《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程_第七节 常系数非齐次线性微分方程_常系数非齐次线性微分方程

第七讲 常系数非齐次线性微分方程

第七讲 常系数非齐次线性微分方程

>思路 二阶常系数线性非齐次微分方程： y"+py'+qy=f(x) (p,q为常数) 通解：y=Y+y— 解的结构定理 齐次方程通解 非齐次方程特解 >关键求出非齐次方程的特解 >方法待定系数法 根据f(x)的特殊形式，给出特解y的待定形式， 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数

y  + py  + qy = f (x) ( p, q 为常数) 二阶常系数线性非齐次微分方程 : y = Y + y * 解的结构定理 齐次方程通解 非齐次方程特解 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法 ➢思路 通解: ➢关键 求出非齐次方程的特解 ➢方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解 的待定形式

常系数非齐次线性微分方程 一、f(x)=e2xPnm(x)型 二、f(x)=e2[P(x)coso,x+P(x)sin@x型 三、高阶线性微分方程的物理应用举例

常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 f x Pl x x x   ( ) = e [ ( )cos P (x)sin x] + n  三、高阶线性微分方程的物理应用举例 型 f (x) e P (x) m  x = 型

常系数非齐次线性微分方程 一、f(x)=exPm(x)型 二、f(x)=e2IP(x)coso,x+P.(x)sin@x]型 三、高阶线性微分方程的物理应用举例

常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 f x Pl x x x   ( ) = e [ ( )cos P (x)sin x] + n  三、高阶线性微分方程的物理应用举例 型 f (x) e P (x) m  x = 型

f(x)=e2Pn(x)入为实数，Pm(x为m次多项式 入=0→f(x)=Pm(x) 多项式函数 m=0→f(x)=Ae2 :指数函数 其它→f(x)=exPm(x)片 指数函数与多项式函数乘积 >特解形式 入不是特征方程的根—→=0 y"=xC(x)ex 入是特征方程的单根→一1 (入是特征方程的重根一→-2 >解题步骤 设特解 写出f),明确入和m 写出特征方程，确定人 求特解代入方程，比较系数 列出等式，求出系数

 为实数 , P (x) ( ) e ( ) m 为 m 次多项式 . x m f x P x  =  =0 ( ) ( ) m f x P x = 多项式函数 m =0 ( ) e x f x A  = 指数函数 其它 ( ) e ( ) x 指数函数与多项式函数乘积 m f x P x  = ➢特解形式 ( )e k x m y x Q x   =  不是特征方程的根 k=0  是特征方程的单根 k=1  是特征方程的重根 k=2 ➢解题步骤 写出f(x)，明确和m 写出特征方程，确定k 设特解 求特解 代入方程，比较系数 列出等式，求出系数

◆例1求方程y”-2y'-3y=3x+1的一个特解 解：f(x)=3x+1,入=0，m=1 对应的齐次方程的特征方程：2-2r一3=0， 入=0不是特征方程的根. 设所求特解为y*=b0x十b1, 代入方程得：-3bx-3b1-2b=3x+1 比较系数，得 「-3b0=3 -26,-6=1一6，=-1,4= 所求特解为y*=一x+3

◆例1 的一个特解. 解: 对应的齐次方程的特征方程： 设所求特解为 代入方程得: 比较系数, 得 3 1 1, b0 = − b1 = 所求特解为 不是特征方程的根 . f x x ( ) 3 1 , = +  = 0 , m = 1

◆例2求方程y”-5y'+6y=xe2的通解 解：对应的齐次方程的特征方程2-5r+6=0, 特征根1=2,2=3 对应齐次方程的通解：Y=Ce2x+C,e3x f(x)=xe2,入=2，m=1入=2是特征方程的单根 设非齐次方程特解为y*=x(b,x+b)e2 代入方程得-2b0x-b1+2b0=x 比较系数，得了-2b0=1 2b0-b1=0 特解为*=x(-2x-1)e2x。 所求通解为y=Ce2+C,e3x-(3x2+x)e2

◆例2 5 6 0 , 2 r − r + = 特征根 对应齐次方程的通解： 设非齐次方程特解为 x y x b x b 2 0 1 * = ( + )e 比较系数, 得 , 1 2 1 b0 = − b1 = − 特解为 * ( 1)e . 2 2 1 x y = x − x − 代入方程得 − b x −b + b = x 2 0 1 2 0 所求通解为 ( )e . 2 2 2 1 x − x + x 解: 对应的齐次方程的特征方程： 2 ( ) e , x f x x =  = 2, m = 1  = 2 是特征方程的单根 x y y y x 2 求方程  − 5  + 6 = e 的通解

◆例3求解定解问题 y"+3y"+2y'=1 y(0)=y'(0)=y"(0)=0 解：对应的齐次方程的特征方程：3+3r2+2r=0, 特征根1=0,2=-1,3=-2 对应齐次方程通解Y=C+C2ex+C3e2x f(x)=1,入=0，m=0入=0是特征方程的单根 设非齐次方程特解为y*=bx, 代入方程得2b=1,故y*=x, 原方程通解为 y=C+Cze-*+Csex+x

求解定解问题    =  =  =  +  +  = (0) (0) (0) 0 3 2 1 y y y y y y 解: 特征根 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 对应齐次方程通解 Y = C1 x C − + e2 x C 2 3 e − + 原方程通解为 C1 y = x C − + e2 x C 2 3 e − + 对应的齐次方程的特征方程： f x( ) 1, =  = 0, m = 0  = 0 是特征方程的单根 ◆例3

C1+C2+C3=0 C=- 由初始条件得 -C2-2C3=-为 C2=1 C2+4C3=0 C3=-% 于是所求解为 +e- 子-3+2x+4e*-e25)

于是所求解为 y x x x 2 1 e 4 1 e 4 3 2 = − + − + − −      = − = = − 4 1 1 4 3 3 2 1 C C C 2 1 由初始条件得 −C2 − 2C3 = −

常系数非齐次线性微分方程 一、f(x)=ePnm(x)型 二、f(x)=e2xID(x)cos@x+P.(x)sin@x]型 三、高阶线性微分方程的物理应用举例

常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 f x Pl x x x   ( ) = e [ ( )cos P (x)sin x] + n  三、高阶线性微分方程的物理应用举例 型 f (x) e P (x) m  x = 型