第五讲 高阶线性微分方程
第五讲 高阶线性微分方程
高阶线性微分方程 一、高阶微分方程的概念 二、线性微分方程的结构
高阶线性微分方程 一、高阶微分方程的概念 二、线性微分方程的结构
高阶线性微分方程 一、高阶微分方程的概念 二、线性微分方程的结构
高阶线性微分方程 一、高阶微分方程的概念 二、线性微分方程的结构
引例 ◆例1设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量 为的物体.当物体处于静止状态时，作用在物体上的 重力与弹性力大小相等、方向相反物体的初始速度为 ”≠0，阻力的大小与运动速度成正比、方向相反， 确定物体的振动规律。 之邮加
➢引例 ◆例1 设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量 为m的物体.当物体处于静止状态时，作用在物体上的 重力与弹性力大小相等、方向相反.物体的初始速度为 v0 0, 阻力的大小与运动速度成正比、方向相反， 确定物体的振动规律. x x o
>二阶线性微分方程 形式：y”+p(x)y+q(x)y=f(x) 特点：关于y”yy为一次 >阶线性微分方程 形式：y0+a,(ym-++an-(y+a,(y=fx) 特点：关于ymym-.y’为一次 分类： 〔f(x)丰0 一非齐次 f(x)=0 齐次 对比：一阶线性方程y+P(x)y=Q(x) 通解y=Ce+e) 推广： 齐次方程通解Y非齐次方程特解亚
齐次方程通解Y y + p(x) y + q(x) y = f (x) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y a x y a x y a x y f x n n n n + + + − + = − 非齐次 f (x) 0 齐次 一阶线性方程 y + P(x)y = Q(x) 通解: + − Q x x P x x P x x e ( )e d ( )d ( )d = − P x x y C ( )d e 非齐次方程特解 y f (x) 0 ➢二阶线性微分方程 形式： 特点： ➢n阶线性微分方程 形式： 特点： ( ) ( 1) n n y y y y − 关于 为一次 关于 y y y 为一次 分类： 对比： 推广：
高阶线性微分方程 一、高阶微分方程的概念 二、线性微分方程的结构
高阶线性微分方程 一、高阶微分方程的概念 二、线性微分方程的结构
高阶线性微分方程 一、高阶微分方程的概念 二、 线性微分方程的结抱
高阶线性微分方程 一、高阶微分方程的概念 二、线性微分方程的结构
二、线性微分方程解的结构 (一) 线性齐次方程解的结构 (二) 线性非齐次方程解的结构
二、线性微分方程解的结构 （一）线性齐次方程解的结构 （二）线性非齐次方程解的结构
二、线性微分方程解的结构 (一) 线性齐次方程解的结构 (二) 线性非齐次方程解的结构
二、线性微分方程解的结构 （一）线性齐次方程解的结构 （二）线性非齐次方程解的结构
>定理1 若函数(x),(x)是二阶线性齐次方程 y"+P(x)y'+Q(x)y=0 的两个解，则y=Cy(x)+Cy2(x)(C1,C为任意常数) 也是该方程的解. 叠加原理) ●注y=C,(x)+C(c)不一定是所给二阶方程的通解 例：(x)是某二阶齐次方程的解， y2(x)=2(x)也是齐次方程的解 CM(x)+C2y2(x)=(C1+2C2)1(x)并不是通解
(叠加原理) ➢定理1 ⚫注 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 例: 不一定是所给二阶方程的通解. ( ) ( ) 1 1 2 2 y = C y x +C y x ( ), ( ) 1 2 y x y x 是二阶线性齐次方程 y + P(x)y + Q(x) y = 0 的两个解, 也是该方程的解. ( ) ( ) 1 1 2 2 则 y = C y x +C y x 为任意常数) 若函数