《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 微分方程_7-3 齐次方程

第七章第三节齐次方程一、齐次方程*二、可化为齐次方程的方程

齐次方程 第三节 一、齐次方程 *二、可化为齐次方程的方程 第七章

一、齐次方程d=0()形如的方程叫做齐次方程dx1dudy解法：令u=,则y=ux，=u+xdxdxXdu代入原方程得p(u)u+xdxdudx分离变量：p(u)-uxdu两边积分，得p(u)-uX积分后再用二代替u，便得原方程的通解X

一、齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 , x y u  代入原方程得 ( ) d d u x u u  x   x x u u u d ( ) d    两边积分, 得     x x u u u d ( ) d  积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量:

例1.解微分方程 y'=+tanXX解：令u=,则y=u＋xu,代入原方程得Xu+xu=u+tanudxcosudu=分离变量sinuxdxcosu此处C±0两边积分dusinuX得In sinu=In x+In C,即 sinu=Cx故原方程的通解为sin二=Cx（C为任意常数）（当C=0时，y=0也是方程的解）

例1. 解微分方程 tan . x y x y y    解: , x y 令u  则y   u  x u  , 代入原方程得 u  x u   u  tan u 分离变量 x x u u u d d sin cos  两边积分    x x u u u d d sin cos 得 ln sin u  ln x  ln C , 即 sin u  C x 故原方程的通解为 C x x y sin  ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) ( C 为任意常数 ) 此处 C  0

例2.解微分方程呈(y2-2xy)dx+x2dy=0=2-（)，令=解：方程变形为dxxx则有u+xu'-2u-u?dudxdx分离变量即（dux-uu-1Uxx(u-1)u-即积分得In:-ln|x|+InC,uu代回原变量得通解x(y-x）=Cy（C为任意常数）说明：显然x=0,=0,=x也是原方程的解，但在求解过程中丢失了作业

例2. 解微分方程 解: 2   , d d 2 x y x y x y 方程变形为   , x y 令 u  则有 2 u  x u   2u  u 分离变量 x x u u d u d 2    积分得 ln ln , 1 ln x C u u       x x u u u d d 1 1 1     即 代回原变量得通解 即 C u x u  ( 1) x ( y  x )  Cy 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 (C 为任意常数) 求解过程中丢失了. 作业

*二、可化为齐次方程的方程dyax+by+c(c2 +c ± 0)dxaix+biy+ci1.当=时,作变换 x=X+h,y=Y+k（h,k为待6定常数），则dx=dX，dy=dY，原方程化为dY aX+bY+ah+bk+cdXa,X+bY +a,h+b,k +ciah+bk+c=0解出h，kAah+bk+ci=0福dy aX+bY(齐次方程)dx aX+b,Y

( h, k 为待 *二、可化为齐次方程的方程 ( 0) 2 1 2 c  c  1. , 当 1 1 时 b b a a  作变换 x  X  h , y  Y  k 则d x  d X , d y  dY , 原方程化为  a h  b k  c 1 1 1  a h  b k c 令 , 解出 h , k (齐次方程) 定常数)

求出其解后，将X=x-h,=-k代入，即得原方程的解2.当==时,原方程可化为abdyax+by+cdxa(ax+by)+cidvdy令v=ax+by,则Ea+bdxdxdyV+C=a+b（可分离变量方程）dxV+Ci注：上述方法可适用于下述更一般的方程dyax+by+c)(c2+c±0)fdxaix+biy+ci

求出其解后, 即得原方 程的解. 2. , 当 1  1  时 b b a a 原方程可化为 1 d ( ) d a x by c a x by c x y       令 v  a x  by, x y a b x v d d d d 则   1 d d v c v c a b x v      (可分离变量方程) 注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 ( 0) 2 1 2 c  c 

x+y+4dy例3.求解dx x-y-61x=2=-5Vh+k+4=0解：令得h=1,k=-5h-k-6=0dY.X+Y令x=X+1,y=Y-5,得dX X-Y再令Y=Xu，得dX1-udu=X1+u积分得arctanu -ln(1+u2)= ln|C X代回原变量，得原方程的通解

例3. 求解 解: h  k  4  0 令 x  X 1, y  Y  5 , X Y X Y X Y    d d 得 再令 Y＝X u , 得 令 h  k  6  0 得 h k    1, 5 X X u u u d d 1 1 2    积分得 arctan u ln (1 ) 2 2 1   u  ln C X 代回原变量, 得原方程的通解:

V+5-[（普= ln|C(x-1)arctanx-12利用ylx=2 =-5 得 C=1，故所求特解为V+5=→in[(x-1)2 +(y+5)2]arctanx-1x+y+4dy思考：若方程改为如何求解？dxx+y-提示：令V=×+y

1 5 arctan   x y                 2 1 5 ln 1 2 1 x y  ln C (x 1) 得 C = 1 , 故所求特解为 思考: 若方程改为 如何求解? 提示:

作业P3141 (1), (4), (6) ;2 (2), (3) ;

作业 P314 1 (1), (4), (6) ; 2 (2), (3) ;