信号与系统电来 第二章连续系统的时域分析 21LT连续系统的响应2.3卷积积分→ 、微分方程的经典解 、信号时域分解与卷积 二、关于0-和0+初始值一 、卷积的图解→ 三、零输入响应和零状态响应→2.4卷积积分的性质 2.2冲激响应和阶跃响应 、卷积代数→ 、冲激响应→ 、奇异函数的卷积特性 二、阶跃响应→ 、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性 点击目录→,进入相关章节 第贝14|4> 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第2-1页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 二、关于0-和0+初始值 三、零输入响应和零状态响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应 二、阶跃响应 2.3 卷积积分 一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解 2.4 卷积积分的性质 一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性 点击目录 ，进入相关章节
信号与系统2.1LT连续系统的响应 第二章连续系统的时域分析 LTI连续系统的时域分析,归结为:建立并求解线 性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t,故 称为时域分析法。这种方法比较直观,物理概念清楚, 是学习各种变换域分析法的基础。 2.1LT连续系统的响应 微分方程的经典解 m)(t)+an-1 (n1)(t)+…+a1y((t)+aoy(t) bmf(m(t)+bm-f(m-d(t)+.+ b fo(t+bof(t) 贝144| 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第2-2页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线 性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故 称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚， 是学习各种变换域分析法的基础。 第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 y (n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y (1)(t) + a0y (t) = bmf (m)(t) + bm-1 f (m-1)(t) + …+ b1 f (1)(t) + b0 f(t)
信号与系统电呼 2.1LT连续系统的响应 微分方程的经典解: y((完全解)=y1(齐次解)+y)(特解) 齐次解是齐次微分方程 叶)+anyn1)+,+a1y((t)+ay(t)=0 的解。y(t的函数形式由上述微分方程的特征根确定。 特解的函数形式与激励函数的形式有关。P43表21、2-2 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关,而与激励 f(t的函数形式无关,称为系统的固有响应或自由响应; 特解的函数形式由激励确定,称为强迫响应。 例描述某系统的微分方程为 y"(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) 求(1)当f(t)=2e,亡0;y(0)=2,y(0=-1时的全解; (2)当f(t)=e-2,仑0;y(0)=1,y(0)=0时的全解。 第2-3页 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第2-3页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 微分方程的经典解： y(t)(完全解) = yh (t)(齐次解) + yp (t)(特解） 齐次解是齐次微分方程 y (n)+an-1 y (n-1)+…+a1 y (1)(t)+a0 y(t)=0 的解。yh (t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。 例 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t ，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e-2t ，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。 特解的函数形式与激励函数的形式有关。P43表2-1、2-2 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应
信号与系统电呼 2.1LT连续系统的响应 解:(1)特征方程为2+5+6=0其特征根1=-2, 2=-3。齐次解为 y1()=Ce-2+C2e-3t 由表2-2可知,当f(t)=2e-时,其特解可设为 )=P e- t 将其代入微分方程得 Pe-t+5(-Pe-+6Pe-t=2e解得P=1 于是特解为yn(t)=e-t 全解为:y(=y1()+yp=C1e -2t+ Cae-st+e 其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0)=C1+C2+1=2,y(0)=-2C1-3C2-1=-1 解得C1=3,C2=-2 最后得全解y(t)=3e-2-2e-3t+e-t,c0 4贝14|4 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第2-4页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 解: (1) 特征方程为λ 2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2， λ2= – 3。齐次解为 yh (t) = C1 e – 2t + C2 e – 3t 由表2-2可知，当f(t) = 2e – t时，其特解可设为 yp (t) = Pe – t 将其代入微分方程得 Pe – t + 5(– Pe – t ) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1 于是特解为 yp (t) = e – t 全解为： y(t) = yh (t) + yp (t) = C1 e – 2t + C2 e – 3t + e – t 其中 待定常数C1 ,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0
信号与系统2.1LT连续系统的响应 (2)齐次解同上。当激励ft)=e时,其指数与特征根 之一相重。由表知:其特解为 (t)=(Pt+P0)e2 代入微分方程可得P1et=e2 所以P=1但P不能求得。全解为 y(t=Cet+ c2e 3t+ te-2t+ poe-zt (C1+P0)e2C2e-31+te2 将初始条件代入,得 y)=(C1+P0)+C2=1,y(0)=-2(C1+P0)-3C2+1=0 解得C1+P0=2,C2=-1最后得微分方程的全解为 y(t=2e-t-e-3t+ tet, t> 上式第一项的系数C1+P0=2,不能区分C1和P,因而 也不能区分自由响应和强迫响应。 第25贝144> 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第2-5页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 （2）齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时，其指数与特征根 之一相重。由表知：其特解为 yp (t) = (P1 t + P0 )e–2t 代入微分方程可得 P1 e -2t = e –2t 所以 P1 = 1 但P0不能求得。全解为 y(t)= C1 e –2t+ C2 e –3t+ te–2t + P0 e –2t = (C1+P0 )e–2t +C2 e –3t + te–2t 将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0 ) + C2 =1 ，y’(0)= –2(C1+P0 ) –3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C2 = –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e –2t – e –3t + te–2t , t≥0 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而 也不能区分自由响应和强迫响应。 2.1 LTI连续系统的响应
信号与系统2.1LT连续系统的响应 二、关于0-和0+初始值 若输入f(t)是在t=0时接入系统,则确定待定系数C; 时用t=0时刻的初始值,即y(0+)(j=0,1,2.,n-1)。 而y(+)包含了输入信号的作用,不便于描述系统 的历史信息。 在七=0-时,激励尚未接入,该时刻的值y(0-)反映 了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始 状态或起始值。 通常,对于具体的系统,初始状态一般容易求得。 这样为求解微分方程,就需要从已知的初始状态 y④(0-)设法求得y(0+)。下列举例说明 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第2-6页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 二、关于0-和0+初始值 若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci 时用t = 0+时刻的初始值，即y (j)(0+) (j=0,1,2…，n-1)。 而y (j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统 的历史信息。 在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y (j)(0-)反映 了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始 状态或起始值。 通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。 这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态 y (j)(0-)设法求得y (j)(0+)。下列举例说明
信号与系统电呼 2.1LT连续系统的响应 例:描述某系统的徼分方程为 y"(t)+3y(t)+2y(t)=2r'(t)+6f(t) 已知y(0-)=2,y(0-)=0,f(t)=8(t),求y04)和y:(0+)。 解:将输入ft=e(t)代入上述微分方程得 y"(t)+3y(t)+2y(t)=2δ6(t)+6ε(t) (1) 利用系数匹配法分析:上式对于t=0-也成立,在0-<t0 区间等号两端δ(t)项的系数应相等 由于等号右端为26(t),故y应包含冲激函数,从而 y(t)在仁=0处将发生跃变,即y(0+)4y(0-)。 但y(t)不含冲激函数,否则yt将含有δ(项。由于 y(t)中不含δ(t,故y()在t=0处是连续的。 故 y(0+)=y(0-)=2 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第2-7页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+ )和y’(0+ )。 解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （1） 利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0+ 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而 y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。 但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于 y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 故 y(0+) = y(0-) = 2 2.1 LTI连续系统的响应
信号与系统2.1LT连续系统的响应 对式(1)两端积分有 广ym+3y(0)+20)=26()m+66(Oh 由于积分在无穷小区间[0-,0进行的,且y(t)在t=0连续, 故 0+ Lo y(odt=0, -a()o 于是由上式得 Iy(04)-y(0-)+3ly(0+)-y(0-)=2 考虑y(0+)=y(0-)=2,所以 y ,y(0+)=y(0-)+2=2 由上可见,当微分方程等号右端含有冲激函数(及其各 阶导数)时,响应y()及其各阶导数中,有些在t=0处将 发生跃变。但如果右端不含时,则不会跃变。 第44D西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第2-8页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 对式(1)两端积分有 + − + − + − + − + − + + = + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y''(t)dt 3 y'(t)dt 2 y(t)dt 2 (t)dt 6 (t)dt 由于积分在无穷小区间[0-，0+ ]进行的，且y(t)在t=0连续， 故 + − + − = = 0 0 0 0 y(t)dt 0, (t)dt 0 于是由上式得 [y’(0+ ) – y’(0-)] + 3[y(0+ ) – y(0-)]=2 考虑 y(0+) = y(0-)=2 ，所以 y’(0+ ) – y’(0-) = 2 ， y’(0+) = y’(0-) + 2 =2 由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各 阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将 发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。 2.1 LTI连续系统的响应
信号与系统电来 2.1LT连续系统的响应 三、零输入响应和零状态响应 y(t)=y、(t)+y{t),也可以分别用经典法求解。 注意:对t=0时接入激励ft的系统,初始值 y3(,y;(0+)(i=0,1,2,…,n1)的计算 0(0-)=yx0(0-)+y)(0-) 0+)=y30(0+)+yP(0+) 对于零输入响应,由于激励为零,故有 y(0+)=y30(0-)=y00-) 对于零状态响应,在t0时刻激励尚未接入,故应有 y①(0-)=0 y0(0+)的求法下面举例说明。 第29贝144| 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第2-9页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 三、零输入响应和零状态响应 y(t) = yx (t) + yf (t) ,也可以分别用经典法求解。 注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值 yx (j)(0+), yf (j)(0+) (j = 0，1，2，…，n-1)的计算。 y (j)(0-)= yx (j)(0-)+ yf (j)(0-) y (j)(0+)= yx (j)(0+)+ yf (j)(0+) 对于零输入响应，由于激励为零，故有 yx (j)(0+)= yx (j)(0-) = y (j)(0-) 对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 yf (j)(0-)=0 yf (j)(0+)的求法下面举例说明
信号与系统电来2.1LT连续系统的响应 例:描述某系统的微分方程为 y"(t)+3y(t)+2y(t)=2f'(t)+6ft 已知y(0-)=2,y0-)=0,f(t)=8(t)。求该系统的零输入 响应和零状态响应。 解:(1)零输入响应y(t激励为0,故y()满足 yx"(f)+3yx'(t)+2yx(t)=0 y(0+)=y(0)=y(0-)=2 y(0+)=yx30-)=y(0-)=0 该齐次方程的特征根为-1,-2,故 y(t +c 代入初始值并解得系数为Cx=4,C2=-2,代入得 yx(t=4e-t-2e-2t ,t>0 第210贝44 西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第2-10页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 2.1 LTI连续系统的响应 例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求该系统的零输入 响应和零状态响应。 解：（1）零输入响应yx (t) 激励为0 ，故yx (t)满足 yx ”(t) + 3yx ’(t) + 2yx (t) = 0 yx (0+)= yx (0-)= y(0-)=2 yx ’(0+)= yx ’(0-)= y’(0-)=0 该齐次方程的特征根为–1， – 2，故 yx (t) = Cx1e –t + Cx2e –2t 代入初始值并解得系数为Cx1=4 ,Cx2= – 2 ，代入得 yx (t) = 4e –t – 2e –2t ,t > 0