第二讲微积分基本公式
第二讲 微积分基本公式
微积分基本公式 一、牛一莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
微积分基本公式 一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
微积分基本公式 一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
微积分基本公式 一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
>物理事实 变速直线运动的路程 s(T) s(T)-s(T) s(T2) s=s(t) T 所ud y=v(t) vt)dt=s(I,)-s(T)◆一s'()=vt) >推广 一般情况下 F'()=f)一→fxFO)-Fa
变速直线运动的路程 s = s(t) T1 T2 ( ) T1 s ( ) T2 s 2 1 2 1 ( )d ( ) ( ) T T v t t s T s T = − ➢推广 v = v(t) 2 1 ( )d T T v t t ( ) ( ) 2 T1 s T − s s (t) = v(t) ➢物理事实 F(x) = f (x) 一般情况下 f (x)dx F(b) F(a) b a = − ?
>积分上限的函数 定义设f(x)∈CLa,b](x)=∫广fu)dt(a≤x≤b) 称为积分上限的函数 性质 定理1如果函数f(x)在区间a,b]上连续，那么积分上限的函数 (x)=f)dr在a,b上可导，并且它的导数 闲-阳a-asxs列 ◆列求1+7 b x x+△x
定义 称为积分上限的函数. 性质 定理1 y = f (x) a b x o y (x) x x +x ◆例1 ➢积分上限的函数 设 f x C a b ( ) [ , ] (x) f (t)dt (a x b) x a = 在 [a,b] 如果函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续,那么积分上限的函数 = x a (x) f (t)dt 上可导，并且它的导数 ( )d ( ) ( ) d d ( ) f t t f x a x b x x x a = = + x a 1 t dt 求 2
>牛莱公式 定理2如果函数f(x)在区间a,b]上连续，那么函数 (x)=∫)dr就是/w)在[a,上的一个原函数 定理3如果函数F(x)为连续函数x)在[4，b]上的一个原函数 那么∫fxdr=Fb)-Fa) >注 牛顿-莱布尼茨公式 f(数a） F(数) 积分 微分 中值定理 中值定理 牛莱公式 识分 (切定积分)
定理3 定理2 ➢牛—莱公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = − 那么 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数 ( ) d b a f x x ➢注 F b F a ( ) ( ) − f b a ( )( ) − F b a ( )( ) − 定积分 不定积分 牛—莱公式 微分 中值定理 积分 中值定理 函 数 导 数 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数 如果函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续,那么函数 = x a (x) f (t)dt 牛顿 - 莱布尼茨公式
>牛莱公式 定理2如果函数f(x)在区间4，b]上连续，则函数 D(y)=∫f)dr就是fw)在[a,]上的一个原函数. 定理3如果函数F(x)为连续函数fx)在[a,b]上的一个原函数 则∫fx)dx=F(b)-F(a) >注 牛顿-莱布尼茨公式 f(5)b-a)微分学F'(5)(b-a) 积分 微分 中值定理 中值定理 牛莱公式 f(x)dx积学F(b)-F(@
➢牛—莱公式 ( ) d b a f x x ➢注 F b F a ( ) ( ) − f b a ( )( ) − F b a ( )( ) − 积分学 牛—莱公式 微分 中值定理 积分 中值定理 微分学 牛顿 - 莱布尼茨公式 定理3 定理2 f (x)dx F(b) F(a) b a = − 则 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数. 如果函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，则函数 = x a (x) f (t)dt
3 dx ◆例2计算 1+x2 ◆郎计算史 ◆例4fx)= -1≤x≤0 sinx-10<x≤1 求fxd ◆例5计算曲线=sinx在I0,π上 y=sinx 与x轴围成的平面图形的面积， π ◆例6汽车以每小时36km的速度行驶， 到某处需要减速 停车，设汽车以等加速度a=一5%2刹车， 问从开始刹车到停车走了多少距离？ ◆例7
◆例2 ◆例3 ◆例5 计算曲线y=sinx在[0,π]上 与x轴围成的平面图形的面积. y o x y = sin x 汽车以每小时36km 的速度行驶 , 停车, 刹车, 问从开始刹车到停车走了多少距离? 到某处需要减速 设汽车以等加速度 ◆例6 ◆例4 1 0 ( ) sin 1 0 1 x x f x x x − = − 求 1 1 f x x ( )d . − ◆例7 求极限 计算 1 2 d . x x − − 计算
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