2x) 因式分解 部分分式 工次质因式的乘积 Mx+N M,x+N, M,x+N +px+q (x2+px+q +px+q >部分分式的求法 x+3 -5 待定系数法 例： +6 x2-5x+6x-2+x-3 赋值法 例： 如上例 1 混合法 例： x(x-1x(x-1 x-
➢真分式化为部分分式 Q(x) 因式分解 ( ) ( ) 0 b x a x b − − ( ) ( ) 2 2 x px q x px q + + + + ( ) ( ) 1 2 1 A A A x a x a x a − + + + − − − ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 2 2 M x N M x N M x N x px q x px q x px q − + + + + + + + + + + + + 一次因式的乘积 二次质因式的乘积 部分分式 ➢部分分式的求法 待定系数法 例: 2 3 5 6 x x x + − + 5 6 x x 2 3 − = + − − 赋值法 例: 2 1 x x( 1) − 混合法 例: 如上例 ( ) 2 1 1 1 x x x 1 1 = + − − −
Max+Na Mx+N 部分分式 x-0 x2+px+q x2+px+q >部分分式的积分 ∫。c-4-+c M,x+Na Mu k du u2+a2 Mu +k du (u2+a2)
( ) A x a − ( ) A1 x a − 2 M x N x px q + + + ( ) 1 1 2 M x N x px q + + + 部分分式 ➢部分分式的积分 d A x x a − A x a C ln = − + ( ) 1 d A x x a − ( ) 1 1 ( 1) 1 A x a C − = − + − 2 d M x N x x px q + + + d M x N x + = 2 2 p x + 2 4 4 q p − + 2 2 2 2 d 4 2 4 p M p M x N x p q p x + + − = − + + ( ) 1 1 2 d M x N x x px q + + + u 2 + a 2 du Mλu + k 1 1 1 2 2 2 2 d 4 2 4 p M p M x N x p q p x + + − = − + + (u 2 + a 2 ) λ M1u + k du
>有理函数的积分步骤（真分式） 将分母进行因式分解 1.真分式化为部分分式 确定部分分式的形状 确定部分分式的待定系数 2.求部分分式的不定积分 ◆1求6◆2 ●注 1.有理函数的原函数都是初等函数 2. 有些有理函数的不定积分需要灵活处理 ◆卵刺◆树血◆那喇习
➢有理函数的积分步骤(真分式) 1. 真分式化为部分分式 将分母进行因式分解 确定部分分式的形状 确定部分分式的待定系数 2. 求部分分式的不定积分 ◆例1 ◆例2 ⚫注 1. 有理函数的原函数都是初等函数 2. 有些有理函数的不定积分需要灵活处理 ◆例3 ◆例4 ◆例5 2 3 d 5 6 x x x x + − + 求 2 2 d 2 3 x x x x − + + 求 2 3 d 1 x x x + 求 ( ) 10 d 1 x x x − 求 ( ) 10 d 2 x x x + 求
有理函数的积分 、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分
有理函数的积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分
有理函数的积分 一、 有理级数的积分 二、 可化为有理函数的积分
有理函数的积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分 (一) 三角丞数有理式 (二)简单的无理式
二、可化为有理函数的积分 （一）三角函数有理式 （二）简单的无理式