第五节极限运算法则无穷小的运算法则二、 极限运算法则三、 求极限方法举例
第五节 极限运算法则 • 一、无穷小的运算法则 • 二、极限运算法则 • 三、求极限方法举例
无穷小的运算法则：一、3定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小。证：考虑两个无穷小的情况设α及β是当x→8时的两个无穷小V ε>0,FX, >0,X, >0,使得-当μ>X,时恒有|αX,时恒有[βl2取 X=max[X,,X,}, 当|x|>X时,恒有
一、无穷小的运算法则: 定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 证： 设 及 是当x 时的两个无穷小, 考虑两个无穷小的情况 1 2 1 2 0, 0, 0, ; ; 2 2 X X x X x X 使得 当 时恒有 当 时恒有 取 X X X max{ , }, 1 2 当 x X 时,恒有
6[α±β≤[al+[β]注无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,1例如, n →时,是无穷小，n但个一之和不是无穷小.n
注 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 1 , , 1 . n n n 例如 时 是无穷小， 但 个 之和不是无穷小 , 2 2 0 ( ) x 有限个无穷小的情形同样可以证明
定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小证设函数u在U°(xo,8,)内有界则M>0,8,>0,使得当00,380,使得当0-时8恒有|α<M
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u在U 0 (x0 ,1 )内有界， . 0, 0, 0 1 0 1 u M M x x 恒有 则 使得当 时 0 又设是当x x 时的无穷小, 2 0 2 0, 0, 0 . x x M 使得当 时 恒有
取8=min[1,},则当0<x-x<时,恒有[u.α| =|ul al< M.%=8,M.当x→x,时,u·α为无穷小推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小例如,当x→0时,xsin一,x’arctan=都是无穷小xx
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. min{ , }, 1 2 取 0 当x x u 时, . 为无穷小 1 1 2 , 0 , sin , arctan x x x x x 例如 当 时 都是无穷小 0 则当0 , x x 时 恒有 u u M , M
补充：无穷大性质>性质1同一过程中的有界函数与无穷大之和仍为该过程中的无穷大>性质2某过程中的有限个无穷大的乘积仍为该过程中的无穷大
性质1 同一过程中的有界函数与无穷大之和 仍为该过程中的无穷大. 性质2 某过程中的有限个无穷大的乘积 仍为该过程中的无穷大. 补充：无穷大性质
极限四则运算法则二、定理3设 lim f(x) = A, lim g(x) = B,则(1)lim[f(x)± g(x))= A± B;(2)lim[f(x)· g(x)]= A.B;Af(x)lim其中B±0.(3) g(x)B证 : lim f(x)= A, limg(x) = B.:. f(x)=A+α, g(x)=B+β. 其中α→0,β→0.由无穷小运算法则,得
二、极限四则运算法则 定理3 , 0. ( ) ( ) (3) lim (2) lim[ ( ) ( )] ; (1) lim[ ( ) ( )] ; lim ( ) ,lim ( ) , B B A g x f x f x g x A B f x g x A B f x A g x B 其中 设 则 证 lim ( ) , lim ( ) . f x A g x B f x A g x B ( ) , ( ) . 0, 0. 其中 由无穷小运算法则,得
[f(x)±g(x)]-(A± B) = α±β→0. :. (1)成立[f(x)· g(x)]-(A B) =(A+α)(B+β)-AB: (2)成立=(Aβ+Bα)+αβ →0Af(x) A A+αBα-Aβ: Bα-Aβ→0.B(B+β)Bg(x)BB+β又:β→0,B0, >0,当01B-(B=
[ f (x) g(x)] (A B) 0. (1)成立. [ f (x) g(x)] (A B) ( )( ) A B AB ( ) A B 0. (2)成立. B A g x f x ( ) ( ) A A B B ( ) B A B B B A 0. 又 0, 0, B 0 0, 0 , 当 x x 时 , 2 B B B B B 2 1 B 2 1
2:|B(B+β)>=B’,故有界,B2,B(B +β)2: (3)成立.推论1如果lim f(x)存在,而c为常数,则lim[cf(x)] = c lim f(x)常数因子可以提到极限记号外面推论2如果lim f(x)存在,而n是正整数,则lim[f(x)]" = [lim f(x)]
推论1 lim ( ) , , lim[ ( )] lim ( ). f x c cf x c f x 如果 存在 而 为常数 则 常数因子可以提到极限记号外面. lim ( ) , , lim[ ( )] [lim ( )] . n n f x n f x f x 推论2 如果 存在 而 是正整数 则 1 2 ( ) , 2 B B B , 2 ( ) 1 2 B B B 故 有界， (3)成立
定理4若有 limx,= A,lim y,= B,则n→n>0(1)lim(x, ±y,)= A±Bn→8(2)limx,J', = ABn-→0An(3)当y,±0且B±0时,limBn->0y定理5 如果p(x)≥y(x),而limp(x)= A,n0limy(x)=B,那么A≥ B.n→
lim , lim , (1) lim( ) (2) lim (3) 0 0 , 4 lim n n n n n n n n n n n n n n x A y B x y A B x y AB x A y B y B 定 若有 则 当 且 时 理 ( ) ( ), lim ( ) , lim ( ) , . 5 n n x x x A x B A B 定理 如果 而 那么