第二节定积分在几何上的应用平面图形的面积旋转体的体积三、平面曲线的孤长四、小结
第二节 定积分在几何上的应用 • 一、平面图形的面积 • 二、旋转体的体积 • 三、平面曲线的弧长 • 四、小结
一、平面图形的面积1.直角坐标系情形yty=f(x)y=f(x)y=f.(x)X小ofoaxx+AbaxArb曲边梯形的面积曲边梯形的面积A= f'f(x)dxA= I'lf;(x)- fi(x)dx
曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 曲边梯形的面积 = − b a A [ f (x) f (x)]dx 2 1 x y o y = f (x) a xx + xb 1.直角坐标系情形 ( ) 1 y = f x ( ) 2 y = f x a b xx x y o 一、平面图形的面积
例1计算由两条抛物线：2=x、y=x2所围成的图形的面积解仓J=x2VXy2=xy2=xy+AyVOxx+ArX1+
例1 计算由两条抛物线：y 2 = x、y = x 2 所围成的图 第二节 定积分在几何上的应用 解 例1 计算由两条抛物线：y 2 = x、y = x 2 所围成的图 形的面积. 先选 x 为积分变量，其 变化范围为 [0 , 1]，此时微元为 小竖条，如图所示. 面积元素为 d ( )d . 2 A = x − x x 所求面积为 = − 1 0 2 A ( x x )dx 1 0 2 3 3 3 1 3 2 = x − x . 3 1 = y 2 = x y = x 2 x y O 1 x x+x 形的面积. y 2 = x y = x 2 x y O 1 x x+x y 2 = x y = x 2 x y O 1 y y+y
例1计算由两条抛物线2=x和y=x所围成的图形的面积y=x2解两曲线的交点y2=x(0,0)(1,1)选x为积分变量xE[0,1]xOxx+A1面积元素 dA=(Vx-x)dx[-]--A=f"(Vx-x)dx=
解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x [0,1] A ( x x )dx 2 10 = − 10 3 3 3 2 23 = − x x . 31 = 2 2 1 . 例 计算由两条抛物线y x y x = = 和 所围成的 图形的面积 y 2 = x y = x 2 x y O 1 x x+x
例2计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积y=x3 -6x10解两曲线的交点y=x2.[y= x3 -6x[y= x?-2-1→ (0,0), (-2,4),(3,9),选x为积分变量xE[-2,3](1) x[-2, 0], dA, =(x3 -6x -x')dx(2) xE[0,3], dA, =(x2 -x3 +6x)dx
解 两曲线的交点 (0,0), (−2,4), (3,9). = = − 2 3 6 y x y x x 选 x 为积分变量 x [−2, 3] (1) x [−2, 0], dA (x 6x x )dx 3 2 1 = − − (2) x [0,3], dA (x x 6x)dx 2 3 2 = − + 2 y = x y x 6x 3 = − 3 2 2 6 . 例 计算由曲线y x x y x = − = 和 所围成的 图形的面积
于是所求面积 A=A +A,A = f,(x3 -6x - x")dx+ f(x? - x* + 6x)dx-25312说明：注意各积分区间上被积函数的形式，问题：积分变量只能选x吗？
于是所求面积 A = A1 + A2 A (x 6x x )dx 2 0 2 3 = − − (x x 6x)dx 2 3 3 0 + − + . 12 253 = 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？
例3计算抛物线：y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积解白V2=2xy2 = 2x(8.4)(8,4)V=x-4V=x-4xY(2,-2)(2,-2)
y 2 = 2x y = x – 4 x y O (2,-2) (8,4) 例3 计算抛物线：y 2 = 2x 与直线 y = x – 4 所围成的 第二节 定积分在几何上的应用 y 2 = 2x y = x – 4 x y O (2,-2) (8,4) 解 例2 计算抛物线：y 2 = 2x 与直线 y = x – 4 所围成的 图形的面积. 解方程组 = − = 4 2 2 y x y x 得抛物线和直线的交点为 (2 , -2) 和 (8 , 4) . 选 y 为积分变量，则面积元素为 d , 2 1 d 4 2 A y y y = + − 图形的面积. y 2 = 2x y = x – 4 x y O (2,-2) (8,4)
例3计算由曲线y2=2x和y=x-4所围成的图形的面积.解两曲线的交点72[y? = 2x(8,4)2y=x-4y=x-4x→ (2,-2), (8,4).(2,-2)ye[-2,4]选为积分变量dA =18.y+4-A=dA =dy-2
解 两曲线的交点 (2,−2), (8,4). = − = 4 2 2 y x y x 选 y 为积分变量 y [−2, 4] dy y dA y = + − 2 4 2 18. 42 = = − A dA 2 3 2 4 . 例 计算由曲线y x y x = = − 和 所围成的 图形的面积 y 2 = 2 xy = x – 4 x y O (2, -2) (8,4)
x=p(t)如果曲边梯形的曲边为参数方程(y=y(t)曲边梯形的面积A = ' f(x)dx = J" y(t)p'(t)dt.（其中α和β对应曲线起点和终点的参数值）在[α,β]或[β,α]上x=(t)具有连续的导数y=y(t)连续
如果曲边梯形的曲边为参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 曲边梯形的面积 ( ) ( ) ( ) . b a A f x dx t t dt = = (其中 和 对应曲线起点和终点的参数值) [ ] [ , ] ( ) ( ) . x t y t = = 在 , 或 上 具有连续的导数， 连续
大y2例4 求椭圆1的面积.=b2x=acost解椭圆的参数方程xx+dx0北ay=bsint由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积。A = 4f, ydx =4f, bsintd(acost)= 4ab [' sin’ tdt = πab.J0
解 椭圆的参数方程 = = y b t x a t sin cos 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． = a A ydx 0 4 = 0 2 4 bsintd(acost) ab tdt = 2 0 2 4 sin = ab. 2 2 2 2 4 1 . x y a b 例 求椭圆 + = 的面积 a b o x y x x x + d