信号与系统电来 第四章连续系统的频域分析 4.1信号分解为正交函数 4.2傅里叶级数→ 4.3周期信号的频谱一 4.4非周期信号的频谱傅里叶变换→ 4.5傅里叶变换的性质→ 4.6周期信号的傅里叶变换一 4.7LT|系统的频域分析→ 4.8取样定理 点击目录→,进入相关章节 第4贝14|4 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-1页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 第四章 连续系统的频域分析 4.1 信号分解为正交函数 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱——傅里叶变换 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 周期信号的傅里叶变换 4.7 LTI系统的频域分析 4.8 取样定理 点击目录 ，进入相关章节
信号与系统电 第四章连续系统的频域分析 时域分析,以冲激函数为基本信号,任意输入信号 可分解为一系列冲激函数;而yt)=h(t)*f(t) 本章将以正弦信号和虚指数信号eo为基本信号,任 意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指 数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。 4.1信号分解为正交函数 矢量正交与正交分解 矢量Ⅴ=(vx1,V2,Vx3)与Ⅴy=(vy,vy2,Vy3)正交的定义: 其内积为0。即 V=∑2y=0 第4贝14|4 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-2页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 第四章 连续系统的频域分析 4.1 信号分解为正交函数 一、矢量正交与正交分解 时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号 可分解为一系列冲激函数；而yf (t) = h(t)*f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号e jωt为基本信号，任 意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指 数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。 矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义： 其内积为0。即 0 3 1 = = i= xi yi T x y V V v v
信号与系统电来4.1信号分解为正交函数 由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为正交矢量集 如三维空间中,以矢量 (2,0,0)、v=(0,2,0)、Vz=(0,0,2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。 例如对于一个三维空间的矢量A=(2,5,8),可以 用一个三维正交矢量集{v,v,V分量的线性组合 表示。即 A=V+2.V+4V 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间, 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信 号,使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线 性组合 第4-3页 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-3页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.1 信号分解为正交函数 由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集 如三维空间中，以矢量 vx =（2，0，0）、vy =（0，2，0）、vz =（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。 例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以 用一个三维正交矢量集{ vx，vy，vz }分量的线性组合 表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间， 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信 号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线 性组合
信号与系统电4.1信号分解为正交函数 二、信号正交与正交函数集 定义: 定义在(t1,t2)区间的两个函数q1和φ4(,若满足 n9(02(dr=0(两函数的内积为0) 则称φ1(和φ4(在区间(t1,t2)内正交。 2.正交函数集: 若n个函数q1(),φ2(,…,φn()构成一个函数集, 当这些函数在区间(1,t2)内满足 ≠J (1)91(1)dt= K.≠0 则称此函数集为在区间〔t1,t1)的正交函数集。 第H44D日西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-4页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.1 信号分解为正交函数 二、信号正交与正交函数集 1. 定义： 定义在(t1，t 2 )区间的两个函数 1 (t)和 2 (t),若满足 = 2 1 ( ) ( )d 0 * 1 2 t t t t t (两函数的内积为0) 则称 1 (t)和 2 (t) 在区间(t1，t 2 )内正交。 2. 正交函数集： 若n个函数 1 (t)， 2 (t)，…， n (t)构成一个函数集， 当这些函数在区间(t1，t 2 )内满足 = = 2 1 0, 0, ( ) ( )d * t t i i j K i j i j t t t 则称此函数集为在区间(t1，t 2 )的正交函数集
信号与系统电4.1信号分解为正交函数 3完备正交函数集: 如果在正交函数集{φ(),φ2(,…,φn()之外, 不存在函数o(t(均0)满足 p(t)q,(t)dt=0(i=1,2,…,n 则称此函数集为完备正交函数集。 例如:三角函数集{1,cos(n92),sin(nΩ?t),n=1,2,}和 虚指数函数集{e,n=0,±1,±2,…}是两组典型的 在区间(t,t+D)(T=2m/2)上的完备正交函数集。 第45贝4 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-5页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.1 信号分解为正交函数 3. 完备正交函数集： 如果在正交函数集{1 (t)， 2 (t)，…， n (t)}之外， 不存在函数φ(t)(≠0）满足 则称此函数集为完备正交函数集。 例如：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 和 虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的 在区间(t0，t 0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。 = 2 1 ( ) ( )d 0 t t i t t t ( i =1，2，…，n)
信号与系统电4.1信号分解为正交函数 三、信号的正交分解 设有n个函数q1(),φ2(,…,φn()在区间〔t1,t) 构成一个正交函数空间。将任一函数ft用这n个正交 函数的线性组合来近似,可表示为 f(t)sC1φ1+C22+…+Cnn 如何选择各系数C使f(与近似函数之间误差在 区间(t1,t2)内为最小。 通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为 ∫U()-2C9dr 第46贝4 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-6页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.1 信号分解为正交函数 三、信号的正交分解 设有n个函数 1 (t)， 2 (t)，…， n (t)在区间(t1，t 2 ) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn 如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在 区间(t1，t 2 )内为最小。 通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为 f t C t t t t t t n j [ ( ) j j ( )] d 1 2 1 2 2 1 1 2 = − − =
信号与系统电4.1信号分解为正交函数 为使上式最小 da acaC ∫[(0)-∑C,)2d=0 展开上式中的被积函数,并求导。上式中只有两项不 为0,写为ah [-2Cf(t)o,(t)+C22(t)dt=0 aCJtr 即-22())d+2C!o:(dt=0 所以系数()(d f(to ( tdt (tdt 第4贝14 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-7页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.1 信号分解为正交函数 为使上式最小 [ ( ) ( )] d 0 2 1 1 2 2 = − = = t t n j j j i i f t C t t C C 展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不 为0，写为 − + = 2 1 [ 2 ( ) ( ) ( )]d 0 2 2 t t i i i i i C f t t C t t C 即 − + = 2 1 2 1 2 ( ) ( )d 2 ( )d 0 2 t t i i t t i f t t t C t t 所以系数 = = 2 1 2 1 2 1 ( ) ( )d 1 ( )d ( ) ( )d 2 t t i i t t i t t i i f t t t t t K f t t t C
信号与系统电4.1信号分解为正交函数 代入,得最小均方误差(推导过程见教材) e2=1f(0d-∑cK1≥0 在用正交函数去近似f(时,所取得项数越多,即m越 大,则均方误差越小。当n→∞时(为完备正交函数 集),均方误差为零。此时有 f()dt=∑C K 上式称为 Parseval巴塞瓦尔公式,表明:在区间(t,t2) f(t所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各 正交分量能量的总和。 函数可分解为无穷多项正交函数之和f()=∑C9(O) 第4贝14|4 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-8页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.1 信号分解为正交函数 代入，得最小均方误差（推导过程见教材） [ ( )d ] 0 1 1 2 2 2 1 2 2 1 − − = = n j j j t t f t t C K t t 在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有 = = 1 2 2 2 1 ( )d j j j t t f t t C K 上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1 ,t2 ) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各 正交分量能量的总和。 = = 1 ( ) ( ) j j j 函数 f t C t f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
信号与系统电来 4.2傅里叶级数 4.2傅里叶级数 傅里叶级数的三角形式 设周期信号f(,其周期为T,角频率Ω2=2π/,当满足 狄里赫利 Dirichlet)条件时,它可分解为如下三角级 数—称为f的傅里叶级数 f()=2+∑ a. cOS(n9)+∑b,smng2) 系数an,b称为傅里叶系数 f(tcos(net)dt f(tsin( net)dt T 可见,an是n的偶函数,b是n的奇函数 第49贝14|4> 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-9页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 4.2 傅里叶级数 一、傅里叶级数的三角形式 设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足 狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级 数—— 称为f(t)的傅里叶级数 = = = + + 1 1 0 cos( ) sin( ) 2 ( ) n n n n a n t b n t a f t 系数an , bn称为傅里叶系数 − = 2 2 ( ) cos( )d 2 T n T f t n t t T a − = 2 2 ( )sin( )d 2 T n T f t n t t T b 可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数
信号与系统电来 4.2傅里叶级数 将上式同频率项合并,可写为 +∑A, cos(nQ2i+9n) 式中,A=a0An=a2+b29n=- arctan 可见A是n的偶函数,gn是n的奇函数。 an=Acos(pn, bn=-Ansin n, n=1,2,. 上式表明,周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中,A0/2为直流分量; A1cos(2p)称为基波或一次谐波,它的角频率与原周 期信号相同; A2C0s(292tp2)称为二次谐波,它的频率是基波的2倍; 般而言,Anco(ntqn称为n次谐波 第41014|4> 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-10页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 = = + + 1 0 cos( ) 2 ( ) n n n A n t A f t 式中，A0 = a0 2 2 An = an + bn n n n a b = −arctan 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0 /2为直流分量； A1 cos(t+1 )称为基波或一次谐波，它的角频率与原周 期信号相同； A2 cos(2t+2 )称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，An cos(nt+n )称为n次谐波。 可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –An sin n，n=1,2,… 将上式同频率项合并，可写为