《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第二章 导数与微分_2-5 函数的微分

练习1．已知y=1+xe,求yx=0解得：+xye*y=10E1-x’ewx =t-ln(l+t)d求练习2.y=t3+t2dx?解得：=32 +5 + 2,心(t +1)(6t +5)dx

练习1. 解得: 练习2. 解得:

第五节函数的微分一、微分的概念二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用

二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 第五节 一、微分的概念 函数的微分

一、微分的概念引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由xo变到xo+△x，问此薄片面积改变了多少？设薄片边长为x，面积为A，则A=x2，当x在x取得增量△x时，面积的增量为XoAxAxAx△A = (xo + △x)? - xo= 2xoAx +(Ax)OXoAxA=xoXo关于△x的△x→0时为高阶无穷小线性主部故A~2xoAx称为函数在xo的微分

一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A  x 0x x 面积的增量为 x x 0 2 0 A  x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x  0 时为 故 称为函数在 x0 的微分 当 x 在 0x 取 得增量 x 时, 0x 变到 , 0 边长由 x  x 其

定义：若函数y=fx）在点Xo的增量可表示为△ y= f(xo + △x) - f(xo) = A△x + o(△x)（A为不依赖于△x的常数）则称函数 = f(x)在点xo可微，而 A△x 称为f(x)在点xo的微分，记作dy或df，即dy= A△x定理：函数=f(x）在点xo可微的充要条件是y=f(x)在点xo处可导,且A=f(xo),即dy= f'(xo)Ax

的微分, 定义: 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y  f (x) 而 A x 称为 记作 即 dy  Ax 定理: 函数 在点 x0 可微的充要条件是  Ax  o(x) 即 dy  f (x )x 0 在点 可微

定理：函数y=fx）在点xo可微的充要条件是y=f(x）在点xo处可导，且A=f'(xo)，即dy = f'(xo)Ax证：“必要性”已知=f(x)在点 xo可微，则△ y= f(xo + △x) - f(xo) = A△x +o(△x)0(△x)Ay= lim(A+)limAxAx-0 △xAx->0故y=f(x）在点xo可导，且f(xo）=A

定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0  y  f x  x  f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x             A 故  Ax  o(x) 在点 可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy  f (x )x 0

定理：函数y=fx）在点xo可微的充要条件是y=f(x）在点xo处可导，且A=f'(xo），即dy= f(xo)Ax“充分性”已知 =f(x)在点 xo可导,则lim = f(xo)Ar-0 △x=f(xo)+α(limα=0)Ax4x-0故 △y= f(xo)Ax +α△x = f'(xo)Ax+o(△x)f'(x）+0时此项为山的即 dy= f(xo)△x线性主部

定理 : 函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy  f (x )x 0 “充分性” 已知 lim ( ) 0 0 f x x y x             ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0    x  y  f ( x )x  x 故 0 ( ) ( ) 0  f  x x  o x 即 dy  f (x )x 0 在点 可导, 则

说明:△y= f(xo)△x +o(△x)dy= f(xo)Ax当f(xo）±0时，DyAy= limlimAx-→0 dyAr-0 f(xo)Ax1y =llimf'(xo)Ar-→0 Ax所以△x→0时y与dy是等价无穷小，故当△x很小时，有近似公式Aydy

说明: ( ) 0 f  x0  时 , dy  f (x )x 0 ( ) ( ) 0 y  f  x x  o x y y x d lim 0    f x x y x       ( ) lim 0 0 x y f x x      0 0 lim ( ) 1  1 所以 x  0 时 y dy 很小时, 有近似公式 x y  dy 与 是等价无穷小, 当 故当

微分的几何意义一切线纵坐标的增量didy = f'(xo)Ax = tanα ·xy= f(x)/V当Ax很小时，△y~dy当y=x时，记Ay = Ax =dxXXo称△x为自变量的微分，，记作dxXo+Ax则有dy=f'(x)dx微分的计算公式dy= f'(x)导数也叫作微商从而dx

微分的几何意义 dy  f (x )x 0 x  x 0 x y O y  f ( x )  0 x y  tan  x dy 当 x 很小时, y  dy 当y  x 时， 则有 dy  f ( x) dx 从而 ( ) d d f x x y   导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 称 x为 自变量的微分, 记作 dx y  x  dx 记 微分的计算公式

例如，y=arctan x的微分dx1+x又如，y=x3当x=2,△x=0.02时的微分=3x2.dx= 0.24x=2x=2dx=0.02dx=0.02基本初等函数的微分公式（见P113-114表）

又如, 3 y x x x    当 2,Δ 0.02 . 时的微分 dy d 0.02 2   x x 2  3x  dx d 0.02 2   x x  0.24 基本初等函数的微分公式 (见 P113-114表) y x  arctan 的微分 dy x x d 1 1 2   例如

二、 微分运算法则设 u(x),v(x)均可微，则2.d(Cu)= Cdu(C为常数)1. d(u±v)= du±dyvdu-udy4. d(")=3. d(uv) = vdu + udy（V￥0）5.复合函数的微分y=f(u),u=(x）分别可微则复合函数=f[(x)]的微分为-dudy= y dx = f'(u)p'(x)dx微分形式不变dy= f(u)du

二、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为  f (u)  ( x) dx du dy  f (u) du 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数  du  dv  vdu  udv