《系统辨识与建模》 课时:40 参考书: 1徐南荣、宋文忠、夏安邦系统辨识,东南大学出版社,1991 2方崇智、萧德云过程辨识,清华大学出版社,1988 3 Ljung L. And Soderstrom T. Theory and Practics of Recursive Identification, MIT Press Cambridge 4[美]P艾克霍夫系统辨识-参数和状态估计,潘科炎等译,科学出版社,1977 5[美]夏天长系统辨识一最小二乘,熊光楞、李芳芸译,清华大学出版社,1983 期刊: 1 Automatica 2 Proc. IFAC Identification and System Parameter Estimation 3 IEEE Trans. On Automatic Control 4自动化学报 5控制理论与应用 学习要求 1培养独立学习一门新课程的能力,为今后学习和研究打下基础(要求大家尽量少依赖听 课,多自学)。 2掌握基本的辨识理论和辨识技术 3能独立设计辨识实验,并编程计算 4学习一些现代建模技术 考核办法 给出一个数据文件,通过编程对其进行辨识,并写出报告
《系统辨识与建模》 课时：40 参考书： 1 徐南荣、宋文忠、夏安邦 系统辨识，东南大学出版社，1991 2 方崇智、萧德云 过程辨识，清华大学出版社，1988 3 Ljung L. And Soderstrom T. Theory and Practics of Recursive Identification, MIT.Press, Cambridge 4 [美]P.艾克霍夫 系统辨识-参数和状态估计，潘科炎等译，科学出版社，1977 5 [美]夏天长 系统辨识—最小二乘，熊光楞、李芳芸译，清华大学出版社，1983 期刊： 1 Automatica 2 Proc. IFAC Identification and System Parameter Estimation 3 IEEE Trans. On Automatic Control 4 自动化学报 5 控制理论与应用 学习要求 1 培养独立学习一门新课程的能力，为今后学习和研究打下基础（要求大家尽量少依赖听 课，多自学）。 2 掌握基本的辨识理论和辨识技术 3 能独立设计辨识实验，并编程计算 4 学习一些现代建模技术 考核办法 给出一个数据文件，通过编程对其进行辨识，并写出报告
第一讲概论 实体与模型 实体:客观存在的事物及其运动状态,有时也称之为“系统” 模型:实体的一种简化描述。模型保持实体的一部分特征,而将其它特征忽略或者变化。 不同的简化方法得到不同的模型 模型分类 直觉模型:地图、建筑模型、照片、软件演示文档等 物理模型:风洞、水力学模型、传热学模型、电力系统动态模拟模型等。(缩小的复制品) 数学模型:描述实体中一些关系和特征的数据模型。例如:投入/产出模型、热源与室温的 关系模型等。 数学模型 数学模型还可分为 图表模型:如阶跃响应、脉冲响应、频率响应、温度与热电偶输出关系表 解析模型:代数方程、微分方程、差分方程、状态方程 程序模型:神经网络仿真程序 语言模型:模糊关系模型 获得数学模型的方法有: 经验总结法:模糊关系模型、静态线性关系模型 机理分析法:解析模型 实验法 图表模型 数据拟合法:解析模型、程序模型 用数据拟合法获得解析模型的过程即为系统辨识。 系统辨识 LA. Zadeh1962]:辨识就是在输入和输出数据的基础上,从一组给定的模型类中,确定一个
第一讲 概论 实体与模型 实体：客观存在的事物及其运动状态，有时也称之为“系统” 模型：实体的一种简化描述。模型保持实体的一部分特征，而将其它特征忽略或者变化。 不同的简化方法得到不同的模型。 模型分类： 直觉模型：地图、建筑模型、照片、软件演示文档等 物理模型：风洞、水力学模型、传热学模型、电力系统动态模拟模型等。（缩小的复制品） 数学模型：描述实体中一些关系和特征的数据模型。例如：投入/产出模型、热源与室温的 关系模型等。 数学模型 数学模型还可分为： 图表模型：如阶跃响应、脉冲响应、频率响应、温度与热电偶输出关系表 解析模型：代数方程、微分方程、差分方程、状态方程 程序模型：神经网络仿真程序 语言模型：模糊关系模型 获得数学模型的方法有： 经验总结法：模糊关系模型、静态线性关系模型 机理分析法：解析模型 实验法： 图表模型 数据拟合法：解析模型、程序模型 用数据拟合法获得解析模型的过程即为系统辨识。 系统辨识 L. A. Zadeh[1962] ：辨识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个
与所观测系统等价的模型。 这一定义给出了系统辨识的三要素:数据、模型类和准则 数据:由观测实体而得。不唯一,受观测时间、观测目的、观测手段等影响。 模型类:规定了模型的形式。不唯一,受辨识目的、辨识方法等影响。 准则:规定了模型与实体等价的评判标准。不唯一,受辨识目的、辨识方法等影响 系统辨识的三要素是评判数据拟合方法优劣的必要条件,只有在相同的三要素下,才可区分数 据拟合方法的优劣;而在不同的三要素下,这种结论也会改变。(图1) 辨识目的 明确模型应用的最终目的是很重要的,因为它将决定如何观测数据、如何选择三要素以及采用 什么数据拟合方法等。而最根本的是它将影响辨识结果。 辨识目的主要取决于模型的应用。辨识模型应用有以下几个方面: 辨识目的 选择 准则 模型类 辨识实体 数据观测 数据 数据拟 模型 图 系统辨识三要素 1验证理论模型:要求:零极点、结构(阶次及时延)、参数都准确:模型类冋理 模型 2设计常规控制器:要求:动态响应特性、零极点、时延准确;便于分析的模型类。 3设计数字控制器:要求:动态响应特性、时延准确;便于计算机运算的模型类 4设计仿真/训练系统:要求:动态响应特性准确:便于模拟实现的模型类ε 5预报预测;要求:动态响应特性、时延准确:便于计算机运算的模型类。 6监视过程参数,实现故障诊断:要求:参数准确;能直观体现被监视过程参数的模
与所观测系统等价的模型。 这一定义给出了系统辨识的三要素：数据、模型类和准则。 数据：由观测实体而得。不唯一，受观测时间、观测目的、观测手段等影响。 模型类：规定了模型的形式。不唯一，受辨识目的、辨识方法等影响。 准则：规定了模型与实体等价的评判标准。不唯一，受辨识目的、辨识方法等影响。 系统辨识的三要素是评判数据拟合方法优劣的必要条件，只有在相同的三要素下，才可区分数 据拟合方法的优劣；而在不同的三要素下，这种结论也会改变。（图 1） 辨识目的 明确模型应用的最终目的是很重要的，因为它将决定如何观测数据、如何选择三要素以及采用 什么数据拟合方法等。而最根本的是它将影响辨识结果。 辨识目的主要取决于模型的应用。辨识模型应用有以下几个方面： 辨识目的 选择 准则 模型类 辨识实体 数据观测 数据 数据拟合 模型 图 1 系统辨识三要素 1 验证理论模型；要求：零极点、结构（阶次及时延）、参数都准确；模型类同理论 模型。 2 设计常规控制器；要求：动态响应特性、零极点、时延准确；便于分析的模型类。 3 设计数字控制器；要求：动态响应特性、时延准确；便于计算机运算的模型类。 4 设计仿真/训练系统；要求：动态响应特性准确；便于模拟实现的模型类。 5 预报预测；要求：动态响应特性、时延准确；便于计算机运算的模型类。 6 监视过程参数，实现故障诊断；要求：参数准确；能直观体现被监视过程参数的模
型类 10系统的定量与定性分析:;要求:静态关系准确:模型简单,便于人脑判断 辨识的一般步骤 我们将结合一个实际例子来说明辨识的一般步骤。 纸浆 水份 浓度D流量P ⊙仪W cb昌 蒸汽压 车速 力 定量 仪 上图为长网造纸的流程简图。对于造纸企业来说,质量控制就是要控制好成品纸的定量与水份 而纸的定量与水份与纸浆浓度D、纸浆流量F、车速V及蒸汽压力P都有关系: G=f(D, F,V,P) W=g(D, F,, P) 为了采用计算机对上述过程进行控制,需要建立数学模型 这就是系统辨识的第一步:明确辨识目的 为了实现这个目标,我们要进一步了解系统的一些特点。 这是第二步:收集先验知识 经过现场调查,我们发现: 1车速调整存在同步困难,而不同步会引起断纸,因此,通常将车速设为恒定 2流量的改变到定量的改变存在约60秒的延迟,而响应过程只有约2秒;(保持浓度 不变) 3浓度的改变到定量的改变存在约120秒的延迟,而响应过程约80秒;(保持流量不 4蒸汽压力的改变到水份的改变存在约45秒的延迟,而响应过程约60秒;(保持浓 与流量不变) 三步:设计辨识试验 辨识试验的目的是使采集到的数据能反映系统的动态特性,因此要对系统进行分块,设计对分 块后系统施加的激励信号,设计数据采集时的采样频率。对于本例,其中的一个分块为流量和 蒸汽压力对定量、水份的影响 试验时,保持车速和纸浆浓度不变 对流量和蒸汽压力,分别施加伪随机序列扰动,幅度以不引起断纸为限:
型类。 10 系统的定量与定性分析；要求：静态关系准确；模型简单，便于人脑判断。 辨识的一般步骤 我们将结合一个实际例子来说明辨识的一般步骤。 例： 上图为长网造纸的流程简图。对于造纸企业来说，质量控制就是要控制好成品纸的定量与水份。 而纸的定量与水份与纸浆浓度 D、纸浆流量 F、车速 V 及蒸汽压力 P 都有关系： G=f(D,F,V,P) W=g(D,F,V,P) 为了采用计算机对上述过程进行控制，需要建立数学模型。 这就是系统辨识的第一步：明确辨识目的。 为了实现这个目标，我们要进一步了解系统的一些特点。 这是第二步：收集先验知识。 经过现场调查，我们发现： 1 车速调整存在同步困难，而不同步会引起断纸，因此，通常将车速设为恒定； 2 流量的改变到定量的改变存在约 60 秒的延迟，而响应过程只有约 2 秒；（保持浓度 不变） 3 浓度的改变到定量的改变存在约 120 秒的延迟，而响应过程约 80 秒；（保持流量不 变） 4 蒸汽压力的改变到水份的改变存在约 45 秒的延迟，而响应过程约 60 秒；（保持浓 度与流量不变） 第三步：设计辨识试验。 辨识试验的目的是使采集到的数据能反映系统的动态特性，因此要对系统进行分块，设计对分 块后系统施加的激励信号，设计数据采集时的采样频率。对于本例，其中的一个分块为流量和 蒸汽压力对定量、水份的影响； 试验时，保持车速和纸浆浓度不变； 对流量和蒸汽压力，分别施加伪随机序列扰动，幅度以不引起断纸为限；
设定采样频率为2,试验时间为1000秒。 采集信号为:定量、水份、纸浆流量和蒸汽压力 第四步:现场准备。(接线图) 现场准备要做以下几件事 向企业领导申请试验时段 准备扰动信号发生器,并通过预发信号,检验扰动信号是否准确 测验现场信号的干扰情况,必要时设计模拟信号滤波器 准备模数转换设备,调好信号的零迁和放大参数 现场接线,将生产设备、试验设备与计算机连接 第五步:数据采集 将采集到的数据存盘,并编写数据说明文件; 第六步:数据预处理。 对采集到的原始数据进行变送器非线性校正、数字滤波、标准化、重抽样等加工,使数据适合 辨识工具的处理,同时也应满足模型要求。 以上步骤为数据观测过程 第七步:选择模型类 选择模型类的工作有两部分:其一是选择应用模型,通常应依据辨识目的来选择:其二是选择 参考模型,参考模型是便于进行结构辨识和参数估计的模型 第八步:结构辨识与参数估计 应用辨识理论和方法编制程序,对第六步所得的数据进行拟合,得到参考模型的阶次和参数。 第九步:模型检验。 对所得到的参考模型按评判准则进行检验,如不达要求,则分析问题所在,并返回到前期各相 应步骤 第十步:模型转换 将参考模型转换为应用模型。 第十一步:应用评价。 从应用角度评价模型,如不符合应用要求,应分析问题所在,并返回到相应步骤。 下图描述了辨识各步骤之间的关系。 思考题:你认为系统辨识还有用吗?
设定采样频率为 2，试验时间为 1000 秒。 采集信号为：定量、水份、纸浆流量和蒸汽压力 第四步：现场准备。（接线图） 现场准备要做以下几件事： 向企业领导申请试验时段； 准备扰动信号发生器，并通过预发信号，检验扰动信号是否准确； 测验现场信号的干扰情况，必要时设计模拟信号滤波器； 准备模数转换设备，调好信号的零迁和放大参数； 现场接线，将生产设备、试验设备与计算机连接。 第五步：数据采集。 将采集到的数据存盘，并编写数据说明文件； 第六步：数据预处理。 对采集到的原始数据进行变送器非线性校正、数字滤波、标准化、重抽样等加工，使数据适合 辨识工具的处理，同时也应满足模型要求。 以上步骤为数据观测过程。 第七步：选择模型类。 选择模型类的工作有两部分：其一是选择应用模型，通常应依据辨识目的来选择；其二是选择 参考模型，参考模型是便于进行结构辨识和参数估计的模型 第八步：结构辨识与参数估计。 应用辨识理论和方法编制程序，对第六步所得的数据进行拟合，得到参考模型的阶次和参数。 第九步：模型检验。 对所得到的参考模型按评判准则进行检验，如不达要求，则分析问题所在，并返回到前期各相 应步骤。 第十步：模型转换。 将参考模型转换为应用模型。 第十一步：应用评价。 从应用角度评价模型，如不符合应用要求，应分析问题所在，并返回到相应步骤。 下图描述了辨识各步骤之间的关系。 思考题：你认为系统辨识还有用吗？
匚明确辨识目的 收集先验知识 设计辨识试验 现场准备 数据采集 数据预处理 选择模型类 结构辨识 参数估计 不通过 模型检验 分析问题 通过 模型转换 不成功 应用评价 分析问题 成功 最终模型 系统辨识一般流程
明确辨识目的 收集先验知识 设计辨识试验 现场准备 数据采集 数据预处理 选择模型类 结构辨识 参数估计 不通过 模型检验 分析问题 通过 模型转换 不成功 应用评价 分析问题 成功 最终模型 系统辨识一般流程
第二讲辨识三要素 数据 本节介绍辨识数据的特点及获得适宜辨识的数据的方法 随机过程X(t):在每一个时间点(t0)上,都是一个随机变量,其概率密度函数px)随时间变 平稳随机过程:在所有时间点上,概率分布都相同的随机过程,其概率密度函数p(x)不随时间 各态遍历平稳随机过程:从整个时间轴上看,每个随机事件都会发生的平稳随机过程。其谱密 度函数与概率密度函数类似。时间平均等于集合平均 数字特征 [特征「随机过程 平稳随机过程「各态遍历平稳随机过程 12(D)≡H2 均值 期望|() 2()=H2 L x(odt x(k) (1)=v2 均方 2|=Lm2 Lim∑x(k) 方差/()=Ex(0)-2()3 2(t)≡O LimT J[x()-u, 【x-、O)p(x) Limx∑[x(k) 关函R(42)=E{x(4)() R2(z)=R(-r) 数 R(02-1)
第二讲 辨识三要素 一、数据 本节介绍辨识数据的特点及获得适宜辨识的数据的方法。 随机过程 X(t):在每一个时间点（t0）上，都是一个随机变量，其概率密度函数 p(x,t)随时间变 化。 平稳随机过程：在所有时间点上，概率分布都相同的随机过程，其概率密度函数 p(x)不随时间 变化。 各态遍历平稳随机过程：从整个时间轴上看，每个随机事件都会发生的平稳随机过程。其谱密 度函数与概率密度函数类似。时间平均等于集合平均。 数字特征 特征 随机过程 平稳随机过程 各态遍历平稳随机过程 均值 (期望 值) − t = xp x t dx x ( ) ( , ) x x (t) t x x ( ) x = → − = T T T x t dt T Lim ( ) 2 1 = → = N N k x k N Lim 1 ( ) 1 均 方 值 t x p x t dx x ( ) ( , ) 2 2 − = 2 2 ( ) x x t ( ) 2 ___ 2 2 x x x t = → − = T T T x t dt T Lim ( ) 2 1 2 = → = N N k x k N Lim 1 2 ( ) 1 方差 ( ) {[ ( ) ( )] } 2 2 t E x t t x = − x x t p x t dx x [ ( )] ( , ) 2 − = − 2 2 ( ) x x t = 2 x → − − T T x T x t dt T Lim 2 [ ( ) ] 2 1 = → = − N N k x k x N Lim 1 2 [ ( ) ] 1 自 相 关 函 数 ( , ) { ( ) ( )} 1 2 1 2 R t t E x t x t x = Rx (t 1 ,t 2 ) = (0, ) 2 1 R t t = x − ( ) = (− ) Rx Rx
=R(r) ∫xP2(xx x(Ox(t+ r)dt 1, t2 )dx, dx, Lim∑x(k)x(k+1) lim x(k)x(k +7) C(r)=C(-z) [x(n)-1]* C(t1212)=E{x(1)-2(t1) C:(t1,12) 协方[x(2)-(t2) [x(t+r)-1d =C2(0,12-1) 差函 c)-x)-|=R(-2|-mN2)=对 C(r) [x(k+)-x 2(t2)P2(x1,x2;t1,t2)hx1x2 Li Lx(k+D)-x v2(D)=R2(t,1) 2=R1() v2=R、(O) a2(1)=v2()-2(t) or=vr-Ax x2(k) 关系 R(,1)-2(t) =R2(0)-2 C(1,12)=R2(t1,12) C(T) 2(1)42(12) C(r=R(T)-x R2(r)-4 Ry(r) 互相n(,4)=Ex(4)y() Rn(4,4) 727」x(1)y(t+r)dr Lim 数 J xyp2(x, y, 1, l2)rdy R,(T=t2-t1)=Lim>x(k)y(k+D) Lim N-I kel x(ky(k+D) → Cxn(t1,12)=E{[x(1)- Cn(t)= 互协|H1()y(2)-H,(2) 方差 C,([=t-4) Lim[x()-u,]* 函数 [x-H2(t1)[y- T→∞ u,(t,)p,(x,y t,, t, )dxdy =R2()up|u+)-
1 2 1 2 1 2 2 1 2 , ) ( , ; t t dx dx x x p x x − − = ( ) = R x = → − + TT T x t x t dt T Lim ( ) ( ) 21 = → = + N N k x k x k l N Lim 1 ( ) ( ) 1 − → = + − = N l N k x k x k l N l Lim 1 ( ) ( ) 1 协 方 差 函 数 [ ( ) ( )]} ( , ) {[ ( ) ( )] * 2 2 1 2 1 1 x t t C t t E x t t x x x − = − 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ( )] ( , ; , ) [ ( ) ( )][ ( ) t p x x t t dx dx x t t x t x x − − = − − C x ( t 1 , t 2 ) = ( 0 , ) 2 1 C t t = x − ( ) ( ) 2 xx x CR == − ( ) = ( − ) Cx Cx = x t dt x t T x TT x T Lim [ ( ) ] [ ( ) ] * 21 + − − → − = [ ( ) ][ ( ) ] * 1 1 x k l x x k x N N N k Lim+ − − → = = [ ( ) ] [ ( ) ] * 1 1 x k l x x k x N l N l N k Lim+ − − − − → = 一 些 关系 ( ) ( , ) 2 t R t t x = x ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 R t t t t t t x x x x x = − = − ( ) ( ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2 1 2 t t C t t R t t x x x x = − ( 0 ) 2x R x = 2 2 2 2 ( 0 ) x x x x x R = − = − 2 ( ) ( ) x x x RC −= ( 0 ) 2 x = R x = → =N N k x k N Lim 1 2 ( ) 1 2 2 R ( 0 ) x x = x − 2 C ( ) R ( ) x x = x − 互 相 关 函 数 ( , ) { ( ) ( )} 1 2 1 2 R t t E x t y t xy = xyp ( x, y;t ,t )dxdy 2 1 2 − − = ( ) ( , )2 1 1 2 R t t R t t xy xy = −= Rxy ( ) = → − + TT T x t y t dt T Lim ( ) ( ) 21 = → = + N N k x k y k l N Lim 1 ( ) ( ) 1 = − → = + − N l N k x k y k l N l Lim 1 ( ) ( ) 1 互 协 方 差 函数 ( )][ ( ) ( )]} ( , ) {[ ( ) 1 2 2 1 2 1 t y t t C t t E x t x y xy − = − t p x y t t dxdy x t y y x ( )] ( , ; , ) [ ( )][ 2 2 1 2 1 − − = − − xy x y xy xyR C t t C t t = − = −= ( ) ( ) ( , )2 1 1 2 Cxy ( ) = y t dt x t T y TT x T Lim [ ( ) ] [ ( ) ] * 21 + − − → −
Rn(1,12)-H2(41)4,(t2) LmN()-对 Lk+D-yl Lim Lx(k)-xl Lk+0)-y Rx,(r)=R1(-r) 其它 C(r=C-r 说明:离散计算时假设采样时间间隔为To,则时延τ=l*T 相关函数的性质 v2=R1(O)≥0 2R2(z)=R1(-r) 3R2(O)2R2(z) 4若x(t)是周期为T的信号,则其自相关函数也是周期为T的信号。即: x()=x(+门)→R2(z)=R2(r+T) 5若xt)=yt+z(t),且yu)与z(1)互不相关(R2(r)=0),则 R2(r)=R,(r)+R:(r 6若x(t)=y(t)+z,其中j=0,z是一个常数,则 R(r)=R,(r)+z2 7若x(t)均值为零,且不含有周期性成分,则当τ很大时,x(t)与x(t+t)必然是互相独立的(不 相关,因此,R2(z)=0,τ充分大 8若xt)均值为零,则C(r)=R2()。这是因为在通常情况下,Cx(z)等于R2(r)向下平移 因此,当山2=0时,两者相等 9对于线性系统y(k=G(z)u(k),有R2(r)=G(=)R2(r)
( , ) ( ) ( ) 1 2 1 2 R t t t t = xy − x y = [ ( ) ] [ ( ) ]* 1 1 y k l y x k x N N N k Lim + − − → = = [ ( ) ] [ ( ) ]* 1 1 y k l y x k x N l N l N k Lim + − − − − → = 其它 ( ) ( ) ( ) ( ) = − = − xy yx xy yx C C R R 说明：离散计算时假设采样时间间隔为 To，则时延τ=l *To。 相关函数的性质 1 (0) 2 x = Rx ≥0 2 ( ) = (− ) Rx Rx 3 (0) | ( ) | Rx Rx 4 若 x(t)是周期为 T 的信号，则其自相关函数也是周期为 T 的信号。即： x(t) x(t T) R ( ) R ( T) = + x = x + 5 若 x(t)=y(t)+z(t)，且 y(t)与 z(t)互不相关（ Ryz ( ) 0 ），则 ( ) ( ) ( ) Rx = Ry + Rz 6 若 x(t)=y(t)+z，其中 y = 0，z 是一个常数，则 2 R ( ) R ( ) z x = y + 7 若 x(t)均值为零，且不含有周期性成分，则当τ很大时，x(t)与 x(t+τ)必然是互相独立的（不 相关），因此， Rx ( ) = 0 ，τ充分大。 8 若 x(t)均值为零，则 ( ) ( ) Cx = Rx 。这是因为在通常情况下， ( ) Cx 等于 ( ) Rx 向下平移 2 x ， 因此，当 2 x =0 时，两者相等。 9 对于线性系统 y(k)=G(z)u(k)，有 ( ) ( ) ( ) yu Ru R = G z
10虽然x(t)是个随机过程,但R2(r)却不是随机过程,而是一个确定性的时间函数 Parseval定理与功率谱 Pd定理:确定性信号x0的总能量为:xo=X(o)do 确定性信号ⅹ(t)的平均功率: LimTI C Lim3 ll X,(jo) do 确定性信号x(t)的平均谱密度 S(o)=Lim‖X(o)2 随机性信号ⅹ(t)的平均谱密度: S,(o)=Lim EllY,(o)') 维纳一肯塔金关系式: 随机过程x(t)的谱密度S2(o)与自相关函数R2(r)构成一组傅立叶变换对: S,(o)=R,(r)e edr S(oe/do 定义互谱密度为互相关函数的傅立叶变换: S,(jo)=R,(r)e"ordr R,(r)=LS,()elo do 应用维纳一肯塔金关系式,可以证明,对于频率响应为G(j)的线性系统,在随机输入下的输 出谱密度和互谱密度分别为: S(o)圳G(o)‖"S2(o) Sx(0)=G()S2(c)
10 虽然 x(t)是个随机过程，但 ( ) Rx 却不是随机过程，而是一个确定性的时间函数。 Parseval 定理与功率谱 Parseval 定理：确定性信号 x(t)的总能量为： − − = x t dt X j d 2 2 || ( ) || 2 1 ( ) 确定性信号 x(t)的平均功率： X j d T x t dt T T T T T T Lim Lim 2 2 || ( ) || 2 1 2 1 ( ) 2 1 − → − → = 确定性信号 x(t)的平均谱密度： 2 || ( ) || 2 1 () X j T S T T x Lim → = 随机性信号 x(t)的平均谱密度： {|| ( ) || } 2 1 ( ) 2 E X j T S T T x Lim → = 维纳—肯塔金关系式： 随机过程 x(t)的谱密度 () Sx 与自相关函数 ( ) Rx 构成一组傅立叶变换对： R S e d S R e d j x x j x x − − − = = ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 定义互谱密度为互相关函数的傅立叶变换： R S e d S j R e d j xy xy j xy xy − − − = = ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 应用维纳—肯塔金关系式，可以证明，对于频率响应为 G( j) 的线性系统，在随机输入下的输 出谱密度和互谱密度分别为： ( ) ( ) ( ) ( ) || ( ) || ( ) 2 xy x y x S j G j S S G j S = =
