第四节函数的单调性与曲线的凹凸性、单调性的判别法二、曲线的凹凸性与拐点三、小结
第四节 函数的单调性 与曲线的凹凸性 • 一、单调性的判别法 • 二、曲线的凹凸性与拐点 • 三、小结
一、单调性的判别法yy= f(x)y= f(x)B0xXb0f'(x)0定理1设函数=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.(1)如果在(a,b)内f'(x)≥0，且等号仅在有限个点处成立，那末函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内 f(x)≤0，且等号仅在有限个点处成立，那末函数y= f(x)在[a,b]上单调减少
一、单调性的判别法 x yo y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f x ( ) 0 f x ( ) 0 定理1 ( ) [ , ] ( , ) . 1 ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] (2) ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] . y f x a b a b a b f x y f x a b a b f x y f x a b = = = 设函数 在 上连续，在 内可 导（ ）如果在 内 ，且等号仅在有限个 点处成立，那末函数 在 上单调增加； 如果在 内 ，且等号仅在有限个 点处成立，那末函数 在 上单调减少 a b B A
证 xj,x, E (a,b), 且 x, 0,若在(a,b)内，f'(x)>0,则 f'()>0,: f(x2)>f(x). :. y=f(x)在[a,b]上单调增加若在(a,b)内,f(x)<0,则 f'()<0,:. f(x)< f(x) : y= f(x)在[a,b]上单调减少
证 , ( , ), 1 2 x x a b , 1 2 且 x x 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 f x − f x = f x − x x x 0, x2 − x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 1 f x f x y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 1 f x f x y = f (x)在[a,b]上单调减少
例1 判断函数y=x-sin x在[0,2元[上的单调性解：因为在（0,2元）内y'=1-cosx> 0所以由定理1可知，函数y=x-sinx在上[0,2元单调增加
例1 sin [0,2 ] 判断函数y x x = − 在 上的单调性. 0,2 1 cos 0 1 sin [0,2 ] y x y x x = − = − 解：因为在( )内 所以由定理 可知，函数 在上 单调增加
例2讨论函数y=e*-x-1的单调性解 ： y'= e* -1.又：: D:(-00,+o0).2.5N在(-80,0)内，y' 0，：.在[0,+)上函数单调增加注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性
例2 解 1 . x 讨论函数y e x = − − 的单调性 = − 1. x y e 在(−,0)内, y 0, − 在( ,0]上函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 在[0, ) . + 上函数单调增加 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 又 D :(−,+)
例3 确定函数 f(x)=/x2 的单调区间.解: D :(-80,+8)22.5f'(x)=(x±0)y=x233/x1.5当x=0时，导数不存在当-800,:在[0,+0)上单调增加;单调减少区间为(-80,0],单调增加区间为[0,+8)
例 3 解 ( ) . 确定函数 f x = 3 x2 的单调区间 D :(−,+). , ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时,导数不存在. 当− x 0时， 当0 x +时，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (x) 0, 在(−,0]上单调减少； 单调减少区间为( ,0] − ， 3 2 y = x 单调增加区间为[0, ). +
单调区间求法问题：如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间导数等于零的点、不可导点和间断点，可能是单调区间的分界点。方法：用方程 f'(x)=0的根及 f'(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,然后判断区间内导数的符号
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点、不可导点和间断点，可能是 单调区间的分界点． 方法: . ( ) , ( ) 0 ( ) 数的符号 来划分函数 的定义区间 然后判断区间内导 用方程 的根及 不存在的点 f x f x = f x 单调区间求法
P例4确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间解 : D : (-80,+80)0.51.522.5f'(x) = 6x2 -18x +12 = 6(x -1)(x -2)解方程f(x)=0 得，X =1,x, = 2.当-800;:在(-80,Ij上单调增加;当10,: 在[2,+)上单调增加;单调递增区间为(-80,1]，[2,+8),[1,2].单调递减区间为
例4 解 12 3 . ( ) 2 9 3 2 的单调区间 确定函数 + − = − x f x x x D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x − 1)(x − 2) 解方程f (x) = 0 得， 1, 2. x1 = x2 = 当− x 1时，f (x) 0, 在(−,1]上单调增加； 当1 x 2时， f (x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x +时，f (x) 0,在[2,+)上单调增加； 单调递增区间为 (−,1]， [1,2]. [2, ), + 单调递减区间为
例5y= x3,x=o =0，但在(-o0,+)上单调增加注意：区间内个别点导数为零,其它地方导数恒正或恒负，区间的单调性不变例6 证明：当x>1时,2/>3_1x证 令 f(x)= 2/x-(3- 一),则X1(x/x -1)f'(x) =xVxf(x)在[1,+8)上连续，在(1,+80)内f(x)>0,因此在[1,+o)上f(x)单调增加，从而当x>1时,f(x)>f(1)
➢ 注意:区间内个别点导数为零,其它地方导数恒正 或恒负，区间的单调性不变. 例5 , 3 y = x 0, y x=0 = 但在( , ) . − + 上单调增加 1 6 1 2 3 x x x 例 证明：当 − 时， 1 ( ) 2 (3 ), f x x x 证 令 = − − 则 2 2 1 1 1 ( ) ( 1) f x x x x x x = − = − ( ) [1, ) (1, ) ( ) 0, [1, ) ( ) 1 ( ) (1). f x f x f x x f x f + + + 在 上连续，在 内 因此在 上 单调增加，从而当 时
由于f(1)= 0,故f(x)> f(1) = 0即 2/-(3-})>02/x >(3_1)也就是(x >1)x1+x证明:当0<x<1时,e2x练习1-x证 令 f(x)=(1-x)e2*-1-x则 f(0)=0则f'(0) = 0= f'(x) =(1-2x)e2x -1
练习 2 1 : 0 1 , . 1 x x x e x + − 证明 当 时 (1) 0, ( ) (1) 0, 由于f f x f = = 故 1 2 (3 ) 0 x x 即 − − 1 2 (3 ) ( 1) x x x 也就是 − 证 2 ( ) (1 ) 1 x 令 f x x e x = − − − 2 ( ) (1 2 ) 1, x = − − f x x e 则f (0) 0 = 则 f (0) 0 =