《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章 微分中值定理与导数的应用_3-3 泰勒公式

第三节泰勒公式一、泰勒公式的建立二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用

二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 泰勒公式

一、泰勒公式的建立在微分应用中已知近似公式：y= f(x)f(x) = f(xo)+ f'(x。)(x-xo)pi(x)p,(x)(x-xo)的一次多项式特点: Pi(xo)= f(xo)XoxX以直代曲pi(xo) = f(xo)如何提高精度？需要解决的问题如何估计误差？

特点: ( ) 0  f x ( ) 0  f  x 一、泰勒公式的建立 f ( x ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0  f x  f  x x  x 以直代曲 x0 ( ) 1 p x 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x (x-x0 )的一次多项式 x y y  f ( x) O

一、泰勒公式的建立在微分应用中已知近似公式：y= f(x)f(x)= f(xo)+ f'(xo)(x-xop;(x)pi(x)(x-xo)的一次多项式特点: Pi(xo)= f(xo)XX x以直代曲pi(xo) = f'(xo)找一个关于（x一x）的n次多项式，使得f(x) =ao +a,(x-x)+a,(x-x)?+.. +a,(x-xo)p,(x)

特点: ( ) 0  f x ( ) 0  f  x 一、泰勒公式的建立 f ( x ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0  f x  f  x x  x 以直代曲 x0 ( ) 1 p x 在微分应用中已知近似公式 : x (x-x0 )的一次多项式 x y y  f ( x) O 找一个关于 的n次多项式,使得: f ( x ) 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) n n         a a x x a x x a x x

1.求n次近似多项式Pn(x），要求：pn(xo)=f(xo),pn(xo)= f(xo), ..,pm(xo)=f(n)(xo)pn(x) = ao+ ai(x - xo)+ a2(x - xo) +... +an(x - xo)ai+ 2a2(x - xo)+.. + nan(x- xo)n-1则pn(x)=2la2 +..+n(n-1)an(x-xo)n-2pn(x) =n!anp(m)(x) =aj=pn(xo)= f'(xo),ao=Pn(xo)=f(xo)a2 =P"(xo)=f"(xo), * ,an =pm)(xo)= f(n)(xo)故Pakya f( f$yo(as tre t)(xod(txxo)3+ ..+(xo）

f ( x ) 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) n n         a a x x a x x a x x 1. 求 n 次近似多项式 要求: ( ) 2! 0 1 2 a p x n   ( ), 0  f  x  , ( ) 0 ( ) ! 1 a p x n n  n n ( ) 0 ( ) f x n  故 pn ( x)  ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0  f  x x  x   2! 1 ! 1 n n n f ( x ) ( x x ) 0 0 ( )   ! 1 n 2 0 0  f ( x ) ( x  x ) 2! 1 pn ( x)  则 pn  ( x)  pn ( x)  n ( )  n!a ( ) p x n n ( ) 0 0 a p x  n ( ), 0  f x ( ) 1 0 a p x n   ( ), 0  f  x a1 2 ( ) 2 0  a x  x 1 0 ( )     n n  n a x x 2 2 !a 2 0 ( 1) ( )      n n  n n a x x a0 n n a ( x x ) a ( x x ) a ( x x ) 0 2  1  0  2  0    

泰勒(Taylor）中值定理：若f(x）在包含xo的某开区间（a,b）内具有直到n+1阶的导数，则当xE(a,b)时,有F() = f(x0) + f(x0)(x - xo) + I"(x0)+-2!(x0)(x- xo)"+ R,(x)n!f(n+) (E)其中R(x)=(x -xo)n+1（在Xo与x之间）(n+1)!公式①称为fx）的n阶泰勒公式公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项泰勒

公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒(Taylor)中值定理 : 阶的导数 , 时, 有 ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0  f  x x  x 2 0 0 ( ) 2 ! ( ) x x f x      n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( )   R ( x)  n ① 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( )      n n n x x n f R x  ② 则当 ) 0 ( 在 x 与 x 之 间 泰勒

注意到3R,(x) = o[(x - xo)n]在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为J(x)= f(x0) + f'(x0)(x - xo) + f"(x0)x-x)+..2!Xo(x-xo)" + o[(x- xo)"]n!公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺（Peano）余项＊可以证明：f(x）在点xo有直到n阶的导数④式成立

公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f (x0 )  f ( x0 ) ( x  x0 )   2 0 0 ( ) 2 ! ( ) x x f x    n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( )   [( ) ] 0 n  o x  x ( ) [( ) ] 0 n n 注意到 R x  o x  x ③ ④ * 可以证明: ④ 式成立

J(x) = f(x0) + f(xo)(x - xo) +f"(x0)(x - xo)? + ..2!f("(xo)(x - x0)"+ [((2)(x-x0)+n!(n+1)!（在xo与x之间）特例:拉格朗日中值定理(1)当n=0时,泰勒公式变为f(x)= f(xo) + f'(E)(x - Xo)（在x与x之间）(2)当n=1时,泰勒公式变为f"()Xo)f(x) = f(xo)+ f(xo)(x - xo)-+2!（在x与x之间）可见f(x)= f(xo)+ f(xo)(x-xo)dfR(x) = f"(E)误差(x-xo)2 (在xo与x之间)2！

特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f ( x)  ( ) 0 f x ( ) ( ) 0  f   x  x (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 拉格朗日中值定理 f ( x)  ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0  f  x x  x 2 0 ( ) 2 ! ( ) x x f     可见 误差f ( x)  ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0  f  x x  x   1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( )      n n x x n f  2 0 0 ( ) 2 ! ( ) x x f x    n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( )   d f ) 0 ( 在 x 与 x 之 间) 0 ( 在 x 与 x 之 间 ) 0 ( 在 x 与 x 之 间 ) 0 ( 在 x 与 x 之 间

在泰勒公式中若取x=0,记=x（0<1),则有f(n) (0)F(x) = f(0)+ f(0)x + I"(0),2!n!f(n+1)(0 x).n+1(n+l)!称为麦克劳林（Maclaurin）公式。由此得近似公式f"o(0)f(x)= f(O) + f(O)x -2！n!若在公式成立的区间上f(n+I)(x)≤M,则有误差估计式Mn+lR,(x)/≤(n+1)麦克劳林

称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 0, x0  则有 f (0)  f (0) x 2   2 ! (0) x f   n n x n f ! (0) ( )  在泰勒公式中若取 f ( x)  ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0  f  x x  x   1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( )      n n x x n f  2 0 0 ( ) 2 ! ( ) x x f x    n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( )   ) 0 ( 在 x 与 x 之 间 f ( x)  f (0)  f (0) x   ( ) , ( 1) f x M n   则有误差估计式 1 ( 1)! ( )    n n x n M R x 2 2 ! (0) x f   n n x n f ! (0) ( )  若在公式成立的区间上 麦克劳林 由此得近似公式 记    x (0    1)

二、几个初等函数的麦克劳林公式(1) f(x)=er: f(k)(x)=e*, (k)(0)=1 (k =1,2,...)ex=+ Rn(x)1+x+2!3!n0xeth+1其中(0<0<1)R,(x):(n+l)!麦克劳林公式c(n+l) (0x)f"(O)_n+1f(x)= f(O)+ f'(O)x -2!(n+1)!n!(0<0<1)

二、几个初等函数的麦克劳林公式 ( ) e , (k ) x  f x  (0) 1 ( 1, 2 , ) f ( k )  k   x  e  1  x 3! 3 x    n! x n  R ( x)  n 2! 2 x  其中 f (0)  f (0) x 2  2 ! (0) x f   n n x n f ! (0) ( )  麦克劳林公式 (0    1)

(2) f(x)= sin x元一: f(k)(x)= sin(x+k2k = 2m0f(k)(0)= sin k"=(m=1,2,..)(-1)m-1, k= 2m-1(-1)m-1 μ2m-Isinx =+ R2m(x)(2m-1)!3!5!(-1)m cos(0 x)2m+l(0<0<1)其中 R2m(x)=(2m+1)!麦克劳林公式f(n+l)(0x)f"(0)10rn+1f(x)= f(O)+ f'(O)x +2!(n+1)!n!(0<0<1)

sin( π ) 2 2 1  m ( 1) xcos( x) m   ( )  sin( x  ) ( ) f x k   sin x  x 3! 3 x  5! 5 x  (2 1)! 2 1    m x m ( ) 2 R x  m 其中 R2m ( x)  2 π k  2 π (0) sin ( ) f k k      0, k  2m ( 1) , k  2m  1 1  m (m  1, 2 , )   1 ( 1)   m (0    1) 2m1 x (2m 1) ! f (0)  f (0) x 2  2 ! (0) x f   n n x n f ! (0) ( )  (0    1) 麦克劳林公式