第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量一、二维随机变量及其分布函数二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量四、小结概率论与数理统计（第4版）
四、小结 第一节 二维随机变量 一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量
3.1二维随机变量一、二维随机变量及其分布函数1.定义设E是一个随机试验,它的样本空间是S={e}设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维随机向量或二维随机变量
一、二维随机变量及其分布函数 1.定义 设E是一个随机试验，它的样本空间是S = {e}, 设X = X(e)和Y = Y(e)是定义在S上的随机变量， 由它们构成的一个向量(X,Y ), 叫做二维随机向量 或二维随机变量
3.1二维随机变量图示.X(e)RX.Y(e)YS(X,Y)(X(e), Y(e))R2
• X(e) 图示 • •Y(e) S e
3.1二维随机变量实例1火炮弹的弹着点的位置（X,Y)就是一个二维随机变量实例2考查某一地区学前儿童的发育情况，则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量(H,W)说明二维随机变量（X,Y）的性质不仅与X、Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系
炮弹的弹着点的位 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与X 、Y 考查某一地区学 说明 实例1 实例2 有关, 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. 构成二维随机变量(H,W). 童的身高 H 和体重 W 就 前儿童的发育情况, 机变量. 置 (X,Y) 就是一个二维随 则儿
3.1二维随机变量2.二维随机变量的分布函数(1)分布函数的定义定义 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数xy，二元函数：记成P(X≤x,Y≤y)F(x,y)=P((X≤x)n(Y≤y)二称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数如果将二维随机变量X,Y)看成是平面上随机点的坐标，那么,分布函数F(x,J)在(x,y)处的
2.二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义 定义 设(X,Y)是二维随机变量， 数 x, y, 二元函数: F(x, y) P{(X x)(Y y)} = P{X x,Y y} 记成 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数， 或称为随机 对于任意实 = 变 量X和Y的联合分布函数. 如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随 机点的坐标, 那么, 分布函数F(x, y)在(x, y)处的
3.1二佳随机变量函数值就是随机点X,Y）落在如图所示的以(x,J)为顶点而位于该点左下防的无穷矩形域内的概率(x1,y2){y (x2,y2)(x,y)X1 <X≤ x2,X≤x,Y≤yyi<Y≤y200X(xi, y)(x2, y1)随机点(X,Y)落在矩形域((x,)x<x≤x2,yi<≤的概率为
o x y (x, y) • X x,Y y 函数值就是随机点(X,Y)落在如图所示的， (x, y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域 内的概率. ( , ) {( , ) , x1 x x2 随机点 X Y 落在矩形域 x y y1 y y2 }的概率为 以 o x y • • • •
3.1二维随机变量t (x,y)/X≤x,Y≤y0y(x2,y2)(x1, Y2)X≤X2X1Y≤2y<0x(x1,y1)(x2,y1)
o x y (x, y) • X x,Y y o x y • • • •
3.1二维随机变量P(x x时F(x2,J)≥F(xi,J);对于任意固定的x,当yz >y时F(x,y2)≥ F(x,i)2°0≤F(x,)≤1,且对于任意固定的y,F(-80,)=0
{ , } 1 2 1 2 P x x x y y y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ). 2 2 2 1 1 1 1 2 = F x y − F x y + F x y − F x y (2) 分布函数的性质 1F(x, y)是变量x和y的不减函数, 即对于任 意固定的y, ( , ) ( , ); 2 1 2 1 当x x 时F x y F x y 对于任 意固定的x, ( , ) ( , ). 2 1 2 1 当y y 时F x y F x y 2 0 F(x, y) 1, 且 对于任意固定的y,F(−, y) = 0, 0 ( , ) 1, F x y
3.1二维随机变量对于任意固定的x,F(x,-8)=0,F(-80,-0) = 0, F(+00,+) = 1.x→+8X4+83 F(x+0, y)= F(x,y),F(x, y+0) = F(x,y),即F(x，y）关于x右连续关于y也右连续
对于任意固定的x,F(x,−) = 0, F(−,−) = 0, F(+,+) = 1. o x y → + → + y x 3 F(x + 0, y) = F(x, y),F(x, y + 0) = F(x, y), 即F(x, y)关于x右连续，关于y也右连续
3.1二维随机变量40 对于任意(X1,J1),(X2,J2),X <X2,J1< J2, 下述不等式成立：F(x2,y2)- F(x2,y)+ F(xi,y)- F(x,2) ≥ 0.证明月P(x,<X≤x,,y<Y≤y,)= P(X≤X2,J1<Y≤ y2)-P(X≤xI,i<Y≤y2]=P(X≤x2,Y≤y2 -P(X≤x2,Y≤y)-P(X≤xi,Y≤y2)+P(X≤xi,Y≤y)≥0,故 F(x2,y2)-F(x2,J1)+ F(X1,y1)-F(Xi,J2) ≥ 0
4 ( , ),( , ), 1 1 2 2 对于任意 x y x y , , 1 2 1 2 x x y y 下 述不等式成立: ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0. F x2 y2 − F x2 y1 + F x1 y1 − F x1 y2 证明 { , } 1 2 1 2 P x X x y Y y 0, { , } { , } 2 1 2 1 1 2 = P X x y Y y − P X x y Y y { , } { , } 2 2 2 1 = P X x Y y − P X x Y y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0. 故 F x2 y2 − F x2 y1 + F x1 y1 − F x1 y2 { , } { , } 1 2 1 1 − P X x Y y + P X x Y y