《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数与极限_1-6极限存在准则 两个重要极限

第六节极限存在准则两个重要极限一、函数极限与数列极限的夹逼准则两个重要极限二D

二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的夹逼准则 第六节 极限存在准则 两个重要极限

1.数列极限的夹逼准则（准则I）(l)yn≤xn≤zn(n=l,2,)limxn=a(2) lim yn = lim zn = αn→00n8n8证：由条件(2)，V>0,3N,N2当n>N时,yn-aN,时,|znαN 时,有a-<yna+,a-<zn<a+,由条件(1)a-yn≤xn≤zn<a+即x,-a<，故limxn=a.n-0

y z a n n n n     (2) lim lim 1. 数列极限的夹逼准则（准则I） (1) y  x  z ( n  1, 2 ,  ) n n n x a n n   lim 证:由条件 (2) ,    0 , , N1 当 时, 当 时, 令 max ,  , N  N1 N2 则当 n  N 时, 有 由条件 (1) n n n a    y  x  z  a   即 x  a   , n 故 lim x a . n n   , N2

2.函数极限存在的夹逼准则（准则I'）当xeU(xo,)时, g(x)≤f(x)≤ h(x),且(|x|>X >0)lim g(x) = lim h(x)= AX→XoX→X0(X0)(x→(00)lim f(x)= AX→Xo(0)

2. 函数极限存在的夹逼准则（准则Iʹ） ( , ) , 当 x U x0  时   g x h x A x x x x     lim ( ) lim ( ) 0 0 g ( x)  f (x)  h( x) , f x A x x   lim ( ) 0 ( x  X  0 ) ( x  ) ( x  ) ( x  ) 且

例1 求 limn-→00/n+nn解In2++In+nn1n又limlimn->00n-00Vn+nnnlimlim由夹逼准则得n→>8n20limn-00七Jn+n2

例1 2 2 2 1 1 1 lim ( ). 1 2 求 n n n n n         解 2 2 2 2 1 1 , 1 1 n n n n n n n n         2 1 lim lim 1 1 又 n n n n n n      1, 2 2 1 lim lim 1 1 1 n n n n n      1, 由夹逼准则得 2 2 2 1 1 1 lim( ) 1. 1 2 n n n n n        

3.单调有界准则如果数列x满足条件单调增加X≤x..≤x≤xntI≤..,单调数列单调减少X ≥x2..≥xn ≥xn+1 ≥..",准则II单调有界数列必有极限几何解释：AMXXX2Xxnn+1

3.单调有界准则 如果数列xn 满足条件 1 2 1 , n n x x x x      单调增加 1 2 1 , n n x x x x      单调减少 单调数列 几何解释: x 1 x 2 x 3 x n x n 1 x  A M 准则II 单调有界数列必有极限

例2证明数列x=V3+V3+...+V3(n重根式）的极限存在证显然x+1>x，：{x,}是单调递增的;又: x = V00A =3+A 解得 A= I+V4_1-V/13(舍去)221+/13..limx, =2n-00

例 2 3 3 3 ( ) . 证明数列 重 根 式 的 极 限 存 在 n x n     证 1 显 然 , n n x x     是 单 调 递 增 的 ; n  x 1 又 x   3 3, 假 定 3, k x  1 3 k k x x     3 3  3,  是有界的 ; n  x lim . n 存在 n x   1 3 , n n x x    2 1 3 , n n x x    2 1 lim lim(3 ), n n n n x x      2 A A  3 , 1 13 1 13 , 2 2 解 得 A A     (舍去 ) 1 13 lim . 2 n n x    

两个重要极限RAD二、1sinx1. lim=1Ax-0 x证：当xE(0,）时，△AOB的面积<圆扇形AOB的面积<AAOD的面积即1sinx<ix<1tanx故有(0<x<)sinxcOSxsinx(0<|x|<)显然有COSXXsinxlim下面再证明：limcosx=1.二-0X-0x

1 sin cos   x x x 圆扇形AOB的面积 二、 两个重要极限 证: 当 即 sin x  2 1 tan x 2 1  亦即 sin tan (0 ) 2 π x  x  x  x  ( 0 , ) 2 π x  时， (0 ) 2 π 显然有  x  △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 O B A x 1 D C

当0x时0<|1- cos x=1- cos x<2(=号= 2sin2×<lim(1- cosx)= 0x-0:.limcosx=1x-0sinxlimx-0x

注 当 2 π 0  x  时 0  1  cos x  1  cos x 2 2sin2 x    2 2 2 x  2 2 x  lim(1 cos ) 0 0     x x

tanx例3.求limx0xtanxsinx解：limlim1x-0Xx-00xcOSxsinx= limlimx-0xx-0coSxarcsinx例4.求limx-0x解：令t=arcsinx,则x=sint,因此1原式=limlimsintt-osintt->0

例3. 求 解: x x x tan lim 0         x x x x cos sin 1 lim 0 x x x sin lim 0  x cos x 1 lim 0   1 例4. 求 解: 令 t  arcsin x , 则 x  sin t , 因此 原式 t t t sin lim 0  t sint  1

说明：一般地sin p(x)lim0(x)→0p(x)-COSX例5. 求 limx-0X2sinsin解：原式=limimx-012x0

2 0 sin lim       x 2 x 2 x 2 1 例5. 求 解: 原式 = 2 2 2 0 2sin lim x x x 2 1 2 1   说明: 一般地