《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第四章 不定积分_4-2 换元积分法

第四章第二节换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法

二、第二类换元法 第二节 一、第一类换元法 换元积分法 第四章

基本思路设F'(u)=f(u)，u=β(x)可导，则有dF[o(x)= f[0(x)lo'(x)dx[ f[p(x)]p'(x)dx =F[0(x)]+ C = F(u)+ Cu=(x)=J f(u)du|u=g(x)第一类换元法J f(u)du[ [(x)]g'(x)dx第二类换元法

第二类换元法 第一类换元法 基本思路 设 F (u )  f (u ) , 可导, F [ ( x ) ]  C ( ) ( )d u x f u u    ( ) ( ) C u x F u    dF [ ( x ) ]  f [ ( x ) ] ( x )d x 则有

一、第一类换元法定理1.设f(u)有原函数，u= (x)可导，则有换元公式J f[o(x)]p(x)dx =J f(u)duu= p(x)即[ f[o(x)]p'(x)dx = f(o(x)d p(x)（也称微分法）

一、第一类换元法 定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u   ( x ) 可 导 , 则有换元 公式  f (u)du u   ( x )  f ( ( x) )d  ( x) (也称 即    f [ ( x ) ] ( x )dx 凑微分法)

注:(f[p(x)lo'(x)dx由定理可见，虽然是一整体记号，但可把dx视为自变量微分→[ f[d(x)]p(x)dx=[ [p(x)dp(x) 一—凑微分u=p(x)[ f(u)du——换元[F(u)+C], u=e(x) 一一回代=F[p(x)]+C步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量

注: dx 由定理可见，虽然 f x x x [ ( )] ( )d    是一整体记号，但可把 视为自变量微分  f x f x [ ( )] [ ( )  ( )d d ) x x   ] (x   ——凑微分 步骤： 凑微分；换元求出积分；回代原变量 u x ( ) f u u ( )d  ——换元   F u C ( )  ( ) u x    F x C [ ( )]  ——回代

例1.求「sin 2 xdx.解：(sin2xdxsin2x-(2x)'dx---凑微分sin2xd(2x)令u=2xsinudu ----换元cosu+C2u=2xcos(2x)+C--回代原变量2

例1. 求 sin 2 d . x x  解: sin 2 dx x   sin 2 d x x  (2 ) x  1 2 1 sin 2 d(2 ) 2  x x  令u x  2 1 sin d 2 u u  1 cos 2    u C 2 u x        1 cos(2 ) . 2    x C -凑微分 -换元 -回代原变量

例2.求[(ax+b)"dx (m±-1).解：令u=ax+b，则du=adx，故m+1lumidu原式=「福m+1Q(ax + b)m+1 + Ca(m+1)注：当m=-1时dx=- inlax+bl+Cax+bC

例2. 求 解: 令 u  a x  b , 则 d u  a d x , 故 原式 =  m u u a d 1 a 1  u C m m    1 1 1 注: 当 时

例3.求dx(x+2)解：令u=x+2，则x=u-2,dx= du.于是(u-2)2dx-du=[ (u? - 4u + 4)u-" dux+2)[(u-" - 4u-? + 4u-3)du=ln |ul + 4u-l - 2u-2 + C2=lnx+2|+x+2(x+2)

例3. 求 解:

dx想到公式例4.求dudxdx解：l+u= arctan u +u=则du=dxarctanu+caarctan(=)+ Ca

2 2 1 d 1 ( ) xax a    例4. 求 解 : , ax 令 u  则 x a u d 1 d    2 1 u d u a1 u C a  arctan  1 想到公式   2 1 d uu  a r c t a n u  C ( ) xa 

dx例5.求(a> 0).d()dxdx解：1-()2一=arcsin=+Cadu想到arcsinu+CJ [o(x)o'(x)dx = [ f(o(x)dp(x)（直接凑微分）

例5. 求    2 1 d u u 想到 a r c s i n u  C 解: 2 d 1 ( ) x a x a      f ( ( x) )d ( x) (直接凑微分)  f [ ( x ) ] ( x )dx 2 d( ) 1 ( ) x a x a   

dx例6.求解：1(x+a)-(x-a) 1(2a(x-a)(x+a))2ax-ax+a[- da：原式c+a-2[-[ a]x+ax-a_[1n|x-a|-In|x+al ]+C =_in2ax+a

C x a x a a     ln 2 1 例6. 求 解: 2 2 1 x  a  (x  a)(x  a) ( x  a )  ( x  a ) 2a 1  ) 1 1 ( 2 1 a x a x  a    ∴ 原式 =    2a 1      x a x x a dx d        2a 1    x a d(x a)    2a 1  ln x  a  l n x  a   C     x a d(x a)