第四节天无穷小乌无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系四、小结练习题
第四节 无穷小与无穷大 • 一、无穷小 • 二、无穷大 • 三、无穷小与无穷大的关系 • 四、小结 练习题
一、无穷小> 1、定义：如果函数f(x)当x→x,(或x→)时的极限为零，那么称函数f(x)为当x→x,(或x→)时的无穷小特别地，以零为极限的数列{x,}称为n→o0时的无穷小
1、定义: 特别地，以零为极限的数列x n n 称为 时的无穷小 一、无穷小 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f x x x x f x x x x 如果函数 当 或 时的极限 为零，那么称函数 为当 或 时的无穷小
例如,limsinx=0.函数sinx是当x→0时的无穷小x->01二是当x→8时的无穷小二=0..函数limX-0xx(-1)"(-1)"=0,..数列是当n→8时的无穷小lim一n-00n注（1）必须指明自变量的变化过程；意（2）无穷小是变量,不能与很小的数混淆（3）零是可以作为无穷小的唯一的数
例如, 注 意 （2）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （3）零是可以作为无穷小的唯一的数. 0 limsin 0, sin 0 . x x x x 函数 是当 时的无穷小 1 1 lim 0, . x x x x 函数 是当 时的无穷小 ( 1) ( 1) lim 0, { } . n n n n n n 数列 是当 时的无穷小 （1）必须指明自变量的变化过程;
>2、无穷小与函数极限的关系：定理1 在自变量的同一变化过程x→x(或x→0)中,函数f(x)具有极限A的充要条件是f(x)= A+α,其中α(x)是无穷小证：必要性设 lim f(x)= A,令 α(x)= f(x)-A,xx则有 lim α(x)= 0, ::. f(x) = A + α(x).x-→xo充分性 设 f(x)= A+α(x),其中α(x)是当x→x,时的无穷小则 lim f(x) = lim(A+α(x)= A+ lim α(x) = A.x-→xox-Xox→Xo
2、无穷小与函数极限的关系: 证: 必要性 0 lim ( ) , ( ) ( ) , x x f x A x f x A 设 令 lim ( ) 0, 0 x x x 则有 f (x) A (x). 充分性 设 f (x) A (x), ( ) , 其 中 x 是 当x x0时的无穷小 0 0 0 lim ( ) lim( ( )) lim ( ) . x x x x x x f x A x A x A 则 0 ( ) 1 ( ) , ( ) x x x f x A f x A x 在自变量的同一变化过程 (或 ) 中,函数 具有极限 的充要条件是 其中 是 定理 无穷小
意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);(2）给出了函数 f(x)在 x。附近的近似表达式 f(x) ~ A, 误差为α(x)
意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小); ( ) , ( ). 2 ( ) 0 f x A x f x x 式 误差为 （ ）给出了函数 在 附近的近似表达
二、无穷大函数绝对值无限增大的变量称为无穷大定义2讠设函数f(x)在x,的某一去心邻域内有定义(或[x|大于某一正数是有定义)如果对于任意给定的正数M(不论它有多么大)，总存在正数S(或正数X)，使得对适合不等式0X)时,对应的函数值f(x)都满足不等式[f(x)]> M,那么就称函数f(x)为当x→x(或x→8)时的无穷大：记作：(或lim f(x)= 8)lim f(x)= 80x-xoX-→
二、无穷大 函数绝对值无限增大的变量称为无穷大. 0 0 0 0 ( ) ( | | ). ( ) ( ) 0 ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) lim ( ) 2 ( l x x f x x xM X x x x X f x f x M f x x x x f x 设函数 在 的某一去心邻域内有定义 或 大于某一正数是有定义 如果对于任意给定的正 数 不论它有多么大 ，总存在正数 或正数 ，使 得对适合不等式 或 时 对应的函 数值 都满足不等式 那么就称函数 为当 或 时的 记作： 定 无穷大， 或 义 im ( ) ) x f x
特殊情形：正无穷大，，负无穷大(或 lim f(x)=-o)lim f(x)= +ox→xox-→xo(x→00)(x-→00)注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆；(2）切勿将 lim f(x)=o认为极限存在x-→xo（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大
特殊情形：正无穷大，负无穷大． lim ( ) ( lim ( ) ) ( ) ( ) 0 0 f x f x x x x x x x 或 注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. 2 lim ( ) . 0 （ ）切勿将 认为极限存在 f x x x
sinrx例如,当x→0时,y==sin-xx是一个无界变量,但不是无穷大1取Xk=(1)(k = 0,1,2,3,...)元2k元 +12元当k充分大时,y(x,)>M.无界,(x,) = 2k元 +121取Xk(2)(k' = 0,1,2,3,...)=2k元当k'充分大时，x,不是无穷大但 y(xk)= 2k元sin2k'元 =0<M
x x y 1 sin 1 1 1 , 0 , sin , . x y x x 例如 当 时 是一个无界变量 但不是无穷大 ( 0,1,2,3, ) 2 2 1 (1) k k x 取 k , 2 ( ) 2 y xk k k , y(x ) M. 当 充分大时 k ( 0,1,2,3, ) 2 1 (2) k k x 取 k , , 当 k 充分大时 xk 但 y(xk) 2ksin 2k 0 M. 不是无穷大． 无界
例2证明lim8.x→1 x-11-X证M>0.要使>M,-7.5-5-2.52557.510x-1x-11取8：只要x-1=8.Mx-1x-1x-1定义：如果limf(x)= o0,则直线x=x,是函数y= f(x)x-→xo的图形的铅直渐近线
1 1 2 lim . x x 1 例 证明 证 M 0. , 1 1 M x 要使, 1 1 M 只要 x , 1 M 取 , 1 当0 1 时 M x . 1 1 M x 就有 . 1 1 lim 1 x x 0 0 : lim ( , ( ) ) . x x f x x x y f x 如果 则直线 是函数 的图 定义 形的铅直渐近线 1 1 x y
三、无穷小与无穷大的关系定理2在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大则为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0.-￥则为无穷大.f(x)证 设 lim f(x)= 0.x→xo: V>0,对于M=二,38>0,使得当0 M==, 即<8.f(x)8
三、无穷小与无穷大的关系 证 lim ( ) . 0 f x x x 设 0 1 0, , 0, 0 1 ( ) , M x x f x M 对于 使得当 时 恒有 . ( ) 1 f x 即 ( ) 1 ( ) ( ) 0, ( ) 1 ( ) 2 f x f x f x f x f x 在自变量的同一变化过程中，如果 为无穷大， 则 为无穷小；反之，如果 为无穷小，且 则 定理 为无穷大