第三章多维随机变量及其分布第五节两个随机变量的函数的分布一、问题的引入二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布四、小结概率论与数理统计（第4版）
第五节 两个随机变量的函数的分布 一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
两个随机变量的函数的分布3.5一、问题的引入有一大群人,令X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示该人的血压并且已知Z与X,Y的函数关系Z =g(X,Y),如何通过X,Y的分布确定Z的分布为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布
令 X 和 Y 分别表示一个人的 为了解决类似的问题下面 一、问题的引入 布确定 Z 的分布. X,Y 的函数关系Z = g(X,Y), 年龄和体重, 有一大群人, Z 表示该人的血压, 并且已知Z 与 如何通过X,Y 的分 我们讨论随机变量函数的分布
3.5两个随机变量的函数的分布二、离散型随机变量函数的分布若二维离散型随机变量的联合分布律为P(X = x,,Y = y,}= Pj, i, j=1,2,...则随机变量函数Z = g(X,Y)的分布律为P(Z = zk) = P(g(X,Y) = zh)Zp,k = 1,2,....zk=g(x;y,)K
二、离散型随机变量函数的分布 若二维离散型随机变量的联合分布律为 { , } , i j ij P X = x Y = y = p 则随机变量函数Z = g(X,Y)的分布律为 { } k P Z = z ( ) k = i j z g x y ij p i, j = 1,2, { ( , ) } k = P g X Y = z = k = 1,2,
两个随机变量的函数的分布3.5例如已知X和Y的联合分布律表如下YX12-2-10.20.10.2100.30.2求Z=XY的分布律解因为XY2-212-1-1-2112-2所以Z12-2-1P0.200.20.3+0.3=0.5KY
例如 解 因为 所以
3.5两个随机变量的函数的分布三、连续型随机变量函数的分布(一)Z =X +Y的分布设(X,Y)是二维连续型随机变量它具有概率密度f(x,J).则z=X +Y仍为连续型随机变量,其概率密度为fx+r(z) = / m f(z - y,y)d y,(5.1)(5.2)或fx+r(z) = f-m f(x,z -x)dx.又若X和Y相互独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘
三、连续型随机变量函数的分布 设(X,Y)是二维连续型随机变量， 密度f (x, y). 它具有概率 则Z = X +Y仍为连续型随机变量， 其 概率密度为 ( ) ( , )d , − f + z = f z − y y y X Y (5.1) 或 f (z) f (x,z x)d x . X Y − + = − (5.2) (一) Z = X + Y 的分布 又若X和Y相互独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘
3.5两个随机变量的函数的分布密度分别为fx(x),f,(y)，则(5.1),(5.2)分别化为fx+r(z)= cm fx(z-y)fr(y)d y, (5.3)和 fx+r(z)= [ fx(x)fr(z-x)dx. (5.4)这两个公式称为fx和f的卷积公式，记为fx*fy即fx * fr = fm fx(z-y)fr(y)d y= fm fx(x)fy(z-x)dx.K
f (x), f ( y), 密度分别为 X Y 则(5.1),(5.2)分别化为 ( ) ( ) ( )d , − f + z = f z − y f y y X Y X Y 和 f (z) f (x) f (z x)d x . X Y X Y − + = − (5.3) (5.4) 这两个公式称为 和 的卷积公式, X Y f f , X Y 记为f f 即 X Y f f = − f z − y f y y X ( ) Y ( )d = f (x) f (z x)d x . X Y − −
3.5两个随机变量的函数的分布证 先来求Z = X + Y的分布函数Fz(z),即有1JFz(z)= P(Z≤z)zJJ f(x,y)dxd y,x+y=zx+ySzZ0这里积分区域G：x+y≤z是x直线x+y=z及其左下方的半平面将二重积分化成累次积分，得Fz() = "["" f(x, y)dx]d y.K
F (z) Z = P{Z z} = f (x, y)d xd y, x y z + 这里积分区域G : x + y z是 半平面. 将二重积分化成累次积分, 直线x + y = z及其左下方的 x y O x + y = z f (x, y)d x d y. z y − − − = 得 F (z) Z 证 Z X Y F (z), 先来求 = + 的分布函数 Z 即有
两个随机变量的函数的分布3.5JZx+y=zu=zu=x+yZZ福uxK
x y O x + y = z y O
两个随机变量的函数的分布3.5固定和对积分f(x,J)dx作变量变换，令x=u-y,得"-" f(x,y)dx= J" f(u- y,y)du于是Fz(z) = "[" (u- y,y)du]d y="[f(u- y,y)dy]du.由概率密度的定义即得（5.1)式.类似可证得(5.2)式大
固 定 和 对积分 作变量变换， − − z y z y f (x, y)d x 令 x = u − y, 得 − − − = − z y z f (x, y)d x f (u y, y)du 于是 f u y y u y z ( , )d d − − FZ (z) = − = f (u y, y)d y du. z − − − 由概率密度的定义即得(5.1)式.类似可证得(5.2)式
3.5两个随机变量的函数的分布例1设X和Y是两个相互独立的随机变量.他们都服从N(O,1)，其概率密度为1fx(x) :=8<x<+8,2元Vfr(y) =18<y<+8,2元求Z=X+Y的概率密度解 由(5.4)式 fz(z)= / fx(x)fy(z-x)dx,K
例1 设X和Y是两个相互独立的随机变 量. 他们都服 e , 2π 1 ( ) 2 2 x fX x − = e , 2π 1 ( ) 2 2 y Y f y − = − y +, − x +, 求Z = X +Y的概率密度. 解 由(5.4)式 f (z) f (x) f (z x)d x, Z X Y − = −