广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第三章 多维变量及其分布 3.4 补充例题

3.4相互独立的随机变量补充1 已知(X,Y)的分布律为(1,2)(1,3)(1,1)(2,1)(2,2)(X,Y)(2,3)111βPijα93618(1)求α与β应满足的条件：(2)若 X与Y 相互独立,求 α 与β 的值解 将(X,Y)的分布律改写为K

(X,Y ) ij p (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) 6 1 9 1 18 1 3 1   解 将 (X,Y)的分布律改写为 已知(X,Y)的分布律为 (1) 求 与 应满足的条件; (2) 若 X 与Y 相互独立,求 与 的值 . 补充1

34相3独立的随机变量Y231Pi. = P(X = x,)X11111369181一+α+ββ132α3２-3111+α+βP., = P(Y = y,+β+α-29182α≥0, β≥0,(1)由分布律的性质知3+α+β=1,-故α与险满足的条件是:α≥0,β≥0且α+β=:K

(1)由分布律的性质知   0, 1, 3 2 + +  = 故与应满足的条件是: X Y 1 2 3 1 2 6 1 9 1 18 1 3 1   { } i i p = P X = x • 3 1 + +  3 1 { } j j p = P Y = y • 2 1 + 9 1 +  18 1 + +  3 2   0, . 3 1   0,   0 且 +  =

34相3独立的随机变量(2)因为 X与 Y相互独立，所以有P = Pi. P.j, (i = 1,2; j =1,2,3)特别有2P12 = Pi. : P.2 =+α→α=I=9又α+β=↓, 得 β-↓,K

, ij i j p p p • • =  特别有 p12   又 , 3 1  +  = . 9 1 得  = (2) 因为 X 与 Y 相互独立, (i = 1,2; j = 1,2,3) = 1• •2 p  p 9 1       + 9 1 3 1 =  , 9 2 = 所以有

3.4相互独立的随机变量补充2 设随机变量X和Y相互独立，且X服从N(a,α"),Y在[-b,b]上服从均匀分布,求(X,Y)的联合概率密度解由于X与Y相互独立，所以 f(x,y) =fx(x)·fr(y)(x-a)21202又 fx(x)=,18<x8;2元01-b≤y≤b,2bfr(y) =120,其他.K

求 (X,Y ) f (x) 又 X 所以 f (x, y) 解 由于X 与Y 相互独立, 设随机变量X 和Y 相互独立, 且 X 服从 ( , ) , [ , ] , N a σ 2 Y 在 −b b 上服从均匀分布 的联合概率密度. f (x) f ( y) X Y =  e , −   x   ; 2π 1 2 2 2 ( ) σ x a σ − − =      −   0, . , , 2 1 其他 b y b f ( y) = b Y 补充2

3.4相互独立的随机变量(x-a)2g2得f(x,y)-2b ~2元0其中-b时, f(x,y)=0

得 f (x, y) 当 y  b时, 其中 −   x  , e , 2π 1 2 1 2 2 2 ( ) σ x a b σ − − =  − b  y  b. f (x, y) = 0

3.4相互独立的随机变量补充3设两个独立的随机变量X与Y的分布律为X134YL2PyPx(0.60.40.30.7求随机变量（X,Y)的分布律解 因为X与Y相互独立，所以P(X = x,Y = y,} = P(X = x,} P(Y = y;)P(X =1,Y = 2= P(X = 1)P(Y = 2) = 0.3 × 0.6 = 0.18.P[X =1,Y = 4)= P[X =1)PY = 4) = 0.3 × 0.4= 0.12PX=3,Y=2)= PX =3)P(Y =2)= 0.7×0.6=0.42K

求随机变量 (X,Y) 的分布律. X PX 1 3 0.3 0.7 Y PY 2 4 0.6 0.4 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为 解 因为X与Y 相互独立, 所以 { , } { } { } i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y P{X = 1,Y = 2}= P{X = 1}P{Y = 2} = 0.3 0.6= 0.18, P{X = 1,Y = 4} = 0.3 0.4 = 0.12, P{X = 3,Y = 2} = 0.70.6 = 0.42, = P{X = 1}P{Y = 4} = P{X = 3}P{Y = 2} 补充3

3.4相互独立的随机变量PX=3,Y =4/ = PX = 3)PY = 4)= 0.7×0.4= 0.28.因此(X,Y)的联合分布律为Y24X10.180.1230.420.28K

P{X = 3,Y = 4} = P{X = 3}P{Y = 4}= 0.7 0.4= 0.28. 因此(X,Y)的联合分布律为 Y X 2 4 1 3 0.18 0.12 0.42 0.28