《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章_7.2可分离变量的微分方程

第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程二、 典型例题三、小结

第二节 可分离变量的微分方程 • 一、可分离变量的微分方程 • 二、典型例题 • 三、小结

一阶方程的一般形式为 F(x,y,J")=0或dy f(x,y)=dx一阶方程有时也可以写成如下的对称形式P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0这个方程虽然简单，也常常很难求出解的有限表达式.所以本节只讨论几种特殊类型的一阶微分方程的解法

一阶方程的一般形式为 F x y y ( , , ) 0   或 ( , ) dy f x y dx  这个方程虽然简单，也常常很难求出解的 有限表达式,所以本节只讨论几种特殊类型的一 阶微分方程的解法. 一阶方程有时也可以写成如下的对称形式 P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) 0  

一、可分离变量的微分方程g(y)dy = f(x)dx可分离变量的微分方程A41dy= 2xys → y5dy =2xdx,例如dx这类方程的特点：经过适当整理，可使方程的一端只含有一个变量和其微分

g y dy f x dx ( ) ( )  可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如  4 5 2 y dy x dx 2 ,    这类方程的特点: 经过适当整理，可使方程的一端只含有一个变 量和其微分. 一、可分离变量的微分方程

分离变量方程的解法：1g(y)dy = f(x)dx设y=@(x)是方程①的解，则有恒等式g(p(x)p'(x)dx = f(x)dx分离变量法两边积分，得g(y)dy =[ f(x)dxG(y)F(x)②则有G(y) = F(x)+C当G(y)和F(x)可微,且G(y)=g(y)±0时，上述过程可逆,说明由②确定的隐函数y=Φx)是①的解同样F'(x)= f(x)± 0时，由②确定的隐函数x=y(y)也是①的解.称②为方程①的隐式通解，或通积分

当G y F x G y g y ( ) ( ) , ( ) ( ) 0 和 可微 且    时， g y y f x x ( )d ( )d  设 y＝ (x) 是方程①的解, g x x x f x x ( ( )) ( )d ( )d    两边积分, 得 g y y ( )d   f x x ( )d  ① G y F x C ( ) ( )   则有恒等式 G y( ) F x( ) ② 说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝(y) 分离变量法 同样F x f x ( ) ( ) 0   时， 分离变量方程的解法: 也是①的解

二、典型例题dy=2xy的通解例1求微分方程dx业解分离变量一2xdx,y[%=[2xd,两端积分Inly=x2+Cy=Ce*"为所求通解

2 . dy xy dx 例1 求微分方程  的通解 解 分离变量 2xdx, y dy  两端积分 2 , dy xdx y    2 1 ln | | y x C   2 . x   y Ce 为所求通解 二、典型例题

例2衰变问题：衰变速度与未衰变原子含量M成正比,已知M= =M。,求衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律dM解衰变速度由题设条件dtdMdM=-adt-aM(α>0衰变系数)二MdtdM[M-J-ad,In|M=-αt+InC,即M=Ce-",代入M|t=o = M,得 M= Ce° =C,衰变规律.. M = M,e-α

例 2 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正 比 ,已 知 M t0  M0 ,求衰 变过程中铀含 量 M(t)随时间t变化的规律. 解 , dt dM 衰变速度 由题设条件 ( 0 ) dM M dt      衰变系数 dM dt M   , dM dt M     代入M M t0 0  1 ln | | ln , M t C     , t M Ce 即  0 0 得 M Ce C   , 0 t M M e   衰变规律

例3.设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时（t=0）速度为0，求降落伞下落速度与时间的函数关系dy解：根据牛顿第二定律列方程=mg-kymdt初始条件为>=o=0dydt对方程分离变量，然后积分：mg-kym得二-ln(mg-kv)==+C(此处mg-kv>0)km利用初始条件,得 C=-1lmn(mg)足够大时LkmgV~mg代入上式后化简，得特解Vk

例3. 成正比, 求 解: 根据牛顿第二定律列方程 d d v m mg kv t   0 0 t v 初始条件为   对方程分离变量, d d v t mg kv m   然后积分 :   得 1 ln( ) t m g k v C k m     ( 0) 此处 m g k v   利用初始条件, 得 1 C m g ln( ) k   代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, (1 ) k t m g m v e k    设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. mg k v  t 足够大时

例4有高为1米的半球形容器水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米(如图)．开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h水面与孔口中心间的距离）随时间t的变化规律解由力学知识得,水从孔口流出的流量为dv0.62.S/2ghQ一dt重力加速度流量系数孔口截面面积

例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔 流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时 容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里 水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为 0.62 2 , dV Q S gh dt    流量系数 孔口截面面积 重力加速度

S = lcm?nh(1):. dV = 0.62/2ghdt,100cmh+dh42设在微小的时间间隔[t，t+dt],0水面的高度由h降至h+dh，则dV=一元r2dh: r = /1002-(100-h)2= ~200h-h2(2).:. dV = -π(200h - h)dh,比较(1)和(2)得： -元(200h-h)dh = 0.62 /2gh dt

100 cm h o r h h dh dV  0.62 2ghdt, (1) 设在微小的时间间隔 [t, t  dt], 水面的高度由h降至 h  dh , , 2 则 dV  r dh 100 (100 ) 200 , 2 2 2 r   h  h  h (200 ) , (2) 2 dV   h  h dh 比较(1)和(2)得: 2     (200 ) 0.62 2 , h h dh gh dt 2 S cm  1

-元(200h - h2)dh = 0.62 /2gh dt,可分离变量即为未知函数的微分方程元(200/h-/h3)dhdt =0.62/2g4002元[h)+C,t=530.62/2g14元×105..C: h lt=0= 100,X150.62/2g元(7×105-103h3+3/h5)所求规律为t=4.65/2g

2     (200 ) 0.62 2 , h h dh gh dt 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 (200 ) , 0.62 2 3 h h dh g dt     ) , 5 2 3 400 ( 0.62 2 3 5 h h C g t      | 100, h t0 10 , 15 14 0.62 2 5     g C (7 10 10 3 ). 4.65 2 5 3 3 5 h h g t     所求规律为 